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山东交通学院概率作业纸答案概率论与数理统计标准作业纸答案 第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率§1.3古典概率 一、单选题 1.事件AB表示 事件A与事件B同时发生 事件A与事件B都不发生 事件A与事件B不同时发生 以上都不对 2.事件A,B，有AÌB，则AUB= A B AB AB 3.设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是 (A)P(C)=P(AB) (B)P(C)=P(A)+P(B) (C)P(C)³P(A)+P(B)-1 (D)P(C)£P(A)+P(B)-1 4.已知P(A)=P(B)=P(C)=11， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=。则事件A、416B、C全不发生的概率为 5623(A) (B) (C) (D) 88885.已知事件A、B满足条件P(AB)=P(AB)，且P(A)=p，则P(B)= (A) 1-p (B) p (C) pp (D) 1- 226.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则以下结论中正确的是 (A)A和B都发生的概率等于1-p (B) A和B只有一个发生的概率等于1-p (C)A和B至少有一个发生的概率等于1-p(D)A发生B不发生或B发生A不发生的概率等于1-p 二、填空题 1.设A,B,C表示三个随机事件，用A,B,C的关系和运算表示 仅A发生为：ABC； 第 1 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 A,B,C中正好有一个发生为：ABC+ABC+ABC； A,B,C中至少有一个发生为：ABC； BC，或者ABC. A,B,C中至少有一个不发生表示为：A2.设P(A)=0.3，P(AUB)=0.6，若AÌB，则P(B)= 0.6 . 3.设随机事件A、B及AB的概率分别是0.4,0.3,和0.6.则P(AB)= 0.3 . 三、简答题 1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数.事件A表示“出现点数为偶数”，事件B表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件. A,B,AB,AB,A B解：A表示“出现点数为偶数”，A=2,4,6 B表示“出现点数可以被3整除”，B=3,6 ，AB=2,3,4,6 AB表示“出现点数可以被2或3整除” AB表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，AB=6 AB表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，AB=1,5 四、计算题 1.某城市家庭安装有线数字电视的占85%，安装网线的占70%，有线和网线至少安装一种的占95%.现从该城市任选一家庭，求： 该家庭两线都安装的的概率； 该家庭只安装其中一线的概率; 该家庭两线都不安装的的概率. 解 设A=安装有线数字电视，B=安装网线， 则 AB=有线和网线至少安装一种 . P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.85+0.70-0.95=0.6. AB+AB=只安装其中一线， P(AB+AB)=P(AB)-P(AB)=0.95-0.6=0.35 . 第 2 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 P(AB)=1-P(AB)=1-0.95=0.05 . §1.3古典概率 一、单选题 1将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上，任意取出3张排列成三位数，这个数是奇数的概率是 1331 251010二、填空题 1.从装有3只红球，2只白球的盒子中任意取出两只球，则其中有并且只有一只红球的概11C3C23率为= . C5252.把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为3!8! . 10!3.为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组，每组10队进行比赛，则最强的两个队19C2C1810被分在不同组内的概率为= . 1019C204.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球，则其中至少有一只红球的概率为 3C3341-3=. C7355.掷两枚筛子，则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 . 6. 将一枚匀称的骰子抛掷两次,则两次出现的点数之和等于8的概率是5. 36四、计算题 1将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率 A-任意3个盒子中各有一球；B-任意一个盒子中有3个球； C-任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球. 12131C4C3C3C43!3C491=解：P(A)=3= P(B)=3= P(C)=. 381616444第 3 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 2.某产品有大、中、小三种型号.某公司发出17件此产品,其中10件大号,4件中号，3件小号.交货人粗心随意将这些产品发给顾客.问一个订货为4件大号、3件中号和2件小号的顾客，能按所定型号如数得到订货的概率是多少？ 解 设A=能按所定型号如数得到订货， C4C3C2252 P(A)=1043=»0.104 92431C173.电话号码由7个数组成，每个数字可以是0，1，2， ，9中的任一个数字，求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率. 解：设A表示电话号码是由完全不相同的数字组成 16A9A P(A)=196»0.0605 A9104一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3 件，求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率； 取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率. 