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工程数学线性代数课后题答案第工程数学-线性代数课后题答案_第五版 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: æ111ö(1)(a1, a2, a3)=ç124÷ ç139÷èø 解 根据施密特正交化方法, æ1öb1=a1=ç1÷, ç1÷èøæ-1öb2=a2-b1=ç0÷, ç1÷b1,b1èøb1,a2b1,a3b2,a3æ1ö1çb3=a3-b1-b2=-2÷. b1,b1b2,b23ç1÷èøæ11-1öç0-11÷(2)(a1, a2, a3)=ç. -101÷ç110÷èø 解 根据施密特正交化方法, æ1öç0÷b1=a1=ç÷, -1ç1÷èøæ1öb1,a21ç-3÷b2=a2-b1=ç÷, 2b1,b13ç1÷èøæ-1öb1,a3b2,a31ç3÷b3=a3-b1-b2=ç÷. b1,b1b2,b253ç4÷èø 2. 下列矩阵是不是正交阵: æ1-11öç÷23ç11÷(1)ç-1÷ 22ç1÷1-1÷ç2è3ø 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. æ1-8-4öç÷999ç814÷(2)ç-÷. 999ç447÷ç-÷999èø 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵. 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明 因为A, B是n阶正交阵, 故A-1=AT, B-1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: æ2-12ö(1)ç5-33÷ ç-10-2÷èø 解 2-l-12|A-lE|=5-3-l3=-(l+1)3, -10-2-l故A的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1, 由 æ3-12öæ101öA+E=ç5-23÷ç011÷, ç-10-1÷ç000÷èøèø得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. æ123ö(2)ç213÷ ç336÷èø 解 1-l23|A-lE|=21-l3=-l(l+1)(l-9), 336-l故A的特征值为l1=0, l2=-1, l3=9. 对于特征值l1=0, 由 æ123öæ123öA=ç213÷ç011÷, ç336÷ç000÷èøèø得方程Ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量. 对于特征值l2=-1, 由 æ223öæ223öA+E=ç223÷ç001÷, ç337÷ç000÷èøèø得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量. 对于特征值l3=9, 由 æöæ-823öç11-1÷1A-9E=ç2-83÷ç01-÷, ç33-3÷2èøç000÷èø得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量. æ0ç0(3)ç0ç1è001001001ö0÷. 0÷0÷ø 解 -l0010-l10|A-lE|=(l-1)2(l+1)2, 01-l0100-l故A的特征值为l1=l2=-1, l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由 æ1ç0A+E=ç0ç1è011001101öæ10÷ç00÷ç0ç1÷øè0010001001ö0÷, 0÷0÷ø得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由 æ-1ç0A-E=ç0ç1è0-11001-101öæ10÷ç00÷ç0ç-1÷øè001000-100-1ö0÷, 0÷0÷ø得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明 因为 |AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|, 所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设R(A)=r, R(B)=t, 则r+t<n. 若a1, a2, ×××, an-r是齐次方程组Ax=0的基础解系, 显然它们是A的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 类似地, 设b1, b2, ×××, bn-t是齐次方程组Bx=0的基础解系, 则它们是B的对应于特征值l=0的线性无关的特征向量. 由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1, a2, ×××, an-r, b1, b2, ×××, bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, ×××, kn-r, l1, l2, ×××, ln-t, 使 k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0. 记 g=k1a1+k2a2+ ××× +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r), 则k1, k2, ×××, kn-r不全为0, 否则l1, l2, ×××, ln-t不全为0, 而 l1b1+l2b2+ ××× +ln-rbn-r=0, 与b1, b2, ×××, bn-t线性无关相矛盾. 因此, g¹0, g是A的也是B的关于l=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2. 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明l=-1是A的特征值. 证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1. 因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 设l¹0是m阶矩阵Am´nBn´m的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值. 证明 设x是AB的对应于l¹0的特征向量, 则有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 12. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)×j(2)×j(-3)=-1´5´(-5)=25. 13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相 似. 证明 取P=A, 则 P-1ABP=A-1ABA=BA, 即AB与BA相似. 14. æ201ö设矩阵A=ç31x÷可相似对角化, ç405÷èø求x. 