工程数学 线性代数 周勇 朱砾 答案(1).docx

工程数学 线性代数 周勇 朱砾 答案习题三 1、2、3、略 4、a1-a2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1) 3a1+2a2-a3=3(1,1,0)+2(0,1,1)-(3,4,0)=(0,1,2) 5、 3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)1®a=(3a1+2a2-5a3)66、设存在一组数k1,k2,L,kr使得 k1b1+k2b2+L+krbr=0=k1a1+k2(a1+a2)+L+kr(a1+a2+L+ar)=(k1+k2+L+kr)a1+(k2+L+kr)a2+L+krar=0因a1,a2,Lar线性无关， ìk1+k2+L+kr=0ïk+L+k=0ï2r有í即k1=k2=L=kr=0， ïLïîkr=0所以b1,b2,Lbr线性无关。 7、设存在一组数k1,k2,k3,k4使得k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0 有(k1+k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0 k1k1因000k2k2000k3k3k40=0，且不全为0，所以b1,b2,b3,b4线性相关。 0k48、讨论向量组相关性。 a1111111a2=025=025=0，相关 a3136025a1110a2=020=2¹0，无关 a3001a11111112 9、由向量组组成的行列式为 a2=123=01a313t02t-1如果t-1=4,®t=5,行列式等于0，向量组线性相关， 如果t-1¹4,®t¹5,行列式不等于0，向量组线性无关， 当t=5时，向量组相关，设a3=k1a1+k2a2 æ1öæ1öæ1öç÷ç÷ç÷即ç3÷=k1ç1÷+k2ç2÷ç5÷ç1÷ç3÷èøèøèøìk1=-1Þí îk2=210、用矩阵的秩判别向量组的相关性 1öæ31ç÷ç1-13÷A=(a1a2a3)=ç02-4÷ç÷ç2-14÷èø10öæ01æ0ç÷çc1-3c2ç4-14÷ç4-1c3-c2¾¾¾®ç®-62-6÷ç-62ç÷çç5-15÷ç5-1èøè所以 R(A)=2，相关。 0ö÷0÷0÷÷0÷øæ120öç÷A=(a1a2a3)=ç023÷ç103÷èøæ120öæ100öç÷ç÷®ç023÷®ç023÷ç0-23÷ç006÷èøèø所以 R(A)=3，无关。 R(A)=3，无关。 11、由向量组构成的矩阵为 121öæ012-1öæa1öæ1ç÷ç÷ç÷A=ça2÷=ç1002÷®ç1002÷ ça÷ç-1-4-8k÷ç0-4-8k+2÷øèøè3øè当1-1=时，k=2相关 -4k+212、设存在一组数l1,l2,l3,l4使得 l1a1+l2a2+l3a3+l4a4=0 不妨设a1,a2,a3线性无关，且l1a1+l2a2+l3a3=-l4a4 如果l4=0，则l1=l2=l3=0，与题意矛盾， 所以l1,l2,l3,l4不全为0. 13、略 æ10çç1-114、A=ç00çç00è100000100ö÷0÷ ÷0÷1÷ø15、证明 ：设有一组不全为0的数k1,k2,L,km+1使得 k1a1+L+kmam+km+1(lb1+b2)=0 因a1,a2,L,am线性无关，所以km+1¹0； 又b1可由a1,a2,L,am线性表示， 设b1=h1a1+h2a2+L+hmam代入得 k1a1+L+kmam+km+1(l(h1a1+h2a2+L+hmam)+b2)=0 即k1a1+L+kmam+km+1l(h1a1+h2a2+L+hmam)=-km+1b2 b2=-1km+1(k1+km+1lh1)a1+L+(km+km+1lhm)am 即b2可由a1,a2,L,am线性表示，和已知条件矛盾。 16、设存在一组不全为0的数k1,k2,L,km-1使得 k1a1+L+km-1am-1=0， 又a2,a3,L,am线性无关，由a2,a3,L,am-1也线性无关， 所以k1¹0，有-k1a1=k2a2+L+km-1am-1 即a1=-11k2a2-L-km-1am-1，a1可由a2,a3,L,am-1线性表示。 