年级数学全等三角形复习题及答案(1).docx

年级数学全等三角形复习题及答案初二数学全等三角形综合复习 1. 如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：DACFDBDE。 Ð2=Ð1+ÐC。2. 如图，在DABC中，垂足为D。求证： BE是ABC的平分线，ADBE，3. 如图，在DABC中，AB=BC，ÐABC=90o。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF。求证：AE=CF。 4. 如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD。 5. 如图，AP,CP分别是DABC外角ÐMAC和ÐNCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为ÐMBN的平分线。 6. 如图，D是DABC的边BC上的点，且CD=AB，ÐADB=ÐBAD，AE是DABD的中线。求证：AC=2AE。 7. 如图，在DABC中，AB>AC，Ð1=Ð2，P为AD上任意一点。求证：AB-AC>PB-PC。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等 B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等 oB. AB=4，BC=3，ÐA=30 oD. ÐC=90，AB=6 2. 根据下列条件，能画出唯一DABC的是( ) A. AB=3，BC=4，CA=8 ooC. ÐC=60，ÐB=45，AB=4 3. 如图，已知Ð1=Ð2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；ÐC=ÐD；ÐB=ÐE。其中能使DABCDAED的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，Ð1=Ð2，ÐC=ÐD，AC,BD交于E点，下列不正确的是( ) A. ÐDAE=ÐCBE B. CE=DE D. DEAB是等腰三角形 C. DDEA不全等于DCBE 5. 如图，已知AB=CD，BC=AD，ÐB=23，则ÐD等于( ) A. 67 ooC. 23 oB. 46 o D. 无法确定 二、填空题： o6. 如图，在DABC中，ÐC=90，ÐABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD=2:3，AC=10cm，则点D到AB的距离等于_cm； 7. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是BD上的两点，且BE=DF，若ÐAEB=100o，ÐADB=30o，则ÐBCF=_； 8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则ÐCBD的大小为_； 9. 如图，在等腰RtDABC中，ÐC=90，AC=BC，AD平分ÐBAC交BC于D，oDEAB于E，若AB=10，则DBDE的周长等于_； 10. 如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB/CD，AE/CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=_； 三、解答题： DABC为等边三角形，11. 如图，点M,N分别在BC,AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点。求ÐAQN的度数。 o12. 如图，ÐACB=90，AC=BC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BF=CE。 答案 1. 思路分析：从结论DACFDBDE入手，全等条件只有AC=BD；由AE=BF两边同时减去EF得到AF=BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF=DE，也可以是ÐA=ÐB。 o由条件ACCE，BDDF可得ÐACE=ÐBDF=90，再加上AE=BF，AC=BD，可以证明DACEDBDF，从而得到ÐA=ÐB。 解答过程：QACCE，BDDF ÐACE=ÐBDF=90o 在RtDACE与RtDBDF中 ìAE=BF QíîAC=BDRtDACERtDBDF(HL) ÐA=ÐB QAE=BF AE-EF=BF-EF，即AF=BE 在DACF与DBDE中 ìAF=BEïQíÐA=ÐB ïAC=BDîDACFDBDE(SAS) 解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。 小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 2. 思路分析：直接证明Ð2=Ð1+ÐC比较困难，我们可以间接证明，即找到Ða，证明Ð2=Ða且Ða=Ð1+ÐC。也可以看成将Ð2“转移”到Ða。 那么Ða在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。 解答过程：延长AD交BC于F 在DABD与DFBD中 ìÐABD=ÐFBDï DABDDFBD(ASA Ð2=ÐDFB QíBD=BDïoîÐADB=ÐFDB=90又QÐDFB=Ð1+ÐC Ð2=Ð1+ÐC。 解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。o以线段AE为边的DABE绕点B顺时针旋转90到DCBF的位置，而线段CF正好是DCBF的边，故只要证明它们全等即可。 解答过程：QÐABC=90o，F为AB延长线上一点 ÐABC=ÐCBF=90o 在DABE与DCBF中 ìAB=BCïQíÐABC=ÐCBF ïBE=BFîDABEDCBF(SAS) AE=CF。 解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。 4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。 解答过程：连接AC QAB/CD，AD/BC Ð1=Ð2，Ð3=Ð4 在DABC与DCDA中 ìÐ1=Ð2ïQíAC=CA ïÐ4=Ð3îDABCDCDA(ASA) AB=CD。 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 5. 思路分析：要证明“BP为ÐMBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是ÐMAC和ÐNCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。 解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F QAP平分ÐMAC，PDBM于D，PEAC于E PD=PE QCP平分ÐNCA，PEAC于E，PFBN于F PE=PF QPD=PE，PE=PF PD=PF QPD=PF，且PDBM于D，PFBN于F BP为ÐMBN的平分线。 解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。 6. 思路分析：要证明“AC=2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF=AE。 解答过程：延长AE至点F，使EF=AE，连接DF 在DABE与DFDE中 ìAE=FEïQíÐAEB=ÐFED ïBE=DEîDABEDFDE(SAS) ÐB=ÐEDF QÐADF=ÐADB+ÐEDF，ÐADC=ÐBAD+ÐB 又QÐADB=ÐBAD ÐADF=ÐADC QAB=DF，AB=CD DF=DC 在DADF与DADC中 ìAD=ADïQíÐADF=ÐADC ïDF=DCîDADFDADC(SAS) AF=AC 又QAF=2AE AC=2AE。 解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。 7. 思路分析：欲证AB-AC>PB-PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB-AC。而构造AB-AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。 解答过程：法一： 在AB上截取AN=AC，连接PN 在DAPN与DAPC中 ìAN=ACïQíÐ1=Ð2 ïAP=APîDAPNDAPC(SAS) PN=PC Q在DBPN中，PB-PN<BN PB-PC<AB-AC，即ABAC>PBPC。 法二： 延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在DABP与DAMP中 ìAB=AMïQíÐ1=Ð2 ïAP=APîDABPDAMP(SAS) PB=PM Q在DPCM中，CM>PM-PC AB-AC>PB-PC。 解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。 小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。 同步练习的答案 一、选择题： 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题： 6. 4 7. 70 o8. 90 o 9. 10 10. 6 三、解答题： 11. 解：QDABC为等边三角形 AB=BC，ÐABC=ÐC=60o 在DABM与DBCN中 ìAB=BCïQíÐABC=ÐC ïBM=CNîDABMDBCN(SAS) ÐNBC=ÐBAM ÐAQN=ÐABQ+ÐBAM=ÐABQ+ÐNBC=60o。 12. 证明：QAECD，BFCD ÐF=ÐAEC=90o ÐACE+ÐCAE=90o QÐACB=90o ÐACE+ÐBCF=90o ÐCAE=ÐBCF 在DACE与DCBF中 ìÐF=ÐAECïQíÐCAE=ÐBCF ïAC=BCîDACEDCBF(AAS) BF=CE。