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差分方程差 分 方 程 内 容 提 要 一、差分及差分方程 1、差分 设yt在区间0,+¥)上定义。记yt=y(t)，其中t=0,1,2,L.称 Dyt=yt+1-yt=y(t+1)-y(t)，t=0,1,2,L 为y(t)在时刻t的一阶差分，称D2yt=Dyt+1-Dyt 即一阶差分的差分为y(t)在时刻t的二阶差分。高于二阶的差分可依此类推。 i!(k-i)!2、差分方程 设yt在区间0,+¥)上定义，称包含有自变量t，未知函数yt(yt=y(t)及其一阶差分Dyt的方程j(tyt,Dyt,=，t=0,1,2,L 为一阶差分方程，或者称包含有t,yt及yt+1的方程 j(t,yt,yt+1)=0，t=0,1,2,L 为一阶差分方程。如果把函数y(t)(t=0,1,2,L)代入差分方程或，能使方程或对t=0,1,2,L均为恒等式，称y(t)(t=0,1,2,L)为差分方程或的解。一阶差分方程的一般解包含有一个任意常数，任意常数取特定值的解称为特解，确定特解的条件y(0)=y0称为定解条件 二阶及高于二阶的差分方程、一般解、特解类似定义。 形如 yt+1+a1(t)yt=f(t) 或 yt+2+a1(t)yt+1+a2(t)yt=f(t) 的方程分别称作一阶或二阶线性差分方程，其中a1(t),a2,f(t)ÎC,t³0。 线性差分方程的解的性质与线性微分方程的解的性质完全一样。 二、一阶常系数线性差分方程 1、齐次方程 yt+1+ayt=0,t=0,1, L2,a为常数,由迭代法易知齐次方程的一般解为yt=C(-a)t,t=1,2,3,L 满足条件y(0)=y0的特解为yt=y0(-a)t，t=1,2,3,L 2、非齐次方程 yt+1+ayt=f(t)，t=0,1,2,3,L ，故非齐次方程的一般解为yt=C(-a)t+Yt,t=1,2,L， 其中C(-a)是对应齐次方程yt+1+ayt=0的一般解，Yt是原非齐次方程的一个特解3、求特解Yt的待定系数法 f(t)=b。方程为 yt+1+ayt=b，t=0,1,2,3,L 如果a¹-1，方程有形式特解Yt=A，代入方程，可求得A=b 1+a(a¹-1)，从而Yt=b，t=1,2,3,L 1+a如果a=-1，方程有形式特解Yt=At。代入方程，可求出A。 f(t)=b0+bt1，t=0,1,2,L 1，方程为yt+1+ayt=b0+bt如果a¹-1，方程有形式特解Yt=B0+B1t； 如果a=-1，方程有形式特解Yt=t(B0+Bt1)。 f(t)=bdt，方程为yt+1+ayt=bdt，t=0,1,2,L 如果a¹-d，方程有形式特解Yt=Adt； 如果a=-d，方程有形式特解Yt=t×Adt f(t)=b1coswt+b2sinwt，其中b1,b2不同时为0，方程为 yt+1+ayt=b1coswt+b2sinwt，t=0,1,2,L 记D=(a+cosw)+sin22w。 如果D¹0，方程有形式特解Yt=B1coswt+B2sinwt； 如果D=0，方程有形式特解Yt=t(B1coswt+B2sinwt) ，此时cosw=1或-1，同时a=-1或1。 如对差分方程yt+1+yt=2cospt+3sinpt，t=0,1,2,L， w=p,sinp=0,cosp=-1,a=1,D=0， 此时方程有形式特解 Yt=t(B1cospt+B2sinpt)，其中B1,B2待定常数。 代入原方程，一定可以求出B1,B2。） 典 型 例 题 分 析 一、填空题 1、设yt=2t2-5，则D2yt= 。 解：按差分的定义，Dyt=yt+1-yt，D2yt=Dyt+1-Dyt，故 D2yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt。 已知yt=2t2-5，有yt+1=2(t+1)2-5，yt+2=2(t+2)2-5， 所以 D2yt=2(t+2)2-5-22(t+1)2-5+(2t2-5)=4。 2、方程yt+1-5yt=0的一般解是 。 方程yt+1-5yt=2t的一般解是 。 解：方程yt+1-5yt=0是齐次的，即 其一般解为yt=C5t，其中C是任意常数。 方程yt+1-5yt=2t是非齐次的，其一般解为yt=yt+Yt， 其中yt=C5t是对应齐次方程的一般解，Yt是原非齐次方程的一个特解。 因为此题中，a=-5¹-1,f(t)=2t，可设Yt=B0+B1t，代入原方程中，有 B0+B1(t+1)-5(B0+B1t)=2t，即 (-4B0+B1)-4B1t=2t， 可得 -4B0+B1=0,-4B1=2，求出B0=-,B1=-原非齐次方程的一般解为yt=C5-(1+4t)。 3、已知yt=3et是二阶差分方程yt+1+ayt-1=et的解，则a= 。 