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工程数学线性代数参考书： 线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社 概要&总结 一、线性代数的基础内容： 1、行列式行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则； 2、矩阵运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 例1：设A是m´n矩阵，设B是n´m矩阵，且AB=E，其中E是m阶单位矩阵，则： (A)r(A=)r(B=)m; B(r)=Amr,=Bn; C (=r)An=r,Bm =(rB;D= r(A)n3、向量线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 (,2,1,0)-,例2：设a1=1T1(,0,2)a,2=(21,)Ta3=Ta，若a1,a则a=_ 2,a3形成的向量组为2， 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的Ax=0，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax=b，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构格式化的解题步骤 11öælæaöç÷ç÷例3：设A=0l-10,b=1，已知线性方程组AX=b存在两个不同的解。 ç÷ç÷ç1÷ç1÷1løèèø(I)求l,a；(II)求AX=b的通解 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)格式化的对角化步骤 例4：设A是四阶实对称矩阵，且A+A=0，若r(A)=3则A相似于： 21æ1öæ1öæö-æ1öç÷ç÷ç÷ç÷11-1-1÷B÷÷÷ (ç)C(ç)D;ç (A)çç÷ççç1-1÷-1÷-1÷ç÷ç÷ç÷ç÷0000èøèøèøèø4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？四个等价的条件(正定；正惯性指数为n；存在P使PTP=A；所有特征值大于零) T22例5：设二次型f(x1,x2,x3)=xAx在正交变换x=Qy下的标准形为y1+y2，且Q的第三列为(22T,0,)。(I)求A；(II)证明A+E为正定矩阵 22T另例：设三阶实对称矩阵A的特征值l1=1,l2=2,l3=-2,a1=(1,-1,1)是A属于l1的一个特征向量。记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵 (I)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量；(II)求矩阵B。 第一章 行列式 关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行展开定理 克莱默法则 2一、1行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由n个数aij(i,j=1,2,n)组成的n阶行列式D=a11a12a21a22an1an2an1an2ann是一个算式，特别当n=1时，定义D=|a11|=a11；当n³2时, D=a11A11+a12A12+a1nA1n=åa1jA1j，其中A1j=(-1)1+jM1j，M1j是D中去掉第1行第j列j=1n全部元素后按照原顺序拍成的n-1阶行列式，称为元素a1j的余子式，A1j为元素a1j的代数余子式。 D中a11,a22,ann所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线 例1：计算n阶下三角行列式的值 2n阶行列式的性质 a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变； b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin=åaijAij ， 其中j=1nAij=(-1)i+jMij，Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按照原顺序排成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，Aij为元素aij的代数余子式； c)线性性质加法和数乘； 推论：某行元素全为零的行列式其值为0 d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0； 推论：行列式中两行对应成比例，其值为0 e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变； f)行列式的两行互换，行列式的值反号 g)行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为0。 