数学建模非线性规划模型课件.ppt
,某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略预期的利润最大？,广告的费用及其效应,表1 表2,符号说明及问题的分析,设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期销售量 y 随着售价x 的加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图.,图1 图2,从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为此可令：y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。,我们期望利润P达到最大，即,由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a，b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。,图-3,图-4,即：其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。,第三节 多目标规划模型在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题 一、引例例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并有 个项目可供选择。如果对第 个项目投资的话，需用资金 亿元，并可获得收益 亿元，试确定最佳投资方案。解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。若令目标函数为求：投资最少：收益最大.,若令目标函数为求；投资最少：收益最大：约束函数为：二、多目标规划模型多目标规划模型的一般形式为,我们称它为多目标规划问题的数学模型。当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值，便知这时的数学模型可以转化为,投资的收益和风险,这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、）Si（i=1，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若,干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。（1）已知n=4时的相关数据如下：,试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。,模型的假设,在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。每种投资是否收益是相互独立的。在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。,M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表 示存入银行）；xi（i=0n）：公司购买Si金额；ri（i=0n）：公司购买Si的平均收益率；qi（i=0n）：公司购买Si的平均损失率；p（i=0n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。,符号的说明,6.4.3 问题的分析,设购买Si的金额为xi，所付的交易费为ci（xi）;c0(x0)=0（1）因为投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投资 xi ui，这时（1）式可简化为,（2）对Si投资的净收益（3）对Si投资的风险（4）对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费ci（xi）之和）即（5）,当购买Si的金额为xi（i=0n），投资组合x=（x0，x1，xn）的净收益总额（6）整体风险：（7）资金约束：（8）,多目标规划数学模型,我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学模型可归为多目标规划模型，即（9）,模型（9）属于多目标规划模型为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。假定投资的平均风险水平，则投资M的风险，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即Q（x）k，则模型（9）可转化为（10）,假定投资的平均收益率为，则投资M的收益，若要求总的收益R（x）大于等于h，即R（x）h，则模型（9）可转化为（11）,假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，则模型（9）可转化为（12）将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则模型（9）可化为：（13）,模型求解 由于模型（10）中的约束条件Q（x）k，即所以此约束条件可转化为：这时模型（10）转化为如下的线性规划（14）,给定k，可方便地求解模型（14）。具体计算时，为了方便起见，可令 M=1，于是（1+pi）可视作投资Si的比例。下面针对n=4，M=1的情形按原问题给定的数据，模型（14）可变为：（15）,Mathematica求解,利用Mathematica解模型（15）当k=0.05时，计算得x0=0,x1=0.99,x2=0,x3=0,x4=0。当k=0.01时，计算得x0=0,x1=0.4,x2=0.584,x3=0,x4=0。,求模型（11）（13）的最优解困难在于Q（x）是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成的软件求解。为此，我们要想办法把它们转化为可求解的形式。下面以模型（12）为例（模型（11）,（13）类似）。因 为所以可令,即 记，则模型（5-12）可转化为如下的线性规划问题（16）,下针对n=4，M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（16）可变为：（17）,精品课件！,精品课件！,用Mathematica求解模型（17）注意：若目标函数的表达式f太长，需要换行时，换行处末尾应有运算符号，以便计算机自动去读下一行按模型（17）得到的一组结果如下（n=4，M=1）：,Mathematica求解,
