工科高等数学复习必备.docx

工科高等数学复习必备积分与求导公式 òtanxdx=-lncosx+C=lnsinx+C=lnsecx+tanx+C=lncscx-cotx+C=1aarctanxa+Ca+x)+Cxa+C22òcotxdxòsecxdxòcscxdxòaòòdx2+xdx22a+xdxa-x22=ln(x+=arcsin22(tanx)¢=secx2(cotx)¢=-cscx(secx)¢=secxtanx(cscx)¢=-cscxcotxòòdxx2-adx22=12alnx-ax+ax2+C-a2xp-a2=lnx+Cò20ì(n-1)!pïnn!2sinx=í(n-1)!ïn!în为偶数n为奇数带ex=1+x1!+x22!x+2x33!+.+x3xnn!+xn+1(n+1)!n-1ex+1ln(x+1)=x-x32+x3-.+(-1)n-1xnn2n-1+(-1)nxn+11n+1(n+1)(x+1)n+15sinx=x-3!x25!x4.+(-1)x2n(2n-1)!n+(-1)n+1x2n+1(2n+1)!x2n+2cosxcosx=1-a2!+4!+.+(-1)x(2n)!+(-1)(2n+2)!3cosx(x+1)+=1+ax1!a(a-1)x2!n+12a(a-1)(a-2)x3!a-n+1+.+a(a-1).(a-n+1)xn!na(a-1).(a-n)x(n+1)!(1+x)常用函数在x=0点的幂级数展开式 11-x=1+x+x+.+x,xÎ(-1,1)11+x=1-x+x-.+(-1)xx22nn2n以-x代xÞ积分Þln(1+x)=x-ex2+xxn33-.+(-1)n-1xnn=1+x1!+x22!+x33!+.+n!,xÎ(-¥,+¥)常用高阶导数 (a)x(n)=alnxna(a>0)1(n)n!n-1=(-1)n+1xx(x)a(n)=a(a-1).(a-n+1)x(n)a-n(sinkx)(coskx)=ksin(kx+nnnp2)-n(n)=kcos(kx+n(n)p2(ln(x+1)=(-1)n-1(n-1)!(x+1)2弧长微分公式曲率y¢¢(ds)=(dy)+(dx)222321+(y¢)重要极限 limx®¥sinxxlnxeab=0=0(a,b>0)limx®+¥xlimx®0sinxxn=1xa=0(a,b>0)lnblimx®¥a=1(a.>0)1x)=x(1+x)=exlimx®+¥bxalimxx®+0x=0(a,b>0)limx®¥(1+limx®0反常积分 +¥òòò1x1pa1dx当p>1时收敛,p£1时发散0xpdx当p>1时发散,p£1时收敛-x2+¥0edx=p2级数 ì|p|<1nap(a¹0)íån=0î|p|³1¥¥收敛发散ån=1¥1ìp>1pínîp£1收敛发散ån=21nlnaba>1收敛ìïïa=1，b>1收敛ínïa=1,0<b£1发散ï0<a<1,b>0发散î¥傅里叶级数f(x)=a02p+å(an=1ncosnx+bnsinnx)1ìa=ïnpí1ïbn=pî欧拉公式cosx=eòp-f(x)cosnxdxf(x)sinnxdxòp-ixp+e2-ix,sinx=eix-e2i-ix特殊函数及其性质 ì1.f(x)=ïíxasin1x,x¹0ïî0,x=00<a£1,f(x)在x=0处连续不可导a>1,f(x)在x=0处可导ì2.f(x)=ï-1íex2,x¹0ïî0,x=0f(n)(0)=03.双曲函数x-xx-xsinhx=e-e2,coshx=e+e2(sinhx)'=coshx,(coshx)'=sinhx4.取整函数x-1<x£x5.二元函数1）f(x,y)=x2+y2在点连续，导数不存在，不可微，沿任意方向方向导数存在ì2）f(x,y)=ï(x2+y2)sin1x2+y2¹0íx2+y2在点可微，但ïî0x2+y2=0梯度、通量、散度、环流量、旋度 ¶f¶x,¶f¶y不连续,P,Q,R有一阶连续偏导数，å为场内一有向曲面rr*通量òòA·dS=òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy，¶f¶fååì(-zx)P+(-zy)Q+Rdxdyå法向量与z轴成锐角òòïD=íå法向量与z轴成钝角ïòòzxP+zyQ+(-1)RdxdyîDr¶P¶Q¶R*散度divA=+¶x¶y¶zrrr高斯公式òòA·dS=òòòdivAdv(P,Q,R在闭曲面å所围空间区域åWW内有一阶连续偏导数，方向向外)rrrr某力函数A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，G为空间有向闭曲线，rrrijkrr¶¶¶*旋度rotA=Ñ´A=¶x¶y¶zPQRrr*环流量òA·ds=òPdx+Qdy+RdzGå是以G为边界的有向曲面斯托克斯公式òGrrA·ds=GòòårrrotA·dS(G正方向与å法方向成右手系，偏导数)P,Q,R在包含曲面å空间区域内有一阶连续常微分方程 可分离变量的方程 dyy=jdxxdx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)齐次方程dydy一阶线性微分方程dx+P(x)y=Q(x)-P(x)dxP(x)dx通解y=eò(òQ(x)eòdx+C)dy伯努利方程dx+P(x)y=Q(x)y1-nn令z=y,则dzdx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)1.y(n)=f(x)2.y¢¢=f(x,y¢)可降阶的高阶微分方程3.y¢¢=f(y,y¢)令y¢=p(y)则y¢¢=pdpdyy¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)二阶线性微分方程刘维尔公式é1-P(x)dxy2=y1òê2eòëy1ù údxûy¢¢+py¢+qy=0特征方程r+pr+q=0二阶常系数齐次线性微分方程2r1¹r2,y=C1er1x+C2er2xr1xr1=r2,y=(C1+C2x)er=a±bi,y=ey¢¢+py¢+q=f(x)1.f(x)=Pm(x)elxaxC1cosbx+C2sinbx)ì0,l不是特征根ï*klxy=xQm(x)e,k=í1，l是单根ï2，l是重根二阶常系数非齐次线性微分方程î2.f(x)=ey=xe*klxP(1)m(x)coswx+Pm(x)sinwx(2)(2)lxR(1)m(x)coswx+Rm(x)sinwx,ì0,l+wi不是特征根k=íî1,l+wi是特征根二阶非齐次线性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)对应齐次方程的通解为Y=C1y1(x)+C2y2(x)y¢y1+u2¢y2=0ìu1¢,u2¢,积分即可得出设y=u1y1+u2y2,í解出u1¢y1¢+u2¢y2¢=f(x)îu1xyn(n)+p1xn-1y(n-1)+p2xn-2y(n-2)+pn-1xy¢+pny=f(x)其中p1,p2,.,pn是常数欧拉方程令x=et,则xkdy=D(D-1)(D-2).(D-k+1)y,k=1,2,3.,n kdxdD即dtk