3计算行列式，利用行列式的性质。(需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值) 计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等 二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组åaxijj=1nj=bi(i=1,2,n)，其系数行列式：D=a11a21a12a22a1na2nann¹0，这方程组有唯一解xj=DjD(j=1,2,n)。其中Dj是用常数项an1an2b1,b2,bn替换D中第j列所成的行列式。 推论：若齐次线性方程组åaxijj=1nj=0 (i=1,2,n)的系数行列式D¹0，则方程组只有零解，xj=0(j=1,2,n )ì2x1+x2-5x3=8ìlx1+x2=0ï例1：a)解方程组：íx1-3x2 =9；b) l在什么条件下，í有非零解？ x+lx=0î12ïx+4x-7x=023î1第二章 矩阵 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 一、矩阵相关概念：数域F中m´n个数aij(i=1,2,m;n=1,2,n)排成m行n列，并扩以圆括弧éa11a12êaa2221(或方括弧)的数表êêêëan1an2A或Am´n,或A=(aij)m´n (i=1,2,an1ùan2úú，称为数域F上的m´n矩阵，通常用大写字母记做úúannû,m;j=1,2,n)，其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素。F=R时为实矩阵，F=C时为复矩阵；m´n个元素全为0的矩阵称为零矩阵；m=n时称A为方阵(或为n阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵A，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为(A,b)。 矩阵与行列式的区别：行列式D是一个算式，是一个值；矩阵A是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为|A|或det(A)。若|A|=0，称A为奇异矩阵；若|A|¹0，称A为非奇异矩阵。 二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换 1、1)如果两个矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即aij=bij(i=1,2,m;b=1,2,n)，就称A和B相等，记做A=B 2)加法：设A=(aij)和B=(bij)ÎFm´n，规定A+B=(aij+bij)，并称A+B为A和B之和。 i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同； ii)矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法) 3)数乘：设k是数域F中任意的一个数，A=(aij)ÎFm´n，规定kA=(kaij) i)矩阵数乘指k乘A的每一个元素aij按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式kD，若A是n阶方阵，则|kA|=k|A|；ii）矩阵数乘满足以下运算律：1A=A;(kl)A=k(lA); n(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB 4)乘法：设A是一个m´n矩阵，B是一个n´s矩阵，则A和B的乘积AB(记作C=(cij)是一个m´s矩阵，且cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj=åaikbkj，即C=AB的第i行第j列元素cij是A第i行n个k=1n元素与B第j列n个元素分别相乘的乘积之和 a)矩阵乘法满足：(AB)C=A(BC);k(AB)=(kA)B=A(kB);A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA；b)有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：Ax=b 例2：a)AB与BA是否相等？一者不存在；AB和BA不同型；同型(方阵)但不相等等 b)若AB=0，能否推知A=0或B=0？逆否命题是什么？左零因子、右零因子 c)当A¹0时，由AB=AC能否有B=C？当|A|¹0时，由AB=AC能否有B=C？ d)如果A=1(B+E)，证明：A2=A当且仅当B2=E 25)特殊矩阵(方阵A=(aij)n´n)：主对角元全为1，其余元素均为零时称为n阶单位矩阵，记作In或I或E；主对角元全为非零常数k，其余元素全为零时称为n阶数量矩阵，记作kIn或kI或kE；非主对角元皆为零时称为n阶对角矩阵，记作L=diag(a1,a2,称为上三角矩阵，当i<j，aij=0 (j=2,3,相关结论：a)ImAm´n=Am´nIn=Am´n； b)对角阵L=diag(a1,a2,an)；当i>j，aij=0 (j=1,2,n-1)时,n)时称为下三角矩阵 ,an)左乘A等于ai(i=1,2,n)乘以A中第i行的每一个元素，右乘A等于ai (i=1,2,n)乘以A中第i列的每一个元素； c)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵； d)设A、B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B行列式的乘积，即|AB|=|A|B| 2、1)矩阵的转置：把一个m´n的矩阵An´m行和列互换得到一个n´m的矩阵，称之为A的转置矩阵，T(A)=A; (A+B)=A+B；记做AT或A'=(aT，其中)ajin´mji=aij。转置满足如下运算：TTTTT(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT i,j=1, 2)设矩阵A=(aij)n´n，若aij=aji(则称A为反对称矩阵。 3) A为对称矩阵的充要条件是AT=A；A为反对称矩阵的充要条件是AT=-A 例3：a)设A和B均为对称阵，证明：AB对称的充要条件是AB可交换； b)证明如果A是实对称矩阵，且A=0，那么A=0 3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换) 1)逆矩阵：对于矩阵AÎFn´n，如果存在矩阵BÎFn´n使得AB=BA=I，就称A为可逆矩阵(简称A可逆)，并称B是A的逆矩阵，记作A-1=B。同样对于存在的B，其也可逆，且A是B的逆矩阵；2,n)，则称A为对称矩阵；若aij=-aji (i,j=1,n)，A和B互为逆矩阵。 2)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 3)伴随矩阵：设n阶矩阵A=(aij)n´n，Aij是行列式detA中元素aij的代数余子式，称cofA=(Aij)n´n*为A的代数余子式矩阵，并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作adjA或A，即A=(cofA) *T 4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)矩阵A可逆的充分必要条件是A¹0，且A-1-1-1=1*A |A| 5)可逆矩阵满足运算率：a) (A)=A; b)(kA)-1=k-1A-1(k¹0); c) (AB)-1=B-1A-1; d) (AT)-1=(A-1)T; e) det(A-1)=1/detA，即|A-1|=|A|-1 éabéù(ad-bc¹0);A=ê例4：a)设矩阵A=êúêëcdûêëa3a2a1ùé1-11ùúA=ê221ú，求A-1； úêúúêûë311úûb)设A是n´n矩阵，证明：存在非零矩阵B使AB=0的必要条件是|A|=0(充分也成立) c)设方阵A满足A+2A-3I=0，证明：i)A和A+2I都可逆，求出它们的逆；ii)A+3I和A-I不同时可逆； 2 d)设A和B都是n矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例 (i)若A，B皆不可逆，则A+B也不可逆；(ii)若AB可逆，则A，B都可逆； (iii) 若AB不可逆，则A，B都不可逆；(iv)若A可逆，则kA可逆(k是数) 4、矩阵的初等变换和初等矩阵 1)初等行变换：以非零常数c乘矩阵的某一行倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数c加到另一行倍加变换；将矩阵的某两行对换位置对换变换。类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 2)初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。 