平面向量的数量积.docx
平面向量的数量积高一综合复习知识巩固点二十四 平面向量的数量积 一、知识梳理： 1两个非零向量夹角的概念 rvrvvr已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则_AB叫a与b的夹角. rv特别提醒：向量a与向量b要同起点。 vr2平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量vrvrvrvrvr|a|b|cosq_叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq 特别提醒： v .并规定0与任何向量的数量积为0 两个向量的数量积的性质： rvrvae设、b为两个非零向量，是与b同向的单位向量 vvvvv1) e×a = a×e =|a|cosq； vrvr2) ab Û a×b = 0 vrvrvrvrvrvr3) 当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b| 特别的a×a = |a|或|a|=2vvvrrva×a rra×b4) cosq =rv ； |a|b|vrvr5) |a×b| |a|b| 3“投影”的概念：如图 定义： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投影 特别提醒： 投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b| 4 平面向量数量积的运算律 rrrvvvrvrv交换律： a × b = b × a 数乘结合律： (la)×b =l(a×b) = a×(lb) 1 高一综合复习知识巩固点二十四 rrrrvvr分配律： (a + b)×c = a×c + b×c 5平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a=x1i+y1j， b=x2i+y2j 所以a×b= x1x2+y1y2 6.平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)， 那么：|a|=rrrrrvvrrrrvvr(x1-x2)2+(y1-y2)2 rrvr7.向量垂直的判定：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab Ûx1x2+y1y2=0 rrx1x2+y1y2a×b=8.两向量夹角的余弦 cosq = r 2222|a|×|b|x1+y1x2+y2二、基础检测： 1判断下列各命题正确与否： rrrrrrrrrr0×a=0； 0×a=0； 若a¹0,a×b=a×c，则b=c； rrrrrrrrrrrrrr若a×b=a×c，则b¹c当且仅当a=0时成立； (a×b)×c=a×(b×c)对任rr2r2rrr意a,b,c向量都成立； 对任意向量a，有a=a。 解析：错；对；错；错；错；对。 2. | a|=1，| b |=2，c= a+ b，且ca，则向量a与b的夹角为 A30° B60° ®®C120° ®®®D150° ca解析：设所求两向量的夹角为q, Qc=a+b®®®®®®2®®|a|=-|a|b|cosq c.a=(a+b).a=a+a.b=0 即：cosq=®2®®-|a|®®2|a|b|®=-1oq=120. 所以=-®2|b|0|a|®3.平面向量a与b的夹角为60，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于 A.3 B.23 C.4 D.12 解析 由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412 rrrrrrr24.已知|a|=2|b|¹0,且关于x的方程x+|a|x+a×b=0有实根,则a与b的夹角的取值范 2 高一综合复习知识巩固点二十四 围是 ( ) A.0,ppp2pp D.,p B.,p C.,333662解题思路：要求两向量夹角的取值范围,可先求cos的取值范围. r2rr解析：由关于x的方程x+|a|x+a×b=0有实根，得:|a|-4a×b0 rrrr1r2rra×ba×b£|a|.设向量a,b的夹角为，则cos=rr,又|a|=2|b|¹0, 4|a|×|b|1r2|a|1p4,p.答案 B. ，cosq£=1r223|a|25在ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量urrurrm=(b-c,c-a),n=(b,c+a)，若mn,则角A的大小为 A.ppp2p B. C. D. 3632urrurr222解析：由mn可得mgn=0即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,b-bc+c-a=0 所以角A=p3 ABACABAC16. 已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · =2 , 则ABC为 |AC|AB|AB|AC( D ) A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 s7己知向量a=(coa,sainb=),b(cosb,，sa与b的夹角为60°，直线1的位置关系是 2A相切 B相交 C相离 D随a,b的值而定 rragbcosacosb+sinasinb1解析：a与b的夹角为60°所以cos600=rr= 12|a|g|b|xcosa-ysina=0与圆(x-cosb)2+(y+sinb)2=圆心(cosb,-sinb)到直线xcosa-ysina=0距离为cosacosb+sinasinb1= 128设非零向量a=(x,2x)，b=(-3x,2)，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围 rr2 解析Q a，b的夹角为钝角, a×b=x×(-3x)+2x×2=-3x+4x<0 4解得x<0或 x> 3(1)1rr又由a,b共线且反向可得x=- (2) 33 高一综合复习知识巩固点二十四 由(1),(2)得x的范围是çç-¥,-æè1öæ1öæ4ö÷Uç-,0÷Uç,+¥÷ 3øè3øè3ø三、典例导悟： 例1、已知a=(4,3)，b=(-1,2)，m=a-lb,n=2a+b，按下列条件求实数l的值。 mn； m/n; (3)m=n 解：m=a-lb=(4+l,3-2l),n=2a+b=(7,8) Þl=-5212±211； Þl=-； Þl=。 925rr13rr例2、设平面上向量a=(cosa,sina)(0£a<2p),b=(-,),a与b不共线， 22rrrr 证明向量a+b与a-b垂直 rrrr 当两个向量3a+b与a-3b的模相等，求角a rrrr1133解析： a+b=(-+cosa,+sina)a-b=(+cosa,sina-) 2222rrrrrrrr1322(a+b)×(a-b)=cosa-+sina-=0 (a+b)(a-b) 44rrrr2rr2由题意：(3×a+b)=(a-3b) 得：a×b=0 133-cosa+sina=0，得tana=又0£a£2p 223®®得a=®p6或7p6例3、求与向量a=(3，-1）和b=夹角相等，且模为2的向量c的坐标。 解析：从分析形的特征着手 |a|=|b|=2, a·b=0 AOB为等腰直角三角形，如图 |OC|=2，AOC=BOC C为AB中点 C 22-®®®®® 4