解：设事件Ai表示取出的3件产品中有2件i等品，其中i=1，2，3； 12121C92C11+C7C13+C4C16 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.671 3C20 设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，则111C9C7C4P(A)=1-P(A)=1-=0.779 3C20§1.4条件概率 一、单选题 1.事件A,B为两个互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0，则必有( B ) (A) P(A)=1-P(B) (B) P(A|B)=0 (C ) P(A|B)=1 (D) P(A|B)=1 2.将一枚筛子先后掷两次，设事件A表示两次出现的点数之和是10，事件B表示第一次出现的点数大于第二次，则P(BA)= 1125 (B) (C ) (D) 34563.设A、B是两个事件，若B发生必然导致A发生，则下列式子中正确的是 (A) 第 4 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 (A)P(AUB)=P(A) (B)P(AB)=P(A) (C)P(BA)=P(B) (D)P(B-A)=P(B)-P(A) 4袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到新球的概率为 33 (B) 54二、填空题 (A) (C ) 23 (D ) 4101.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BA)=0.8，则和事件AUB的概率P(AUB)= 0.7 . 2.A,B是两事件，P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B|A)=0.6,则P(A|AB)= 15=0.577 . 263.某厂一批产品中有4%的废品，而合格品中有75%的一等品.从该批产品中任取一件产品为一等品的概率为 0.72 . 4.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为1 . 65. 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率是 0.5 . 6.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案.若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85 . 三、计算题 1. 据多年来的气象记录知甲、乙两城市在一年内的雨天分布是均等的,且雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.求 (1) 某一天两市中至少有一市下雨的概率; (2) 乙市下雨的条件下, 甲市也下雨的概率; (3) 甲市下雨的条件下, 乙市也下雨的概率. 解 设A=甲市下雨,B=乙市下雨. 则 (1) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.18-0.12=0.26 ; 第 5 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 (2) P(A|B)=P(AB)0.12=0.67 ; P(B)0.18P(AB)0.12=0.6 . P(A)0.2(3) P(B|A)=2. 一人从外地到济南来参加会议,他乘火车的概率为0.5,乘飞机的概率为0.3,乘汽车的概率为0.2.如果乘火车来, 迟到的概率为0.25,乘飞机来迟到的概率为0.12,乘汽车来迟到的概率为0.08. 求此人迟到的概率. 解 设A1=此人乘火车来, A2=此人乘飞机来, A3=此人乘汽车来, B表示此人迟到. 由全概率公式得到 P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)=0.5´0.25+0.3´0.12+0.2´0.08=0.177 i=133. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查,求这件产品是次品的概率. 解 设B=取到的是一件次品, Ai=所取到的产品来自甲、乙、丙车间(i=1,2,3). 则 P(A1)=0.4,P(B|A1)=0.04,P(A2)=0.38,P(A3)=0.22， P(B|A2)=0.03, P(B|A3)=0.05. 由全概率公式可得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.4´0.04+0.38´0.03+0.22´0.05=0.0384.§1.5 事件的独立性 §1.6 独立试验序列 一、单选题 1.设A、B是两个相互独立的随机事件,P×P>0，则P(AUB)= ×P(A) P (B) 1-P +P×P(C) 1+P (D) 1-P 2.设P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(AB)=0.8，则下列结论正确的是 (A) 事件A与B互不相容 (B) AÌB (C) 事件A与B互相独立 (D) P(AUB)=P(A)+P(B) 3.设P(AB)=0,则(A) 第 6 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 (A) A,B互不相容 (B) A,B独立 (C)P(A)=0或P(B)=0三次射击中，恰好命中一次的概率;至少命中一次的概率. 解：设事件Ai表示第i次命中， 设B=恰好命中一次，则P(B)=P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3) =P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3) =0.4´0.5´0.3+0.6´0.5´0.3+0.6´0.5´0.7 =0.36 . 设C=至少命中一次，则P(C)=P(A1A2A3) =1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3) =1-0.6´0.5´0.3=0.91. 第 7 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 2.