解 由 2-l01|A-lE|=31-lx=-(l-1)2(l-6), 405-l得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由 æ101öræ101ö(A-E)=ç30x÷ç00x-3÷ ç404÷ç000÷èøèø知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)量. Tæ2-12ö是矩阵A=ç5a3÷的一个特征向ç-1b-2÷èø (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值; 解 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 2öæ1öæ0öæ2-l-13÷ç1÷=ç0÷, 即ç5a-lç-1ç÷ç÷b-2-l÷èøè-1øè0ø解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)问A能不能相似对角化？并说明理由. 解 由 2-l-12|A-lE|=5-3-l3=-(l-1)3, -10-2-l得A的特征值为l1=l2=l3=1. 由 æ1-12öræ101öA-E=ç5-23÷ç01-1÷ ç-1b-1÷ç000÷èøèø知R(A-E)=2, 所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化. 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: æ2-20ö(1)ç-21-2÷ ç0-20÷èø 解 将所给矩阵记为A. 由 2-l-20A-lE=-21-l-20-2-l=(1-l)(l-4)(l+2), 得矩阵A的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. 对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即 æ4-20öæx1öç-23-2÷çx÷=0, ç0-22÷ç2÷èøèx3ø得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得p1=(1, 2, 2)T. 333 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即 æ1-20öæx1öç-20-2÷çx÷=0, ç0-2-1÷ç2÷èøèx3ø得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得p2=(2, 1, -2)T. 333 对于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即 æ-2-20öæx1öç-2-3-2÷çx÷=0, ç0-2-4÷ç2÷èøèx3ø得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得p3=(2, -2, 1)T. 333 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). æ22-2ö(2)ç25-4÷. ç-2-45÷èø 解 将所给矩阵记为A. 由 2-l2-2A-lE=25-l-4-2-45-l=-(l-1)2(l-10), 得矩阵A的特征值为l1=l2=1, l3=10. 对于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即 æ12-2öæx1öæ0öç24-4÷çx÷=ç0÷, ç-2-44÷ç2÷ç0÷èøèx3øèø得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得 p1=1(-2, 1, 0)T, p2=1(2, 4, 5)T. 535 对于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即 æ-82-2öæx1öæ0öç2-5-4÷çx÷=ç0÷, ç-2-4-5÷ç2÷ç0÷èøèx3øèø得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得p3=1(-1, -2, 2)T. 3 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10). 17. æ5öæ1-2-4öçç÷设矩阵A=-2x-2与L=-4÷相似, ç-4-21÷ç÷yèøèø求x, y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=L. 解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5, l=-4, l=y是L的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为l=-4是A的特征值, 所以 5-2-4|A+4E|=-2x+4-2=9(x-4)=0, -4-25解之得x=4. 已知相似矩阵的行列式相同, 因为 1-2-4|A|=-2-4-2=-100-4-215, |L|=-4y=-20y, 所以-20y=-100, y=5. 对于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 将它们正交化、单位化得 p1=11(1, 0, -1)T, p2=(1, -4, 1)T. 232 对于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位化得p3=1(2, 1, 2)T. 3æçç于是有正交矩阵P=çççç-è1221332140-3321212332ö÷÷-1÷, 使PAP=L. ÷÷÷ø 18. 设3阶方阵A的特征值为l1=2, l2=-2, l3=1; 对应的特征向量依次为p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1, p2, p3), 则P-1AP=diag(2, -2, 1)=L, A=PLP-1. 因为 æ011öæ-110öP-1=ç111÷=ç1-11÷, ç110÷ç01-1÷èøèø-1所以 æ011öæ200öæ-110öæ-13-3öA=PLP=ç111÷ç0-20÷ç1-11÷=ç-45-3÷. ç110÷ç001÷ç01-1÷ç-44-2÷èøèøèøèø-1 19. 设3阶对称阵A的特征值为l1=1, l2=-1, l3=0; 对应l1、l2的特征向量依次为p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, -2)T, 求A. 解 æx1x2x3ö设A=çx2x4x5÷, 则Ap1=2p1, Ap2=-2p2, ç÷xxxè356øx+2x2+2x3=1ìï1íx2+2x4+2x5=2, - ïîx3+2x5+2x6=22x+x2-2x3=-2ìï1í2x2+x4-2x5=-1. - ïî2x3+x5-2x6=2即 再由特征值的性质, 有 x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. - 由解得 x1=-1-1x6, x2=1x6, x3=2-1x6, 32234 x4=1-1x6, x5=2+1x6. 3234令x6=0, 得x1=-1, x2=0, x3=2, x4=1, x5=2. 3333因此 æ-102ö1çA=012÷. 3ç220÷èø 20. 