a)初等倍乘矩阵Ei(c)=diag(1,1,c,1,1)，Ei(c)是由单位阵第i行(或列)乘c(c¹0)得到 é1êêêê b)初等倍加矩阵Eij(c)=êêêêêë1c1ùúúúi行ú，Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第júúj行úú1úû行得到的，第j列乘c加到第i列得到的； c)初等对换矩阵Eij是由单位矩阵第i，j行(或列)对换而得到的 3)结论：a）初等矩阵左乘矩阵A，相当于做相应的行变换；右乘矩阵B，相当于做列变换 b)初等矩阵是可逆阵，且有Ei(1/c)Ei(c)=I;Eij(-c)Eij(c)=I;EijEij=I c)可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵A和同阶的单位阵I做同样的初等变换，当A变为单位阵时I变为A，即初等行变换(A,I)¾¾¾¾®(I,A-1) -1é23-1ùêú例5：用初等行变换求逆矩阵：A=120 êúêë-12-2úû第三章 线性方程组 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 矩阵的秩 初等变换与矩阵的秩的关系 矩阵运算(加法、数乘)与矩阵的秩之间的关系 等价矩阵 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 克莱姆法则(已学) 解空间 此章有三块紧密相连的知识：向量、矩阵的秩和线性方程组 一、n维向量及其线性相关性 1、1)n元(维)向量：数域F上n个数a1,a2,an构成的有序数组，记做a=(a1,a2,an) or (a1,a2,an)T，分别称为行向量和列向量，其中ai称为a的第i个分量，全体n元向量的集合记为Fn 2)向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数k。 n维行、列向量事实上可以看做F上1´n和n´1矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、列可分别看成对应维数的行、列向量 3)向量空间：F上全体n维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为F上的n维向量空间，仍记Fn，当为实数域R时为n维实向量空间记为Rn 2、1)线性组合：设aiÎF,kiÎF(i=1,2,n,m)，则向量åkiai=k1a1+k2a2+i=1mm+kmam称为向量组a1,a2,am在数域F上的一个线性组合。如果记b=åkiai，就说b可由a1,a2,i=1,am线性表示 例1：a1,a2,a3均为三维列向量，记矩阵A=(a1,a2,a3), B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3, a1+3a2+9a3)。如果|A|=1，那么|B|=_ 2)线性相关：如果对m个向量a1,a2,amÎFn，有m个不全为零的数k1,k2,kmÎF，使k1a1+k2a2+kmam=0n成立，则称a1,a2,am线性相关；否则，称为线性无关。 ,am中至少有一个向量可由3)充要条件：向量组a1,a2,am(m³2)线性相关的充要条件是a1,a2,其余的m-1个向量线性表示。 i)逆否命题：向量组a1,a2,不能由其余的m-1个向量线性表示 ii)n维单位(基本)向量：n维向量e1,e2,表示为向量组e1,e2,am(m³2)线性无关的充要条件是a1,a2,am中任一个向量都,en称为n维单位向量；任一个n维向量a=(a1,anen，其中ei=(0,0,1,0,an)都可,0)(1在,en的一个线性组合a=a1e1+a2e2+第i个位置，其余位置均为0)。 iii)零向量是任一向量组的线性组合，所以任一含零向量的向量组总是线性相关 4)向量相关与方程组的关系：设ai=(a1i,a2i,ani)TÎFn(i=1,2,m)，则a1,a2,a12a22an2,am线性相关的充要条件是齐次方程组Ax=0有非零解，其中A=(a1,a2,éa11êa,am)=ê21êêëan1éx1ùêxúa2mú2ú，x=êú úêúúêúanmûëxmûa1mù i)逆否命题：a1,a2,am线性无关的充要条件是Ax=0只有零解；ii)如果n<m，由高斯消n元法知线性方程组必有自由未知量，即必有非零解；任何n+1个n维向量都是线性相关的；R中，任何一组线性无关的向量最多只能含n个向量 5)向量组扩充的相关性质：i) 如果向量组a1,a2,am中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组也线性无关 ii）若向量组a1,a2,am线性无关，而b,a1,a2,am线性相关，则b可由a1,a2,am线性表示，且表示法唯一；特别的，若Fn中的n个向量a1,a2,an线性无关，则Fn中的任一向量a可由a1,a2,an线性表示，且表示法唯一 iii)如果一个n维向量组a1,a2,(n+l维)组a1*,a2*,am线性无关，那么把这些向量各任意添加l个分量得到新的向量,am是线性相关的，则去掉相同位置的若,am*也是线性无关的；如果a1,a2,干个分量所得到的新的向量组也是线性相关的。 例2：设a1=(1,1,1);a2=(1,2,0);a3=(0,2,1);a4=(-1,3,5)。a) a1,a2,a3是否线性相关？b) a4可否由a1,a2,a3线性表出？如果可以，求出其表示式。 ;例3： 设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量线性相关的是：A)a1-a2,a2-a3,a3-a1 B)a1+a2,a2+a3,a3+a1;C)a1-2a2,a2-2a3,a3-2a1;D)a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1 二、向量组的秩及其极大线性无关组 1、秩：如果向量组a1,a2,am中存在r个线性无关的向量，且其中任一个向量都可由这r个向量线,am=r ,am=m；ii)秩为r的向量组中，任意r+1个性表示，则数r称为向量组的秩，记做 秩a1,a2,i)如果a1,a2,am线性无关，则 秩a1,a2,向量是线性相关的；iii)秩的等价定义：若向量组中存在r个线性无关的向量，且任何r+1向量都线性相关，则称数r为向量组的秩 2、等价：如果向量组b1,b2,bl中每个向量可由向量组a1,a2,am线性表示，就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示。如果两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组是等价的 3、如果向量组b1,b2,bl可由向量组a1,a2,am线性表示，且l>m，则b1,b2,am线性表示，且b1,b2,bl线性相关。 如果向量组b1,b2,bl可由向量组a1,a2,bl线性无关，则l£m 4、极大线性无关组：秩为r的向量组中，任一个线性无关的部分组最多只能含有r个线性无关的向量；将只含有r个线性无关向量的向量组，称为极大线性无关组。一般情况下，极大线性无关组不唯一。 设 秩a1,a2,am=p，秩b1,b2,bl=q，如果b1,b2,bl可由a1,a2,am线性表示，则q£p；特别的等价的向量组，秩相等。 二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形 1、矩阵的秩：对于矩阵A，把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量，把A的行(列)向量组的秩称为其行(列)秩；m´n的矩阵A的行秩£m；列秩£n； 2、初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵A做初等行变换将其化为B，则B的行秩等于A的行秩； b)对矩阵A做初等行变换化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即： A=(a1,a2,a,n¾¾¾¾)初等行变换®x(,xn,=B)，则列向量组ai,ai,ai与xi,xi,xi 1x,212r12r(1£i1<i2<<ir£n)有相同的线性相关性 (2,1,T2a,1)3=,T(0T,1,0),a2=(3,1,2,2) ,4Ta2,=例1：求极大线性无关组：设a1=(1,2,1,2)a5=(2,0,1,3)T，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余的向量用这个线性无关组表示 c)初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵A的秩，记做秩(A)或r(A) æ1ç3例2：(用初等行变换求矩阵的秩)设A=çç4çè22-2ö÷110-3÷，求r(A) 3012÷÷5-231ø10d)r(A)=n的n阶矩阵也称为满秩矩阵；n阶矩阵A满秩的充要条件是A为非奇异矩阵(即|A|¹0)； 3、加法、乘法运算与矩阵的秩：a)r(A+B)£r(A)+r(B)； b)r(AB)£minr(A),r(B) (I) c)设A是m´n矩阵，P,Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) 例3：设A为n´n矩阵，且A=E，那么r(A+E)+r(A-E)=n 4、子式及其与秩的关系：a)矩阵A=(aij)m´n的任意k个行(i1,i2,22,ik行)和任意k个列(j1,j2,jk列)的交点上的k个元素按照原顺序排成的k阶行列式称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式；当k阶子式等于零(不等于零)时，称为k阶零子式(非零子式)；当i1=j1,i2=j2,主子式 b) r(A)=r的充要条件是A的非零子式最高阶数为r ,ik=jk时，称为A的k阶æ0ç0例4： 设矩阵A=çç0çè0100ö÷010÷3,则A的秩为_ 001÷÷000ø5、矩阵的等价：a)若矩阵A经过初等变换化为B(或：存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B)，就称A和B等价，记作AB b)矩阵等价的性质：i)反身性、对称性、传递性；ii)若A为m´n矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P(m阶)和Q(n阶)，使得PAQ=çæIrè00ö÷=U，其中Ir为r阶单位矩阵，右端的矩阵称为0øm´n等价标准形 