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率. 解：三个灯泡的使用时数显然是相互独立的，已知n=3，p=0.8,q=0.2 003112 P(0£m£1)=P3(0)+P3(1)=C3´0.8´0.2+C3´0.8´0.2 =0.104 . 3.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率. 解：设事件Ai表示第i台车床不需要照管，事件Ai表示第i台车床需要照管， B=三台车床中最多有一台需要工人看管， 则P(B)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3) =P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3) +P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3) =0.9´0.8´0.7+0.1´0.8´0.7+0.9´0.2´0.7+0.9´0.8´0.3 =0.902 . 第一章 练习题 1.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电流强度超过这一定值时，至少有一根保险丝被烧断的概率. 解：设A，B分别表示甲、乙保险丝被烧断 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.982.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变成为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米。假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率. 解：设第i次击中的概率为pi ，因为第i次击中的概率pi与距离di成反比， 所以设pi=k，； di由题设，知d1=100，p1=0.6，代入上式，得到k=60 第 8 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 再将k=60代入上式，易计算出p2=6060=0.4，p3=0.3. 150200 设事件A表示猎人击中动物，事件Bi表示猎人第i次击中动物，则 P(A)=1-P(B1B2B3)=1-0.4´0.6´0.7=0.832. 3.袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去。求第二 取出的球与第一次取出的球颜色相同的的概率. 解：设事件A表示第一次取出白球，事件B表示第二次取出白球，则事件A表示第一次取出黑球，事件B表示第二次取出黑球. 所求概率为： P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) =aa-1bb-1+ ××a+ba+b-1a+ba+b-14. 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新球。第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率. 解：设事件Bi表示第一次比赛时用了i个新球,事件A表示第二次取出的球都是新球，则 P(A)=åP(Bi)P(A|Bi) i=03331312333C3C9C32C9C8C3C9C7C9C6=3×3+3×3+3×3+3×3»0.146 C12C12C12C12C12C12C12C125.设甲箱中只有5个正品和3个次品, 乙箱中只有4个正品和3个次品. 现从甲箱中任取3个产品放入乙箱, 然后从乙箱中任取1个产品.求这个产品是正品的概率. 解 设A=从乙箱中取出的是正品, Bi=从甲箱中取出的3个产品中有i个次品 由全概率公式得 P(A)=åP(B)P(AB) iii=14 =10730615514329´+´+´+´=0.5875. 56105610561056105606一工厂有两个车间，某天一车间生产产品100件，其中15件次品；二车间生产产品50件，其中有10件次品，把产品堆放一起，求：从该天生第 9 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 产的产品中随机取一件检查，它是次品的概率；若已查出该产品是次品，则它是二车间生产的概率. 解：设事件“取的产品来自1车间”为A1,事件“取的产品来自2车间”为A2， “从中任取一个是次品”为B， 211P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=´0.15+´0.2= . 336 P(A2|B)=P(A2B)P(B|A2)P(A2)2= . P(B)P(B)57.设某型号的高射炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6. 现配置若干门炮独立的各发射一发炮弹, 问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？ 解 设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数. 记Ai=第i门炮击中敌机(i=1,2,n), A=敌机被击中. P(A)=1-P(A)=1-P(A1A2An) =1-P(A1)P(A2)P(An) =1-(0.4)n. 因此,按要求P(A)=1-(0.4)n0.99, 即(0.4) n 0.01. 解之, 得 nlg0.015.026. lg0.4可见, 至少需配置六门高射炮才能以99%以上的把握击中来犯的这架敌机. 8.甲乙丙三人同时向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果是三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率. 解：设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机，事件Di表示有i个人击中飞机(i=1,2,3)， 则 P(D1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36 P(D2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P(D3)=0.4×0.5×0.7=0.14 设E表示飞机被击落，则 P(E)=åP(Di)P(E|Di)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458. i=13第 10 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、单选题 1. 