设3阶对称矩阵A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 与特征值l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 æx1x2x3ö设A=çx2x4x5÷. ç÷xxxè356ø 因为l1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 所以有 æ1öæ1öAç1÷=6ç1÷, ç1÷ç1÷èøèøìx1+x2+x3=6ï即íx2+x4+x5=6 -. ïîx3+x5+x6=6 l2=l3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用可推出 x3öæ1æx1-3x211öA-3E=çx2x4-3x5÷çx2x4-3x5÷. ç÷ç÷xxx-3xxx-3ø5656è3øè3因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得 x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4. 因此 æ411öA=ç141÷. ç114÷èø 21. 设a=(a1, a2, ×××, an)T , a1¹0, A=aaT. (1)证明l=0是A的n-1重特征值; 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 从而l=0或l=aTa. 设l1, l2, × × ×, ln是A的所有特征值, 因为A=aaT的主对角线性上的元素为a12, a22, × × ×, an2, 所以 a12+a22+ × × × +an2=aTa=l1+l2+ × × × +ln, 这说明在l1, l2, × × ×, ln中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即l=0是A的n-1重特征值. (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量. 解 设l1=aTa, l2= × × × =ln=0. 因为Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是对应于l1=aTa的特征向量. 对于l2= × × × =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a¹0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ × × × +anxn=0, 其线性无关解为 p2=(-a2, a1, 0, ×××, 0)T, p3=(-a3, 0, a1, ×××, 0)T, × × ×, pn=(-an, 0, 0, ×××, a1)T. 因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为 æa1-a2çaa1(p1, p2, ×××,pn)=ç2××××××çèan0×××-anö×××0÷÷. ××××××÷×××a1ø 22. æ142ö设A=ç0-34÷, ç043÷èø求A100. 解 由 1-l42|A-lE|=0-3-l4=-(l-1)(l-5)(l+5), 043-l得A的特征值为l1=1, l2=5, l3=-5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 则 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因为 L100=diag(1, 5100, 5100), 所以 æ121öP-1=ç01-2÷ç021÷èø-1æ50-5ö1ç=012÷, 5ç0-21÷èøöæ50-5öæ121öæ1÷ç012÷ A100=1ç01-2÷ç5100÷ç0-21÷5ç021÷ç5100èøèøøè-1öæ105100100ç=050÷. ç005100÷èø 23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1). (1)求关系式æçxn+1ö÷=yèn+1øæxöAçn÷中的矩阵A; èynø 解 由题意知 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn, 可用矩阵表示为 xn+1öæ1-p æç÷=çèyn+1øèpqöæxnöçy÷, 1-q÷øènøö因此 A=æçp1-q÷. èøæö0ö (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即æçy÷=ç0.5÷, 求øè0øèæxnöçy÷. ènøæxn+1öæxnöæxnönæx0ö 解 由ç÷=Açy÷可知çy÷=Açy÷. 由 yèn+1øènøènøè0ø1-pqx0.5|A-lE|=1-p-lq=(l-1)(l-1+p+q), p1-q-l得A的特征值为l1=1, l2=r, 其中r=1-p-q. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T. 对于l1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)T. 令P=(p1, p2)=æçq-1ö, 则 ÷èp1ø P-1AP=diag(1, r)=L, A=PLP-1, An=PLnP-1. 于是 An=æçq-1öæ10öæq-1ö÷ç0r÷ç÷ p1p1øèèøèøn-1q-1öæ10öæ11ö =1æçp1÷ç0rn÷ç-pq÷ p+qèøèøøè1æq+prnq-qrnö =çp-prnp+qrn÷, p+qèø1æq+prnq-qrnöæ0.5öæxnö ç÷=çp-prnp+qrn÷ç0.5÷ yøènøp+qèøè1æ2q+(p-q)rnö =ç2p+(q-p)rn÷. 2(p+q)èø3-2ö109 24. (1)设A=æç-23÷, 求j(A)=A-5A; èø 解 由 |A-lE|=3-l-2=(l-1)(l-5), -23-l得A的特征值为l1=1, l2=5. 对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量1(1, 1)T. 2 对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量1(-1, 1)T. 2-11-1ö 于是有正交矩阵P=1æç÷, 使得PAP=diag(1, 5)=L, 2è11ø从而A=PLP-1, Ak=PLkP-1. 因此 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-5L9)P-1 =Pdiag(1, 510)-5diag(1, 59)P-1 =Pdiag(-4, 0)P-1 1-1öæ-40ö1æ1 =1æç÷ç÷ç11002èøèø2è-1-2-2öæ1 =æç÷=-2çè-2-2øè11ö÷. 1ø1ö÷ 1øæ212ö(2)设A=ç122÷, ç221÷èø求j(A)=A10-6A9+5A8. 解 求得正交矩阵为 æ-1-31çP=-13ç6ç20è2ö÷2, ÷2÷ø使得P-1AP=diag(-1, 1, 5)=L, A=PLP-1. 