æ2-1-1ö例5、设矩阵A=ç-12-1÷,求与A等价的标准形 ç÷ç-1-12÷èø三、线性方程组Ax=b 1、齐次线性方程组(有非零解的条件和解的结构) ：Ax=0，A为m´n矩阵 a)将A的列看成向量即A=(a1,a2,an)，因此Ax=0等价于x1a1+x2a2+xnan=0，于是Ax=0有非零解的充要条件是a1,a2,an线性相关，即r(A)<n；特别的，若A为方阵，|A|=0 b)解的性质：若x1,x2是齐次方程组Ax=0的两个解向量，则x=k1x1+k2x2也是它的解 c)(i)基础解系：设x1,x2,解都能由x1,x2,xp是Ax=0的解向量，如果x1,x2,xp线性无关，Ax=0的任一个,xp线性表示，则称x1,x2,xp是Ax=0的一个基础解系 (ii)解的存在与表示：设A是m´n矩阵，若r(A)=r<n，则齐次方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系含n-r个解向量；若记基础解系的n-r个解向量为x1,x2,xn-r，则Ax=0的一般解为x=k1x1+k2x2+kn-rxn-r，其中k1,k2,kn-r为任意实数 æ1-10-23ö例6：求齐次方程组Ax=0的基础解系，并写出一般解，其系数矩阵为A=ç231-11÷ ç÷ç02-112÷èø例7： 设a1,a2,as为线性方程组Ax=0的一个基础解系，b1=t1a1+ta,b2=ta221+2ta2, 3,bs也是Ax=0的基础解,bs=t1as+t2a1，其中t1,t2为常数。试问t1,t2满足什么关系时，b1,b2,系。 A)+r(B)n£； (iii)矩阵的乘法与秩的关系II：设A,B分别是m´n和n´s矩阵，且AB=0，则r(特别的，r(AA)=r(A) Tìn, r(A)=nï例8：证明：如果A是n´n矩阵(n>2)，那么r(A*)=í1, r(A)=n-1 ï0, r(A)<n-1î2、非齐次线性方程组(有解的条件和解的结构) ：Ax=b，A为m´n矩阵 a) 将A的列看成向量即A=(a1,a2,an)，因此Ax=b等价于x1a1+x2a2+,an线性表示，即r(a1,a2,+xnan=b，于是,an) Ax=b有解的充要条件是b可由a1,a2,an,b)=r(a1,a2,即r(A,b)=r(A)；特别的，r(A,b)=r(A)=A的列数 时，Ax=b有唯一解。 æ1-10öæ-1ö例9：求Ax=b的解，其中A=ç231÷,b=ç0÷ ç÷ç÷ç02-1÷ç3÷èøèø b)解的性质(结构)：(i)若x1,x2是Ax=b的解向量，则x=x1-x2是对应的齐次方程组Ax=0的解向量 (ii)若Ax=b有解，则一般解为x=x0+x，其中x0是Ax=b的一个特解(某一个解)，x是Ax=0的一般解x=k1x1+k2x2+kn-rxn-r,r=r(A) æ1-10-23öæ-1ö例10：求解非齐次线性方程组Ax=b的一般解，其中A=ç231-11÷,b=ç0÷ ç÷ç÷ç02-112÷ç3÷èøèøæ2a1ç2ça2a例11： 设n元方程组Ax=b，其中矩阵A=ççç00ç00è(I) 证明行列式|A|=(n+1)a； (II)当a为何值时，方程组有唯一解，并求x1； n0öæx1öæ1öç÷÷ç÷x0÷2ç÷ç0÷÷,b=ç÷。 ÷,x=çç÷÷ç÷x2a1÷çn-1÷ç0÷ç0÷çx÷a22a÷øèøènø00(III)当a为何值时，方程组有无穷多解，并求通解 第四章 向量空间与线性变换 向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 一、什么是向量空间(前面已介绍：集合+线性运算)？如何刻画？ 1、R的基与向量关于基的坐标：设有序向量组B=b1,b2,任一向量a均可由B线性表示，即a=a1b1+a2b2+数组(a1,a2,n,bnÌRn,如果B线性无关，则Rn中+anbn，就称B是Rn的一组基(或基底)，有序,an)或 ,an)是向量a关于基B(在基B下)的坐标，记做aB=(a1,a2,aB=(a1,a2,an)T，并称之为a的坐标向量；特别的n个单位向量组成的基称为自然基或标准基 例1：在R4中，求向量x=(1,2,1,1)在基B1=x1,x2,x3,x4和自然基下的坐标，其中x1=(1,1,1,1), x2=(1,1,-1,-1),x3=(1,-1,1,-1), x4=(1,-1,-1,1)下的坐标。(事实上为求解非齐次线性方程组解的问题) 2、不同的基之间有什么关系？过渡矩阵，坐标变换公式 a) 设B1=a1,a2,ìh1=a11a1+a21a2+ïh=aa+aa+ï121222,an是Rn的一组基，且í2ïïîhn=a1na1+a2na2+a1nö÷a2n÷ ÷÷annø+an1an+an2an+annan，则h1,h2,hn线性æa11a12ça21a22无关的充要条件是detA¹0,其中A=çççèan1an1b)将a)中h1,h2,hn与a1,a2,n,an的关系写成矩阵形式有(h1,h2,hn)=(a1,a2,an)A，若B2=h1,h2,h与B1=a1,a2,an均为Rn的基，则称A为旧基B1到新基B2的过渡矩阵(或称A是基B1到基B2的变换矩阵)。