平行四边形及其性质.docx

平行四边形及其性质19.1.1 平行四边形及其性质(一) 教学目标： 1 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质 2 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证 3 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力 二、 重点、难点 1 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用 2 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算 3 难点的突破方法： 本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础 学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识 平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握 为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚 讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质 新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力 教学中可以通过大量的生活中的实例：如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣 然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力 最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识 三、例题的意图分析 例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法此题应让学生自己进行推理论证 四、课堂引入 1我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示 如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC，那么四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD” AB/DC ,AD/BC ， 四边形ABCD是平行四边形； 四边形ABCD是平行四边形AB/DC， AD/BC 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角 2平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ 由定义知道，平行四边形的对边平行根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角 猜想 平行四边形的对边相等、对角相等 下面证明这个结论的正确性 已知：如图 ABCD， 求证：ABCD，CBAD，BD，BADBCD 分析：作 ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成ABC和CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论 证明：连接AC， ABCD，ADBC， 13，24 又 ACCA， ABCCDA ABCD，CBAD，BD 又 1423， BADBCD 由此得到： 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等 五、例习题分析 例1 例2如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF， 求证：AF=CE 分析：要证AF=CE，需证ADFCBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有D=B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF由“边角边”可得出所需要的结论 证明略 六、随堂练习 1填空： 在 ABCD中，A= ，则B= 度，C= 度，D= 度 如果 ABCD中，AB=240，则A= 度，B= 度，C= 度，D= 度 如果 ABCD的周长为28cm，且AB：BC=25，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm 2如图4.39，在 ABCD中，AC为对角线，BEAC，DFAC，E、F为垂足，求证：BEDF 七、课后练习 1在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是 对角相等 对角互补 邻角互补 内角和是 2在 ABCD中，如果EFAD，GHCD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有 4个 5个 8个 9个 3如图，ADBC，AECD，BD平分ABC，求证AB=CE 19.1.1 平行四边形的性质(二) 教学目标： 1 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质 2 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题 3 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力 二、 重点、难点 1 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用 2 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算 3 难点的突破方法： 本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图形和对角线互相平分的性质这一节综合性较强，教学中要注意引导学生要注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华 教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC与BD互相平分，则有OAOC，OBOD 在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高这里所说的“底”是相对高而言的 在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身在进行计算时，它的意义是距离，即长度 平行四边形的面积等于它的底和高的积，即 a·h其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图要避免学生发生如图的错误为了区别，有时也可以把高记成 、 ，表明它们所对应的底是a或AB 学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质可以按边、角、对角线进行总结通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的 例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法 四、课堂引入 1复习提问： 什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： 平行四边形的性质： 具有一般四边形的性质 角：平行四边形的对角相等，邻角互补 边：平行四边形的对边相等 2： 请学生在纸上画两个全等的 ABCD和 EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转 ，观察它还和 EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？ 结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； 平行四边形的对角线互相平分 五、例习题分析 例1 已知：如图421， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F 求证：OEOF，AE=CF，BE=DF 证明：在 ABCD中，ABCD， 1234 又 OAOC(平行四边形的对角线互相平分)， AOECOF OEOF，AE=CF ABCD， AB=CD ABAE=CDCF 即 BE=FD 若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交，例1的结论是否成立，说明你的理由 解略 例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB10cm，AD8cm，ACBC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积 分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在RtABC中，由勾股定理可得AC的长再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高，可求得 ABCD的面积3.平行四边形的面积计算 解略 六、随堂练习 1在平行四边形中，周长等于48， 已知一边长12，求各边的长 已知AB=2BC，求各边的长 已知对角线AC、BD交于点O，AOD与AOB的周长的差是10，求各边的长 2如图， ABCD中，AEBD，EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则OBC的周长是_ _cm 3 ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成 ， 的两条线段，则 ABCD的周长是_ _ 七、课后练习 1判断对错 在 ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD 平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等 平行四边形的两组对边分别平行且相等 平行四边形是轴对称图形 2在 ABCD中，AC6、BD4，则AB的范围是_ _ 3在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为，和16，则这个四边形的周长是 4公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB15cm，AD12cm，ACBC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积 19.1.2 平行四边形的判定 一、 教学目标： 1在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法 2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题 3培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题 二、重点、难点 4 重点：平行四边形的判定方法及应用 5 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用 3难点的突破方法： 平行四边形的判别方法是本节课的核心内容同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材本节课的教学重点为平行四边形的判别方法在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的 平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明 平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆 要注意：本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充； 本节课只介绍前两个判定方法 教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法 然后利用学生手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件 在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力 从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明应该对学生提出这个要求 平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题 平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识 三、例题的意图分析 本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由 四、课堂引入 1欣赏图片、提出问题 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？ 让学生利用手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： 你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ 你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ 你能说出你的做法及其道理吗？ 能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？ 你还能找出其他方法吗？ 从探究中得到： 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 五、例习题分析 例1已知：如图 ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形 分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明 问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单 例2 已知：如图，ABBA，BCCB， CAAC 求证：(1) ABCB，CABA，BCAC； (2) ABC的顶点分别是BCA各边的中点 证明：(1) ABBA，CBBC， 四边形ABCB是平行四边形 ABCB(平行四边形的对角相等) 同理CABA，BCAC (2) 由(1)证得四边形ABCB是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形 ABBC， ABAC(平行四边形的对边相等) BCAC 同理 BACA， ABCB ABC的顶点A、B、C分别是BCA的边BC、CA、AB的中点 例3小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由 解：有6个平行四边形，分别是 ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO 理由是：因为正ABO正AOF，所以AB=BO，OF=FA根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形其它五个同理 六、随堂练习 1如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， 若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=_ _cm，CD=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形； 若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=_ _cm，DO=_ _cm时，四边形ABCD为平行四边形 2已知：如图， ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DFBE，EF交BD于点O求证：EO=OF 3灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由个等边三角形拼成，通过观察，分析发现： 第4个图形中平行四边形的个数为_ _ 第8个图形中平行四边形的个数为_ _ 七、课后练习 1下列条件中能判断四边形是平行四边形的是 对角线互相垂直 对角线相等 对角线互相垂直且相等 对角线互相平分 2已知：如图，ABC，BD平分ABC，DEBC，EFBC， 求证：BE=CF