平行四边形及其性质(1).docx

平行四边形及其性质典型例题一 例01O是ABCD对角线的交点，DOBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=_，若DOBC与DOAB的周长之差为15，则AB=_，ABCD的周长=_. 解答：ABCD中，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD+1212BD. DOBC的周长=OB+OC+BC=AC+BC =19+12+BC=59 BC=28. 在ABCD中，BC=AD. AD=28 DOBC的周长DOAB的周长=(OB+OC+BC)-(OA+OB+AB) =BC-AB=15 AB=13 ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=2(13+28)=82 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将DOBC与DOAB的周长的差转化为两条线段的差. 典型例题二 例02已知：如图，ABCD的周长是36cm，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且DE=43cm，DF=53cm. 求这个平行四边形的面积. 解答：设AB=xcm,BC=ycm. 四边形ABCD为平行四边形， AB=CD,AD=BC. 又四边形ABCD的周长为36，2x+2y=36 DEAB,DFBC， 43x=53y 解由，组成的方程组，得x=10,y=8. =AB×DE=10´43=403(cm). 2说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 典型例题三 例03如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，已知平行四边形的周长为48cm，而DCOD的周长比DAOD的周长多4cm. 求AB和AD的长. 分析：求平行四边形的对边相等可知，AB=CD，AD=BD，所以实际上给出的是AB+AD=24cm，又由平行四边形的对角线互相平分有，AO=CO，所以DCOD的周长比DAOD的周长多4cm，实际上就是CD即AB比AD多4cm. 那么由给出条件可求出AB和AD的长. 解答：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AD=BC. 又四边形的周长为48cm， AB+AD=24cm. 又AO=CO， 的周长为CD+CO+DO即AB+CO+DO，DAOD的周长为AO+DO+AD， AB-AD=4cm AB=14cm,AD=10cm. 而DCOD典型例题四 例04如图，已知：ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若ÐEAF=60°，BE=2cm，FD=3cm. 求：AB、BC的长和ABCD的面积. 分析：由已知条件ÐEAF=60°，在四边形AECF中，可求出ÐC=120°. 从而可知ÐB=ÐD=60°，所以ÐBAE=ÐDAF=30°. 因此，在直角三角形ABE和直角三角形ADF中，可分别求出AB、AD长，从而也可求出AE、AF的长，则容易求出积. 解答：在四边形AECF中， ÐAEC=ÐAFC=90°，ÐEAF=60°， ABCD的面 ÐC=360°-90°-90°-60°=120°. 在ABCD中， AB/CD,AD/BC， ÐB+ÐC=180°，ÐD+ÐC=180° ÐB=ÐD=60° 在RtDABE中，ÐB=60°，BE=2， AB=2BE=4， CD=AB=4 同理，可求出AD=BC=6. 在RtDABE中，根据勾股定理， AE=AB-BE22=4-2=23 3(cm) 222=BC×AE=6×23=12典型例题五 例05已知：如图，在ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E，使AE=AB，连结CE和DF，交AD，BC于G，H. 求证：CEDF. 证法1：BC=AD=2AB,BE=2AB， BC=BE， ÐE=ÐECB. ÐE=12(180°-ÐEBC)=90°-12ÐFAD 112ÐEBC. 同理 ÐF=90°- ÐE+ÐF=180°-(ÐEBC+ÐFAD). 2 ÐEBC+ÐFAD=180°， ÐE+ÐF=90°， CEDF 证法2：BE=BC=2AB， ÐE=ÐECB BC/AD， ÐECB=ÐDGC ÐDGC=ÐE AB/CD， ÐDCG=ÐE ÐDGC=ÐDCG DG=DC 同理 ÐGDF=ÐCDF=ÐF CEDF 说明 本题主要考查利用平行四边形的性质及三角形的有关知识证明两条直线互相垂直. 解题关键是结合三角形的有关知识进行证明. 典型例题六 例06已知：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点的直线EF交AD、BC于E、F. 求证：OE=OF. 分析：要证OE=OF，只需证含有OE、OF的两个三角形全等即可，也就是说证明DAOEDCOF或证DDOEDBOF. 这一点由平行四边形的性质容易证得. 证明：四边形ABCD是平行四边形， AD/BC,AO=CO ÐEAO=ÐFCO,ÐAEO=ÐCFO 在DAOE与DCOF中， ìÐEAO=ÐFCO(已证)ïíÐAEO=ÐCFO(已证) ïAO=CO(已证)îDAOEDCOF(AAS) OE=OF 说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了OE=OF. 