山东大学《高等数学》期末复习参考题 .docx
山东大学高等数学期末复习参考题 山东大学数学分析III期末复习参考题 题 号 得 分 一 二 三 四 总 分 一 选择题 1.函数ìx2+y2,xy=0在点处。 f(x,y)=íxy¹0î1,A）存在函数极限； B）连续； C）存在偏导数； D）不存在偏导数。 y2.函数z=x(x>0)，而x=sint,y=cost,则dz=。 dtA）yxC）yxy-1cost-xysintlnx； B）yxy-1cost+xysintlnx； sint-xycostlnx； D）yxy-1sint-xysintlnx。 y-1ìx=arsinjcosqï¶(x,y,z)3.变换íy=brsinjsinq，,=. ¶(r,j,q)ïz=crcosjîA）r； B） abcr； C）r4.无穷积分2sinj； D）abcr2sinj。 ò+¥0e-xdx,ò+¥0。 xe-xdx的值分别为2A）1,0.5； B）0.5,1; C） 1,1; D） 0.5,0.1. 5. 下列描述错误的是。 A)"a>0,G(a+1)=aG(a)； B)"n>N,G(n)=n!； +C)Gç÷=p； D)"p>0,q>0,B(p,q)=101-x0æ1öè2øG(p)G(q). G(p+q)6、òdxòf(x,y)dy=( ) A) C)òò1-x010dyòf(x,y)dx； B)òdyò0011000111-x0f(x,y)dx； dyòf(x,y)dx； D)òdyò1-yf(x,y)dx. 7、设W是由三个坐标面与平面x+2y-z=1所围成的空间区域,则òòòxdxdydz=( ). W A) 1111 ； B) - ； C) ； D) - . 244848243,则ò4ds的值为( ). L28、设L为x=x0,0£y£ A)4x0; B)6, C)6x0, D)4 . 9.无穷积分ò+¥0e-xsin2xdx=( ). A)1234; B) ; C) ; D) . 55552210、若å为z=2-(x+y)在xoy面上方部分曲面,则òòdS=( ). å A) C)ò2p0dqòr021+4r×rdr; B)òdqò022p2021+4r2×rdr; 1+4r2dr. ò2p0dqò01+4r2×rdr; D)ò2p0dqò0二、填空题 1 积分I=x+y£1òòln(x2+y2)ds的正负号为。(I£0或I³0) 2. 若函数f(x,y)=2x+ax+xy+by在点(1,-1)处取得极值，则 22a，b。 3. 广义积分ò+¥1dx当_时收敛；当_时发散. xp4.dx+dy,其中ABCDA是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1),为顶点的正方形正òx+yABCDA向边界线 . 5.积分lnxò0x-1dx的瑕点是. 1三 计算题(共 4小题,共20分) 1、判别下列广义积分的敛散性：(写出判别过程)1).ò+¥0x2dx42x+x+12)ò21dx(lnx)32.计算I1=òòò(z2+5xy2sinx2+y2)dxdydz,其中W由z=(x2+y2),z=4围成. 2W3.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 4.验证曲线积分òG(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz与路径无关, 并求函数 (x,y,z)(0,0,0)u(x,y,z)=ò+¥0(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz 四 证明题(共 2小题,共20分) 1. 已知òue-uxdx, 证明: 1)在a,b(a>0)一致收敛; 2)在0,+¥)非一致收敛。 2.设空间闭区域W由曲面z=a-x-y与平面z=0所围成，S为W的表面外侧，V 为W的体积。证明： 2222xyzdydz-xyzdzdx+z(1+xyz)dxdy=V.(a>0) òòS222数学分析III期末试卷19答案与评分标准 一.选择题 CADAB DABBC 二.填空题 1. I£0; 2.a=-5，b=2 ; 3. p>1,p£1; 4. 0 ; 5. x=0; 三计算题(共4小题,共20分) 1. 1)、ò+¥x20x4+x2+1dx xlimx22®+¥x4+x2+1×x=1收敛； 2)、ò2dx1(lnx)32lim13(x-1)x6(x-®1+(lnx)3×(x-1)3=lim1)xx®1+3(lnx)2=limx®1+6(lnx)=1发散；x2.I=òòò(z2+5xy2sinx2+y2)dxdydz (对称性) W=òòòz2dxdydz (截面法) W=ò40z2×p2zdx =128p 3. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为x , y , z ,则 x+y+z=2p,x³0,y³0,z³0 它们所对应的三个三角形面积分别为 S=122R(sinx+siny+sinz) 设拉氏函数 F=(sinx+siny+sinz)+l(x+y+z-2p) 5分） 2è3ø4 4.解:令P=y+z,Q=z+x,R=x+y Q¶P¶Q¶Q¶R¶R¶P =1=,=1=,=1=¶y¶x¶z¶y¶x¶y积分与路径无关,因此 xyzu(x,y,z)=ò0dx+òxdy+ò(x+y)dz 000=xy+(x+y)z=xy+yz+zx 四证明题(共2小题,共20分) 1. 1）先证在a,b(a>0)一致收敛 "e>0,$A0>a,"A>A0,"uÎa,b, |òue-uxdx|=e-uA£e-aA<e,即A>A+¥11ln ae即A0=11ln ae2）再证在0,+¥)非一致收敛 $e0>0,"A>0,$A0>A,$u0-u0xÎ0,+¥), |òu0eA0+¥dx|=e-u0A0令u0=1A0=e-1³e0=e-2 2 证明： 由高斯公式，有 左边积分=22(2xyz-2xyz+1+2xyz)dxdydz=V+2òòòxyzdxdydz òòòWW2paa2-r2Qòòòxyzdxdydz=òsinqcosqdqòr3drW00ò012pzdz=sin2q|0×òr3dr20aa2-r2 òzdz=00由于W关于xoz面对称，又f(x,y,z)=xyz是W上关于y的奇函数，故 原积分=0 即等式成立。 òòòxyzdxdydz=0W