设离散随机变量X的分布律为: PX=k=blk,(k=1,2,3L),l<1, 且b>0，则l为 (A) l>0 (B)l=b+1 (C)l=2.设随机变量XB(2,p),YB(3,p), 若PX³1=11 (D)l= 1+bb-15,则PY³1=9 (B)(A)341729 (C)1927 (D)7 93.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A ) 32,b=-55二、填空题 (A)a=(B)a=22,b=33(C)a=-13,b=22(D)a=13,b=- 221.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为41, 失败的概率为, 将试验进行到出现55一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的分布律是 14PX=k=k-1× , k=1,2,L 552.如果随机变量X的分布律如下所示,则C= 25/12 . X 0 1 2 3 P 11112C3C4CC3.设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知PX=1=PX=2, 则 PX=42-2e(0.0902) . 3第 11 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 三、计算题 X1.设随机变量X的概率分布为 P-10113611 2求X的分布函数. ì0,ï1ï,ï3解：F(x)=íï1,ï2ï1,î当x<-1当-1£x<0当0£x<1当x³12. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码, 试求X的概率分布. 解：X的可能取值为3、4、5，计算得X的概率分布为: X 3 4 5 P 313 105103.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为l的泊松分布,即XP(l),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; 求1个月内至少发生1次交通事故的概率. 解： QXP(l)PX=k=lke-lk!,k=0,1,2L 根据题意 PX=8=2.5PX=10, 即l8e-l8!=2.5´l10e-l10!,解得 l=36,l=6. 268e-6610e-6(1)PX=8=»0.1033PX=10=»0.04138!10! (2)PX=0=el=e-6»0.00248PX³1=1-PX=0»1-0.00248»0.9975. 第 12 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 一、单选题 1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是 0£f(x)£1 0£F(x)£1 ò+¥-¥f(x)dx=1 f(x)=F'(x) 2.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是 ìsinx, f(x)=íî0,ìïsinx, f(x)=íïî0，0£x£p其它ìïsinx, f(x)=íïî0,0£x£其它p2 0£x£3p2 f(x)=sinx,-¥<x<+¥ 其它ì0,x£(*)ï2ïx3.设F(x)=í,(*)<x<2,当(*)取下列何值时,F(x)是连续型随机变量的分布函ï4ïî1,x³2数. (A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5 4.在区间-1,2上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是 ì3, f(x)=íî0, f(x)=3,-1£x£2其它ì1ï, f(x)=í3ïî0,-1£x£2其它1,-¥<x<+¥ 35.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是 -¥<x<+¥ f(x)=ì2e-2x, f(x)=íî0,x>0x£0 f(x)=2e-2x,-¥<x<+¥ 第 13 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 xì1-12ïe, f(x)=í2ï0,î2x>0x£0x1-12f(x)=e, 2-¥<x<+¥ 6.设XN(m,s),那么当s增大时，则P(X-m<s) (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 7.随机变量XN(m,1),且PX>2=PX£2,则m= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题 1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,(1)A=-¥<x<+¥ 1111; B= ;(2)P(-1£X£1)= 0.5 ;(3)概率密度f(x)=× . 2p1+x2p2.设随机变量X在在区间-1,2上服从均匀分布，则 (1)P(-6<x<-1)= 0 ; (2) P(-4<x<1)=2 ; 3 P(-2<x<3)= 1 ; (4) P(1<x<6)=1 . 33. 多年统计表明, 某厂生产的电视机的寿命Xe(0.2)(单位: 万小时). 某人购买了一台该厂生产的电视机, 其寿命超过4万小时的概率为e4.设随机变量XN(100,s0.383 . 2-0.8»0.4493. ),且P(X>103)=0.3085,则P(97<X<103)= 三、计算题 æc+x,ç1. 设随机变量X的概率密度：f(x)=çc-x,ç0,è求：常数c；概率P(X£0.5) . -1£x£00£x£1 x>1第 14 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 解：ò0-1(c+x)dx+ò(c-x)dx=1，c=1 01 (2) P(X£0.5)=ò0-0.5(1+x)dx+ò(1-x)dx=0.75. 00.52.设随机变量X在区间2,5上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率. ì1ï,解：X的概率密度为f(x)=í3ïî0,2£x£5其它，设Y为对X进行三次独立观测时测值2f(x)dx=. ò332022330则PY³2=PY=2+PY=3=C3p(1-p)+C3p(1-p)=. 