那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分. 典型例题七 例07如图，已知ABCD周长为32cm，AB:BC=5:3，AEBC于E，AFDC于F，ÐEAF=2ÐC， 求AE和AF的长. 解答：ABCD周长为32cm，AB:BC=5:3， AB=10,BC=6， ÐEAF=2ÐC,AFOC,AEBC ÐC=60°，ÐEAF=120°. ÐBAD=60° ÐDAF+ÐBAE=60° ÐADC=ÐABC， ÐADF=ÐABE ÐDAF=ÐBAE=30° DF=12AD=212BC=3 2 AF=同理 BE=AD-DF12=33 AB-BE22AB=5 AE=53. 说明 本题综合考查了平行四边形的性质及勾股定理，解题关键是求出ÐC=60°. 典型例题八 例08求证：平行四边形的对角线的平方之和等于各边的平方之和. 已知：如图，在ABCD中，AC和BD是对角线. 求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2. 证明：过A作ADBC于E，过D作DFBC的延长线于F. AB=CD,AE=DF， RtDABERtDDCF. BE=CF AC2=(BC-BE)+AE 22 =BC2-2BC×BE+BE2+AE2 =BC2+BE2-2BC×BE+AB2-BE2 =BC2+AB2-2BE×BC 而BD2=(BC+CF)2+DF2=BC+2BC×CF+CF22+DC2-CF2 =BC2+CD2+2BC×BE AC2+BD2=AB2+BC2-2BC×BE+BC2+CD2+2BC×BE =AB+2BC+CD222=AB+BC+CD222+DA 2说明：本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理，易错点是不先写已知求证. 解题关键是作出辅助线. 典型例题九 例09如图，已知：在ABCD中，E、F分别是AC，CA的延长线上的点，且CE=AF. 求证：BF/DE. 分析：要证BF/DE，只需证明ÐF=ÐE即可. 这一点可由证明DABPDCDE或DCBFDADE证得. 我们这里证明DABFDCDE，这由已知条件容易得到. 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB/CD ÐBAC=ÐACD. ÐFAB=ÐDCE. 在DAFB和DCED中， ìAF=CE(已证)ïíÐFAB=ÐDCE(已证) ïAB=CD(已证)îDAFBDCED(SAS) ÐE=ÐF BF/DE. 说明：平行四边形的对边平行，可以看作是平行四边形的性质. 典型例题十 例10如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，E为CD上一点，F为AD上一点，且AE=CF，AE、CF相交于点P. 求证：BP平分ÐAPC. 分析：要证BP平分ÐAPC，即要证明ÐAPB=ÐCPB. 一般的方法是通过证明三角形全等来证明它，那么由给出的条件来看，证明图形中的任何两个三角形全等都比较困难. 所以我们换个角度考虑. 由到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上可知，我们只要能够证明B点到ÐAPC两边的距离相等，即B点到CF，B点到AE的距离相等就可以了. 因为已有条件CF=AE，所以我们可借助于面积来证明这一点. 证明：连结BF，BE， 则SDABE=12S四边形ABCD,SDBFC=12S四边形ABCD， 即SDABE=SDBFC. 又 AE=CF， AE和CF边上的高相等， 即点B到AE和CF的距离相等. B在ÐAPC的角平分线上. BP平分ÐAPC 说明 本题巧妙把证明角平分线转化成了等积问题，利用等积来证明等高，利用等高来证明是角平分线根据等底等高，在平行四边形任意一边上的任意一点，和它所对的边的两个顶点所连成的三角形面积是平行四边形面积的一半 选择题 1从平行四边形的一个锐角的顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角为135°，则此四边形的四个角分别是 A45°，135°，45°，135° B50°,135°，50°，135° C45°，45°，135°，135° D都不对 2ABCD的两条对角线AC,BD交于O点，则其中全等的三角形的对数为 A2 B3 C4 D5 3平行四边形具有一般四边形不具有的性质是 A内角和为360° B外角和为360° C不稳定 D对角线互相平分 4ABCD中，ÐB-ÐA=30°，则ÐA,ÐB,ÐC,ÐD的度数是 A95°，85°，95°，85° B85°，95°，85°，95° C105°，75°，105°，75° D75°，105°，75°，105° 5如图，AE、CF分别是ABCD的两条高，则图中全等的三角形共有 A2对 B3对 C4对 D5对 6如图，ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8,BD=6，则边AB长的取值范围是 A1<AB<7 B2<AB<14 C6<AB<8 D3<AB<4 7如图，在四边形ABCD中，ÐA=135°,ÐB=ÐD=90°,BC=23,AD=2，则四边形ABCD的面积是 A42 B43 C4 D6 8如图，ABCD中，AE平分ÐDAB,ÐB=100°，则ÐDAE等于 A100° B80° C60° D40° 9如图，在平行四边形ABCD中，CE是ÐDCB的平分线，F是AB的中点，AB=6,BC=4，则AE:EF:FB为 A1：2：3 B2：1：3 C3：2：1 D3：1：2 参考答案： 1A 2C 3D 4D 5D 6A 7C 8D 9B 填空题 1平行四边形的周长为40，两邻边的比为3：5，则四边长分别为_. 