事实上，根据a)，A的第j列是hj在旧基B1下的坐标 c)向量在不同基下的坐标关系：设向量a在两组基B1=a1,a2,分量分别为x=(x1,x2,an和B2=h1,h2,hn下的坐标,xn)T和y=(y1,y2,yn)T。基B1到基B2的过渡矩阵为A，则Ay=x或y=A-1x 3例2： 设a1,a2,a3是3维向量空间R的一组基，则由基a1,a2,a3到a1+a2,a2+a3,a3+a1的过1213渡矩阵是什么？ 例3： 从R的基a1=êú,a2=ê2é1ùë0ûé1ùé1ùé1ù到的过渡矩阵为_ b=,b=12úêúêúë-1ûë1ûë2û二、欧式空间、标准正交基和正交矩阵 1、什么是欧式空间？向量空间(向量集合+线性运算)+长度、角度度量(内积运算) 内积：设a=(a1,a2,an)T和b=(b1,b2,bn)TÎRn，规定a与b的内积为： (a,b)=a1b1+a2b2+anbn。 TTa)当a,b均为列向量，看成矩阵有(a,b)=ab=ba；若均为行向量类似。 b)性质：交换性(a,b)=(b,a)；线性(加法、数乘)；非负性(a,a)³0，等号成立当且仅当a=0 c)向量的长度a=(a,a)；向量内积满足|(a,b)|£a b，称为柯西-施瓦茨不等式 (a,b)；非零向量a,b正交(垂直)的充要条a bd)向量a,b之间的夹角定义为<a,b>=arccos件是(a,b)=0 2、特殊的基：标准正交基 a)Rn中两两正交且不含零向量的向量组(称为非零正交向量组) a1,a2, b)设a1,a2,as是线性无关的 ,an是Rn的一组标ì1,i=j,anÎR，若(ai,aj)=íi,j=1,2,0,i¹j,în,n，则称a1,a2,2准正交基，如单位向量组，或a1=(cosq,sinq),a2=(sinq,-cosq)ÎR等等 c)非正交基如何化成标准正交基：施密特正交化方法。将Rn一组线性无关向量a1,a2,准正交向量组步骤：i)正交化：b1=a1;bj=aj-,am化为标(aj,b1)(b1,b1)b1-(aj,bj-1)(bj-1,bj-1)bj-1(j³2) ii)单位化：hj=1|bj|bj(j=1,2,m)，h1,h2,hm为一标准正交向量组(当m=n时为基) 例4：已知R3的一组基B=a1,a2,a2，其中a1=(1,2,0);a2=(2,1,0);a3=(2,2,2)，试用施密特正交化方法从B构造R的一组标准正交基 3、正交矩阵及其性质：a)设AÎRn´n3，如果AA=I，就称A为正交矩阵；(以后二次型用) Tb) A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量组为一组标准正交基； -1Tc)设A,B皆是n阶正交矩阵，则有i)detA=1或-1；ii) A=A；iii) A,A也是正交阵；iv) AB-1T也是正交阵 d)若列向量x,yÎR在n阶正交矩阵A作用下变换为Ax,AyÎR则向量的内积、长度、夹角均不变，即(Ax,Ay)=(x,y);|Ax|=|x|;<Ax,Ay>=<x,y> 第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 一、什么是矩阵的特征值和特征向量？怎么求(步骤)？有什么性质？ 1、设A为复数域C上的n阶矩阵，如果存在数lÎC和非零的n维向量x使得Ax=lx，就称l是矩阵A的一个特征值，x是A属于(或对应于)特征值l的一个特征向量 nn2、如何求？根据定义特征值就是使得(lE-A)x=0有非零解的l值，即满足det(lE-A)=0的l是特征值；因此步骤为i) 求det(lE-A)=0的根l1,l2,ln(可能有重根)；ii)求每个特征根li所对应方程组(liE-A)x=0的非零解(基础解系)，即为特征值li所对应的特征向量。 l-a11 事实上，称f(l)=det(lE-A)=-a21-an1-a12l-a22-an2-a1n-a2n为矩阵A的特征多项式；lE-Al-ann为特征矩阵；det(lE-A)=0为特征方程 T例5： 若3维列向量a,b满足ab=2，其中a为a的转置，则矩阵ba的非零特征值为_ TT例6： 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)是线性方程TT组Ax=0的两个解。 (I)求A的特征值和特征向量；(II)求正交矩阵Q和对角矩阵L使得QAQ=L(后话) Té322ùé010ùêúêú-1例7： 设矩阵A=232,P=101,B=PA*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*êúêúêêë223úûë001úû为伴随矩阵，E为单位矩阵 3、特征值和特征向量的性质 a)若x1,x2都是A的属于特征值l0的特征向量，则k1x1+k2x2