解：由差分方程的解的概念，知把yt=3et代入方程的左端后，对"tÎN结果应等于e，因为 (yt+1+ayt-1)yt=3et1811，所以Yt=-(1+4t)， 28t18t=3et+1+a×et-1=3et(e+ae-1) 13令3et(e+ae-1)=et，即3(e+ae-1)=1，故a=e(-e) 4、已知j(t)=2t，y(t)=2t-3t是方程yt+1+p(t)yt=f(t)的两个特解， 则p(t)= ，f(t)= 解：由非齐次方程的解的性质，知j(t)-y(t)=3t是对应的齐次方程的解，从而yt=t也是齐次方程的解，故有(t+1)+p(t)×t=0，知p(t)=-再由j(t)=2是原方程的解，知 tt+1。 tf(t)=j(t+1)-t+1t+1tt-1j(t)=2t+1-×2=2t× ttt2、方程yt-3yt-1=-4的一般解是。 (A) yt=C3t+2 (B) yt=3t-2 (C) yt=C(-3t)-2 (D) yt=C3t-2 解：首先排除(B)，因为yt=3-4中不含任意常数 t其次按齐次方程yt+ayt-1=0的一般解公式yt=C(-a)t，知所给方程的对应齐次方程的一般解应是yt=C3t，故排除(C)。最后考察(A)，(D)中的Yt=±2中哪一个是原非齐次方程的一个特解。由于2-3´2=-4，(-2)-3´(-2)¹-4， 故排除(D)，选(A)。 3、差分方程yt+1-yt=sint有一个特解是。 (A) B1sint (B) B2cost (C) B1sint+B2cost (D) t(B1sint+B2cost) 分析：对差分方程yt+1+ayt=f(t)，当右端函数f(t)为 f(t)=a1sinwt+a2coswt 时，首先要检验D=(a+cosw)2+sin2w是否为零，才能确定其形式特解Yt。如果D¹0，取Yt=B1sinwt+B2coswt；如果D=0，取Yt=t(B1sinwt+B2coswt)。又D=0当且仅当a=-cosw=±1,sinw=0成立。 解：由所给方程知w=1，sinw¹0，故 D=(a+cosw)2+sin2w¹0 原方程有一个形式特解是Yt=B1sint+B2cost，选(C)。 4、差分方程yt+1+yt=-3cospt有一个形式特解是。 (A) B1tcos pt (B) B2tsinpt(C) B1cospt+B2sinpt (D) t(B1cospt+B2sinpt) 解：由所给方程知a=-1,w=p，有a=-cosw,sinw=0，故 D=(a+cosw)2+sin2w=0， 原方程有一个形式特解Yt=t(B1cospt+B2sinpt)，选(D) 三、计算题 1、求方程yt+1-5yt=3t的一般解。 解：首先求出对应齐次方程的一般解yt=C5t(a=-5)。因为原方程右端函数f(t)=3t(d=3)，a+d=-5+3¹0，故可设原非齐次方程的一个形式特解为Yt=A×3t。代入原方程，有A×3消去3，求出A=tt+1-5A×3t=3t， -1-11,Yt=3t，原方程的一般解为yt=C5t-3t 2222t2、求方程yt+1-4yt=2的一般解。 解：对应齐次方程yt+1-4yt=0的一般解为yt=C4t(a=-4)，原方程右端函数f(t)=22t=4t(d=4)，因为a+d=0，可设原方程的一个形式特解为Yt=At×4t，代入原方程，有A(t+1)4t+1-4×At×4t=4t， 消去4，有4A=1,A=t11,Yt=t4t，所以原方程一般解为 441yt=C4t+t4t 43、求方程yt+1-yt=2sinp2t的一般解。 解：对应齐次方程的一般解为yt=C(a=-1)。原非齐次方程右端函数f(t)=2sinpt, w=p2，因为sinw=1¹0，从而 D=(a+cosw)2+sin2w¹0 可设原方程的一个形式特解为Yt=B1cosp2t+Bp2sin2t，代入原方程，有 B1cosp2(t+1)+Bp2sin2(t+1)-(Bt+Bp1cosp22sin2t)=2sinp2t， 即 -(B1+Bp2)sin2t+(-B1+Bp2)cos2t=2sinp2t， B1+B2=-2,-B1+B2=0,B1=B2=-1， 所以 Ypt=-cosp2t-sinp2t，原方程一般解为yt=C-cosp2t-sin2t。 6、设某产品在时间t时的价格pt，总供给Rt与总需求Qt三者之间有关系 Rt=2pt+1,Qt=-4pt-1+5,üRt=Qt,t=0,1,2,Lý þ试推出pt满足的差分方程，并求满足定解条件p(0)=p0的特解。 解：由条件可推出2pt=Rt-1=Qt-1=(-4pt-1+5)-1，即 pt+2pt-1=2， 此即为pt满足的一阶差分方程(a=2¹-1)，其一般解为 pt2t=C(-2)+3， 满足定解条件p(0)=p0的特解为pt=(p0-2)(-2)t+233。 2
