平面向量知识点总结及训练题.docx

平面向量知识点总结及训练题第五章 平面向量 一、向量的相关概念： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1°数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：a=xi+yj=(x,y) ®®®3、向量的模：向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 4、特殊的向量：长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 5、相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作 -a ®®6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作a=b； 7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a/b平行向量也称®®®®®为共线向量规定零向量与任意向量平行。 8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则ÐAOB=q(0£q£p)叫a与b的夹角 ®®®®®®说明：当q=0时，a与b同向；当q=p时，a与b反向；当q=®®®®®p2时，a与b®®垂直，记ab；规定零向量和任意向量都垂直。注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°q180° ®9、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作la，它的长度与方向规定如下： 1 ®®la=la； 当l>0时，la的方向与a的方向相同；当l<0时，la的方向与a的方向相反；当l=0时，la=0，方向是任意的 ®®®®®®®®10、两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为q，则a×b=|a|×|b|cosq ®®®®®®®叫做a与b的数量积 规定0×a=0 ®®®11、向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b| ®®®®®®®®bcosq=a×b|a|®ÎR，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 ®®二、重要定理、公式： 1、平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数l1,l2，使a=l1e1+l2e2 ®®®®®平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 ®®®®1 a=xi+yj®®®我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 ®2 a=(x,y)®®2式叫做向量的坐标表示 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 2 a与相等的向量的坐标也为(x,y) ®特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0) ®® 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 2、两个向量平行的充要条件 向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使b=la ®®®®设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a/bÛa=lbÛx1y2-x2y1=0 ®®®®®®3、两个向量垂直的充要条件 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则 abÛa×b=0Ûx1x2+y1y2=0 ®®®®®®4、平面内两点间的距离公式 设a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2 ®®®如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么®|AB|=®(x1-x2)2+(y1-y2)2(平面内两点间的距离公式) ®®®5、两向量夹角的余弦 cosq=a×b®=x1x2+y1y2x1+y1+x2+y22222|a|×|b|三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量及其各运算的坐标表示和性质 rra=(x1,y1)，b=(x2,y2) 运算 几何方法 类型 向 量 的 加 法 坐标方法 运算性质 ®®®®1平行四边形法则 ®®2三角形法则 a+b=(x1+x2,y1+y2) a+b=b+a®®®(a+b)+c=a+(b+c) 3 ®®®AB+BC=AC 向 量 的 减 法 ®®®®三角形法则 a-b=(x1-x2,y1-y2) a-b=a+(-b) AB=-BA OB-OA=AB 实数与向量a的积是一个向量，记作：la 向 量 的 乘 法 la=la l>0时，l®®®rl(ma)=(lm)a ®®®®la=(lx,ly a与a同向；®®®(l+m)a=la+ma l(a+b)=la+lb ®®®®®®®®当l<0时，la与a异向； 当l=0时，la=0。任意方向 a/bÛa=lb ®®®®®®®a×b=b×a ®®®®®®®®®®a×b=|a|×|b|cosq，®®®®a×b=x1x2+y1y2 (la)×b=a×(lb)=l(a×b) (a+b)×c=a×c+b×c ®®®®®®®向 量 的 数 量 积 (0£q£p) 1a=0或b=0时, 向量的数量积的几何意义： 数量积a×b等于a的®长度与b在a方向上投®®®®®|a|=a或|a|=x2+y2 2®®2®®®a×b=0 ®®|a×b|£|a|b| ®®®®®2a¹0且b¹0时, ®影|b|×cosq的乘积 ®abÛa×b=0®®®®®®®a×b=|a|b|cos<a,b> ®®®®cosq=a×b|a|×|b|®®特别注意：结合律不成立：a×(b×c)¹(a×b)×c ； ®®®®®® 4 消去律不成立a×b=a×c®®®®®®不能®b=c ®a×b=0不能得到a=0或b=0 乘法公式成立： (a+b)(a-b)=a-b=|a|2-|b|2 (a±b)=a±2a×b+b=|a|±2a×b+|b|2 ®®2®2®®®2®2®®®®®®®®2®2®®线段的定比分点公式: 设点P分有向线段P1PPP2，则 1P2所成的比为，即Pìx=ïïíïy=ïîx1+lx2,1+l (线段定比分点的坐标公式) y1+ly2.1+lx1+x2ìx=,ï1ï2当1时，得中点公式：OP或í2ïy=y1+y2.ï2î ®平移公式： 设点P(x，y)按向量a平移后得到点P， ìx¢=x+h,则OP¢OP+a或í ¢îy=y+k.