工程数学 线性代数 周勇 朱砾 答案.docx

工程数学 线性代数 周勇 朱砾 答案习题五 1、求特征值和特征向量 特征方程A-lE=1-l-1=(l-2)(l-3)=0 24-l得特征根l1=2,l2=3； 当l1=2时，(A=lE)X=0Þççæ-1-1öæx1öæ0öç÷÷÷=çÞx1+x2=0 ÷ç÷ç÷è22øèx2øè0øæ-1ö得基础解系x1=çç1÷÷,k1¹0 ç1÷÷,特征向量为k1x1=k1çèøèø当l2=3时，(A=lE)X=0Þççæ-1öæ-2-1öæx1öæ0öç÷÷÷=çÞ2x1+x2=0 ÷ç÷ç÷1øèx2øè0øè2æ1ö得基础解系x2=çç-2÷÷,k2¹0 ç-2÷÷,特征向量为k2x1=k2çèøèøæ1ö1-l特征方程A-lE=21-l333=l(9-l)(l+1)=0 6-l23得特征根l1=0,l2=9,l3=-1； æ123öæx1öæ0öç÷ç÷ç÷ìx1+x3=0()A=lEX=0Þ313当l1=0时， ç÷çx2÷=ç0÷Þíx+x=03ç336÷çx÷ç0÷î2èøè3øèøæ-1öæ-1öç÷ç÷得基础解系x1=ç-1÷,特征向量为k1x1=k1ç-1÷,k1¹0， ç1÷ç1÷èøèø3öæx1öæ0öìx1-1x3=0æ-82ç÷ç÷ç÷ïï2当l2=9,时，(A=lE)X=0Þç2-83÷çx2÷=ç0÷Þí ç3÷çx÷ç0÷ïx-1x=03-323èøè3øèøï2îæ1öæ1öç÷ç÷得基础解系x2=ç1÷,特征向量为k2x2=k2ç1÷,k2¹0， ç2÷ç2÷èøèøæ223öæx1öæ0öç÷ç÷ç÷ìx1+x2=0当l3=-1,时，(A=lE)X=0Þç223÷çx2÷=ç0÷Þí ç337÷çx÷ç0÷îx3=0èøè3øèøæ-1öæ-1öç÷ç÷得基础解系x3=ç1÷,特征向量为k3x3=k2ç1÷,k3¹0 ç0÷ç0÷èøèø-1-l2、A的特征方程A-lE=2-1-l-22-2=-(1-l)2(l+5)=0 -1-l22得A特征根l1=-5,l2=l3=1； -1则A特征根l1=-,l2=l3=1； 15-1*=1,l=l=-由性质(A)特征根l123-1-1由(E+A)-lE=A-(l-1)E， 1； 5)4)可知li-1与A的特征值相等，得l1=,l2=l3=2。 5-1)3、因A有三个线性无关的特征向量， -l而A-lE=x01-l01y=-(l-1)2(l+1)=0， -l1得特征根为l1=l2=1,l3=-1， æ-101öæx1öæ0öç÷ç÷ç÷当l1=l2=1,时(A=lE)X=0Þçx0y÷çx2÷=ç0÷ ç10-1÷çx÷ç0÷èøè3øèøæ0öæ1öç÷ç÷当x+y=0时，方程有两个基础解系x1=ç1÷,x2=ç0÷。 ç0÷ç1÷èøèø