于是 j(A)=Pj(L)P-1=P(L10-6L9+5L8)P-1 =PL8(L-E)(L-5E)P-1 =Pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P-1 =Pdiag(12, 0, 0)P-1 æ-1-31ç=-13ç6ç20è2öæ12öæ-1-1÷ç20÷ç-33÷ç÷ç2÷20øè2øè2ö0÷ ÷2øæ11-2ö=2ç11-2÷. ç-2-24÷èø 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz; 解 æ121öæxöf=(x, y, z)ç242÷çy÷. ç121÷ç÷èøèzø (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz; 解 æ1-1-2öæxöf=(x, y, z)ç-11-2÷çy÷. ç-2-2-7÷ç÷èøèzø (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4. æ1ç-1 解 f=(x1, x2, x3, x4)ç2ç-1è-113-22310-1öæx1öç÷-2÷x2ç÷. 0÷x3ç÷1÷øèx4ø 26. 写出下列二次型的矩阵: 21ö (1)f(x)=xTæç÷x; è31ø21ö 解 二次型的矩阵为A=æç31÷. èø (2)æ123öf(x)=xTç456÷x. ç789÷èø 解 æ123ö二次型的矩阵为A=ç456÷. ç789÷èø 27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3; 解 æ200ö二次型的矩阵为A=ç032÷. ç023÷èø由 2-l00A-lE=03-l2=(2-l)(5-l)(1-l), 023-l得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由 æ000öæ012öA-2E=ç012÷ç001÷, ç021÷ç000÷èøèø得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T. 当l2=5时, 解方程(A-5E)x=0, 由 æ-300öæ100öA-5E=ç0-22÷ç01-1÷, ç02-2÷ç000÷èøèø得特征向量(0, 1, 1)T. 取p2=(0, 1, 1)T. 22 当l3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由 æ100öæ100öA-E=ç022÷ç011÷, ç022÷ç000÷èøèø得特征向量(0, -1, 1)T. 取p3=(0, -1, 1)T. 22 于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使 f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4. 解 æ1ç1二次型矩阵为A=ç0ç-1è11-100-111-1ö0÷. 由 1÷1÷ø1-l10-111-l-10A-lE=(l+1)(l-3)(l-1)2, 0-11-l1-1011-l得A的特征值为l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 当l1=-1时, 可得单位特征向量p1=(1, -1, -1, 1)T. 22222 当l2=3时, 可得单位特征向量p2=(1, 1, -1, -1)T. 222 当l3=l4=1时, 可得线性无关的单位特征向量 p3=(1111T, 0, , 0)T, p4=(0, , 0, ). 2222 于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使 f=-y12+3y22+y32+y42. 28. 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1 化成标准方程. 解 æ32-2ö二次型的矩阵为A=ç25-5÷. ç-2-55÷èø3-l2-2由|A-lE|=25-l-5=-l(l-2)(l-11), -2-55-l得A的特征值为l1=2, l2=11, l3=0, . 对于l1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4, -1, 1)T, 单位化得p1=(4, -1, 1). 323232 对于l2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)T, 单位化得p2=(1, 2, -2). 333 对于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得p3=(0, 11, ). 22 于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2, 11, 0), 从而有正交变换 1æ4ç332æxöç2çy÷=ç-1çz÷ç323èø12ç-ç3è32ö0÷÷æuö1ç÷, ÷v2÷çw÷1÷èø÷2ø使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在|x|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T, 使得 TAT-1=diag(l1, l2, × × ×, ln)=L 成立, 其中l1, l2, × × ×, ln为A的特征值, 不妨设l1最大. 作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+ × × × +lnyn2. 因为y=Tx正交变换, 所以当|x|=1时, 有 |y|=|x|=1, 即y12+y22+ × × × +yn2=1. 因此 f =l1y12+l2y22+ × × × +lnyn2£l1, 又当y1=1, y2=y3=× × ×=yn=0时f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3 =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2. ìy1=x1+x2-2x3ï, íy2=2x2ïîy3=2x2+x3ìx=y-5y+2y123ï12ï1y2即íx2=, 2ïïx3=-2y2+y3î令 二次型化为规范形 f=y12-y22+y32, 所用的变换矩阵为 æ1-52öç÷2ç÷1C=ç00÷. 2ç÷ç0-21÷èø (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3; 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 y=x+xx=y1+y2-y3ììï113ï1, 即íx2=y2, íy2=x2ïïîy3=x2+x3îx3=-y2+y3二次型化为规范形 f=y12-y22+y32, 所用的变换矩阵为 æ11-1öC=ç010÷. ç0-11÷èø (3) f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3. =2(x1+1x2)2+1x22+4x32-2x2x3 22 =2(x1+1x2)2+1(x2-2x3)2+2x32. 22令 ìy=2(x+1x)12ï12ï1(x2-2x3), íy2=2ïïy3=2x3îìx=ï1ï即íx2=ïïx3=î111y1-y2-y32222, 2y2+y321y32二次型化为规范形 f=y12+y22+y32, 所用的变换矩阵为 æ1-1-1ö1çC=022÷. 2ç001÷èø 31. 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4