k1k1(2)(反证法)设am能由a1,a3,L,am-1线性表示， 即存在一组数h1,h2,L,hm-1使得 am=h1a1+h2a2+L+hm-1am-1 由得a1=-11k2a2-L-km-1am-1代入上式， k1k1am=h1(-=(h2-11k2a2-L-km-1am-1)+h2a2+L+hm-1am-1k1k1kk2h1)a2+L+(hm-1-m-1h1)am-1k1k1即a2,a3,L,am线性相关，和已知条件矛盾。 17、已知n维向量组E：e1,e2,L,en可由n维向量组A：a1,a2,L,an线性表示， 即存在一矩阵K使E=KA，从而E=KA=KA=1¹0 即A¹0，有n维向量组A：a1,a2,L,an线性无关。 18、证明：任意n维向量bÎR可由a1,a2,L,an线性表示， 即b=k1a1+k2a2+L+knan;其中k1,k2,L,kn为任意实数， 即a1,a2,L,an为R空间的一组基，所以a1,a2,L,an线性无关。 R空间的维数为n，a1,a2,L,an是R空间中n个线性无关的向量组， 所以a1,a2,L,an为R空间的一组基，即对任意n维向量bÎR有 nnnnnnb=k1a1+k2a2+L+knan;其中k1,k2,L,kn为任意实数。 19、20略 21、求向量组的秩和极大无关组，其余向量由极大无关组表示； 213ö13öæa1öæ1æ12ç÷ç÷rç÷2-4r1r3+r1a4-1-5-60-9-9-18ç÷ç÷r4-2r1ç÷A=ç2÷=ç¾¾¾®ç0-1-3-4÷a3-1-3-4-7÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ça÷ç2120øè0-30-6øè4øè113ö3öæ12æ121-r29ç÷r+rç÷132-r401120112ç÷r4-r2ç÷3¾¾¾®ç¾¾¾®ç00-2-2÷0-1-3-4÷ç÷ç÷ç01÷ç÷02øèè00-10øR(A)=4，极大无关组为本身。 æa1öæ1320öæ1ç÷ç÷ça70143ç2÷ç÷r2-7r1,r3-2r1ç04-5r1,r5-2r1A=ça3÷=ç2-101÷¾r¾¾¾¾®ç0ç÷ç÷çça4÷ç5162÷ç0ç÷ç÷ç02-141aøèè5øè20öæ13æ13ç÷ç00÷ç00ç00r2-3r5,r3-r554-2r5¾r¾¾¾¾®ç00-40÷¾¾®ç00ç÷çç00-40÷ç00ç0-701÷ç0-7èøèR(A)=3，a1,a3,a5为极大无关组 0ö÷-2103÷-7-41÷÷-14-42÷-701÷ø0ö÷00÷-40÷÷00÷01÷ø232a2=a1+3a5 a4=a1+a3+a5 1æa1öæ12ç÷ç3ça2÷ç10A=ça3÷=ç2-10ç÷çça4÷ç21-2ç÷ç4èa5øè222öæ1÷ç1÷r-r,r-2rç021314-2r1,r5-2r1¾¾¾¾®ç01÷¾r÷ç2÷ç0ç03÷øè2ö÷-20-1÷-5-2-3÷÷-3-4-2÷-22-1÷ø2112öæ12ç÷0000ç÷r2-r53-r4-r5¾r¾¾¾®ç0000÷ç÷ç0-3-4-2÷ç0-22-1÷èø极大无关组为a1,a4,a5， R(A)=3a2=a5-a1 a3=-2a1+a4+a5 22、略 æ1-15-1öæ1-15-1öæ1-15-1öç÷ç÷ç÷11-2302-7402-74ç÷ç÷ç÷23、A=ç ¾¾®¾¾®ç02ç003-181÷74÷00÷ç÷ç÷ç÷ç13-97÷ç04148÷ç0000÷èøèøèø秩R(A)=2，极大无关组为a1,a2或a1,a3或a1,a4。 24、25、26略 27、设有x1,x2,x3使得x1a1+x2a2+x3a3=b æ3251ö÷ç即求A=ç2463÷的秩 ç57l5÷èø51ö-1-2öæ3251öæ32æ1-2ç÷ç÷ç÷A=ç2463÷¾¾®ç2463÷¾¾®ç2463÷ç57l5÷ç01l-111÷ç01l-111÷èøèøèø-1-2ö-1-2öæ1-2æ1-2ç÷ç÷¾¾®ç0887÷¾¾®ç0117/8÷ ç01l-111÷ç01l-111÷èøèø-1-2öæ1-2ç÷¾¾®ç0117/8÷ç00l-121/8÷èø当l=12时，R(A)=2¹R(A)=3，即b不能由a1,a2,a3表示。 28、29、略。