2在3在4在ABCD中，ÐA=12ÐB，则ÐD=_. ABCD中，两邻角的比为1：2，则各角的度数分别为_. ABCD中，BC=2AB,CAAB，则 ÐB=_,ÐCAD=_,ÐBCD=_. 5已知ABCD中，ÐA+ÐC=140°，则ÐB=_. 6ABCD中，BEAD，垂足分别是E,F,ÐFBE=60°,AF=3cm,CE=4.5cm，则ÐC=_,ÐD=_,AB=_,BC=_. 7如图，已知O是ABCD的对角线交点，AC=38cm,BD=24mm,AD=14mm，那么DOBC的周长等于_. 参考答案： 115251525， 22222120° 360°，120°，60°，120° 460°，30°，120° 5110° 660°，120°，6cm，9cm 745mm 解答题 1 如图，已知ABCD和EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上， 求证：AE=CF. DFCB2如图，ABCD的周长是103+62，AB的长是53，DEAB于E，交CB的延长线于点F. DE的长是3， 求：ÐC的大小；DF的长. 3已知：在ABCD中，自钝角顶点A作AFBC于F，对角线BD交AF于E，DE=2DC. 求证ÐABD=2ÐCBD. 4如图，AB，BD是ABCD的对角线，AC，BD交于O，过O的直线EF交AB于E，交CD于F. 求证：OE=OF. 5已知：如图，ABCD中，对角线AC,BD交于点O，作OEAD,OFBC，垂足分别为E、F， 求证：OE=OF. 6已知：如图，ABCD中，BEAC,DFAC，垂足分别为E、F， 求证：BE=DF. 7已知：如图，在求证：BE=DF. ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且BE/DF. 8已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且AE=CF. 求证：DABFDCDE. 9如图，ABCD中，对角线AC长为10cm，ÐCAB=30°，AB长为6cm， 求ABCD的面积. 10如图，ABCD中，DC=2AD,M为DC的中点， 求证：AMBM. 11在ABCD中，AEBC于E，DFBA交BA的延长线于F. 若AB=6,BC=8,AE=4， 求DF,AF的长. 12如图，ABCD中，AB=5,AD=8,ÐA,ÐD的平分线分别交BC于E,F，求EF. 13ABCD中，ÐB=150°,AB=10cm,BC=12cm，求ABCD的面积. 14如图，ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若ABCD的周长为38cm，DABD的周长比ABCD的周长少10cm，求ABCD一组邻边的长. 15如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF,AE与CF交于点O，连结OB. 求证：ÐAOB=ÐCOB. 16己知：如图，在ABCD中，DABE与DCDF是等边三角形，且EGBD,FHBD,G,H分别为垂足. 求证：EG=FH. 17如图，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是ÐDAB、ÐABC、ÐBCD、 ÐCDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程. 参考答案： 1证明：连结BD，交AC于点O. 四边形ABCD，EBFD是平行四边形. AO=CO,EO=FO. AO-EO=CO-FO，即AE=CF. 2解：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AD=BC. ABCD的周长是103+62,AB=53， 12(103+62-2´53)=32 AD=BC=又DEAB于E，DE=3， AE=AD-DE22=(32)-3=3. 22AE=DE，即DADE为等腰直角三角形. ÐA=ÐC=45°. DFCB交CB的延长线于F. DF=52=AB×ED=53´3=BC´DF=32×DF 6. 3取DE的中点M，连AM，可证AM=AB 4证法1：在ABCD中， AB/CD,OA=OC，Ð1=Ð2,Ð3=Ð4. DAEODCFO OE=OF 证法2：在ABCD中 , AB/CD,OB=OD Ð5=Ð6,Ð7=Ð8 DBEODDFO， OE=OF 5证DAOEDCOF或DDOEDBOF 6证DABEDCDF或DCBEDADF 7证DBOEDDOF 8证DABFDCDE 9解：过点C作CHAB，交AB的延长线于点H. ÐCAB=30°，CH=12AC=12´10=5 2=AB×CH=6´5=30(cm) 10证ÐAMD=11DF=122 1360cm 1410cm，9cm 212ÐDAB，ÐBMC=835 12ÐABC 163，AF=S平行四边形2距离相等. ÐAOB=ÐCOB. 15连BE，BF.SDABE=1ABCD=SDBCF,QAE=CF，点B到AE,CF的16证DEBGDFDH 17由题设条件可得出：DAPB是直角三角形. 证明如下：在平行四边形ABCD中， QAD/BC,ÐBAD+ÐABC=180°. 又QAQ、BN分别平分ÐBAD、ÐABC, ÐBAP+ÐABP=90°.ÐABP=90°.DAPB是直角三角形. 由题设条件可得出：DBPADDMC.证明略.