273. 设随机变量X的概率密度为 大于3的次数，则Yb(3,p),其中p=PX>3=5f(x)=Ae-x,-¥<x<+¥ 求: (1)系数A; (2)P(0<X<1). +¥+¥解(1) 因为:-¥òf(x)dx=-¥òAedx=1 -x所以 A=0.5 1(2) P(0<X<1)=Ae0ò-x111dx=òe-xdx=(1-)»0.316 2e20214.设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求下列概率： (1)P(X<2.2)=0.7275 (2)P(-1.6£X<5.8)=0.8950 (3)P(X£3.5)=0.8822 (4)P(X³4.56)=0.0402 §2.4 随机变量的函数及其分布 一、计算题 1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： 第 15 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 Y=2X-1 Y=X2-X (3)Y=答案(1) Y p (2) Y p (3) Y p 0 0.216 1 0.432 0 0.648 2 0.288 -1 0.216 1 0.432 X(X+1) 23 5 0.064 0.288 6 0.064 3 0.288 ， 6 0.064 ì2x,2.设随机变量X的概率密度f(x)=íî0,求下列随机变量的概率密度： 0£x£1其它Y=1+2X Y=1-2X (3)Y=X 答案 2ìy-1,ïfy(y)=í2ïî0,1£y£3ì1-y,ï fy(y)=í2ï其它î0,2-1£y£1其它y£0ìï0,解：FY(y)=PY£y=PX£y=í P-y£X£y,y>0ïî当y>0时， FY(y)=P-y£X£y=FX(y)-FX(-y) 1)=12y(fX(y)+fX(-y)fY(y)=fX(y)当0<12y-fX(-y)(-2yy£1时，即0<y£1，fX(y)=2y 而-y<0时，fX(-y)=0 ì1,fY(y)=íî0,0<y£1其它 . 3.设随机变量X的概率密度为 第 16 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 ì2e-2x,f(x)=íî0,求随机变量Y=2X的概率密度fY(y). x>0x£0ìe-y,答案 fY(y)=íî0,y>0y£04.设随机变量X的概率密度为: ìxï,0<x<4，fX(x)=í8ïî0,其他 求随机变量 y=2X+8的概率密度. 解:先求出y的分布函数: FY(y)=P(Y£y)=P(2X+8£y)y-8y-8üì=PíX£ý=ò-¥2fX(x)dx 2þî两边同时对y求导数, 得y=2X+8的概率密度为： ì1æy-8ö1y-8×,0<<4÷2y-81ï22ï8çøfY(y)=fX×=íè 22ï0,其它，ïîìy-8,8<y<16ï=í32ï0,其它î 第二章 练习题 1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布. 解： X 0 1 2 3 P 1111 2 3 3 22222.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大第 17 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 于10的概率. 解：设X表示一段时间内断纱的次数，则XB(800,0.005) 由于n=800足够大，X还近似服从P(4) 4ke-4 P(0£X£10)»å=0.997. k!k=0103. 确定常数c, 使如下函数 成为某个随机变量的概率密度. 解 令+¥10x1,ìcx,ïg(x)=íc(2-x),1<x2,ï0,其它î 3c+2c-c=1, 得c=1. ò-¥0122显然, 非负性g(x)³0(XÎ(-¥,+¥)满足. g(x)dx=òcxdx+òc(2-x)dx=21所以, 函数g(x)在c=1条件下可以作为某个连续型随机变量的概率密度. 4.设随机变量X的概率密度 ìAx2e-x，f(x)=íî0,求：常数A；概率P(X³1). 解：x>0x£0ò¥0Ax2e-xdx=AG(3)=2A=1,A=1 2P(X³1)=ò¥112-x5xedx=e-1=0.9197 . 225.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度 xì1-ïxe2500,f(x)=í1250ï0,î2x>0x£0如果弹着点距离目标不超过50m时，即可摧毁目标.求： 求：发射一枚炮弹，摧毁目标的概率； 至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？ 第 18 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 解：P(X£50)=ò5001xe1250n-x22500dx=1-e-1=0.6321 1-(1-0.6321)³0.95，解得n³3 6.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命都服从同一指数分布，1xì1-600e,ï概率密度为：f(x)=í600ï0,îx>0x£0试求：在仪器使用的最初的200h内至少有一只电子元件损害的概率. ¥x11-600edx=e3 解：P(X>200)=ò200600设A表示最初的200h内至少有一只电子元件损害 3æ1ö13÷çP(A)=1-çe÷=1-. eèø7. 设随机变量X的概率密度为 fX(x)=求：随机变量Y=1-31,-¥<x<+¥， p(1+x2)X的概率密度fY(y). 3解：FY(y)=P(X³(1-y)=1-ò(1-y)3-¥1dx p(1+x2)3(1-y)2fY(y)=,-¥<y<+¥ 6péë1+(1-y)ùû8. 设随机变量X服从指数分布e(l)，其中l>0，求随机变量函数Y=e的概率密度. Xìle-lx,解：fX(x)=íî0,x>0 其它ìï0,y£0FY(y)=PY£y=PeX£y=í ïîPX£lny,y>0当y>0时， FY(y)=PX£lny=FX(lny) 第 19 页 概率论与数理统计标准作业纸答案 fY(y)=fX(lny)1 y-llny=ly-l 当lny>0时，即y>1，fX(lny)=leìly-(l+1), fY(y)=íî0,y>1 y£1第三章 二维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变