曲线yf按向量a平移后所得的曲线的函数解析式为：yf： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=abc=2R sinAsinBsinCabc,sinAB=,sinC=, 2R2R2R22余弦定理 b=a+c-2accosB b2+c2-a2cosA= 2bc2S=1111a×ha；S=bcsinA=absinC=acsinB； 22225 附：ABC的判定： c2=a2+b2ÛABC为直角ÛA + B =p2c2a2+b2ÛABC为钝角ÛA + Bp2 c2a2+b2ÛABC为锐角ÛA + Bp2a2+b2=-c2附：证明：cosC2ab， 得在钝角ABC中，cosC<0Ûa2+b2-c2<0Ûa2+b2<c2 在ABC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明：因为A+B=p-C,所以tan(A+B)=tan(p-C)，所以tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC，结论！三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量a与a有关系是：a是a方向上的单位向量 aa6 练习题： 一、平面向量的概念及其运算 1、若向量a、b满足a+b=a+b，则a与b必须满足的条件为 a,b方向相同 2、若AB=b,AC=c，则BC等于 Ab-c Bc-b Cb+c D-b-c 3、正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF= A0 BBE CCD DCF 4、在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=c，则a-b+c= 2 5、在DABC中，已知BC=3BD，则AD等于 A13(AC+2AB) B13(AB+2AC) C14(AC+3AB) D14(AC+2AB) 6、在DABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若AB=a,AC=b，则EF等于A12(a+b) B12(a-b) C12(b-a) D-12(a+b) 7、已知：向量a,b 同向，且a=3,b=7，则2a-b= 1 二、平面向量的基本定理及坐标表示 8、若AB=3e1,CD=-5e1，且AD=BC，则四边形ABCD是 A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形 7 9、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB，试求点M、N和MN的坐标 199页 10、已知向量a=(-3,-4)，则与a同向的单位向量是 3434 A(-,-) B(,) C(-3,-4) D(3,4) 555511、已知A(-3,2),AB=(8,0)，则线段AB中点的坐标是 12、若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线，求x 13、若向量a=(x=3,x2-3x-4)与AB相等地，已知A(-1,2),B(1,2)，则x的值为 A-1 B-1或-4 C4 D1或4 三、线段的定比分点 14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A，B，若点C的横坐标为6，求点C分AB所成的比及点C的纵坐标 3,-9） 11两点，若点P在直线OA上，且OP=点B的坐标为 3917、已知直线l与x轴，y轴分别交于点A、B，则AB中点坐标为(-,) DAOB的重心为221PA，又P是OB的中点，则218、已知三个点A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)，点C在AB上，且2AC=CB，连结DC并延长至E，使CE=1DE，则E点的坐标为 4511811） C或(2,) D 33338 A B A13 B15 C4 D17 四、平面向量的数量积 20、已知，a=2,b=3,a×b=33，则a与b的夹角等于 30o 21、已知ABCD为菱形，则(AB+BC)×(AB-AD)的值为 0 22、已知b=5，且a×b=12，则向量a在b方向上的投影为 23、已知向量a与b的夹角为120o，且a=4,b=2， 求a在b方向上的投影 求3a+4b 若向量a+kb与5a+b垂直，求实数k的值 -2，47，19） 41 212 524、已知a、b满足a=1,b=1且(a-b)2=3，则a×b= -25、若a+b=a-b，且a与b不共线，则a与b的夹角为 90o 26、已知 a=213,b=(-2,3) ，且ab ，求a的坐标 27、已知a=(-2,-1),b=(l,1)，若a与b的夹角为钝角，则l 的取值范围是 111A(-,2)È(2,+¥) B(2,+¥) C(-,+¥) D(-¥,-) 22228、已知a=(6,0),b=(-5,5)，则a与b的夹角为 135o 1729、已知A(3,2),B(-1,-1)，若点P(x,-)在线段AB的中垂线上，则x= 42五、平移 30、把点A，按 a=(1,2)平移，求对应点A¢ 的坐标(x¢,y¢) ） 31、把函数y=2x-12x+7的图象l按a=(-1,2)平移得到l¢，求l¢的函数解析式 3332、一个向量把点平移到，它把点平移到 A(2,-1) B C D 33、若向量a使点平移到点，则将函数y=3x2-12x+2的图象，按a平移后9 的解析式为 Ay=3x2 By=3(x-2)2 Cy=3(x-2)2-10 Dy=3(x+2)2+10 34、已知A、B，将AB按向量a=(4,1)平移后的坐标为 六、解斜三角形 35、在DABC中，已知C=45o,A=30o,a=22，求b 36、在DABC中，已知B=45o,b=2,c=1，求a 237、在DABC中，已知B=150o,a=33,c=2，求b 38、在DABC中， A=120o,b=3,c=5，求sinB+sinC (a+b+c)(a+b-c)=3ab，求C 43C=60o） 739、若三角形的三边长分别为，5，6，则此三角形一定是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形 40、在DABC中，若a=2bcosC，则DABC为 A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 41、在DABC中，SDABC=3,A=60o,b=1，则a的值为 A13 B13 C3 D9 42、已知三点A，B，C 若ABCD为平行四边形，求D点坐标； 若P在直线AB上，且PA=3PB，求P的坐标 求A的大小 10551；P(,)或P(4,)；A=p-arccos） 1024210 43、已知DABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量m=(a-c,a-b)，n=(a+b,c) 且m/n 求ÐB 若a=1,b=3，求DABC的面积p3； ） 3244、设函数f(x)=a×(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),xÎR，求函数f(x)的最大值和最小正周期2+2； p） 11