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    小学数学典型应用题分类汇总.docx

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    小学数学典型应用题分类汇总.docx

    小学数学典型应用题分类汇总小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来,这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件,第二部分是所求问题。应用题的条件和问题,组成了应用题的结构。 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题,叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系,可以用特定的步骤和方法来解答的应用题,叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题: 1、归一问题 2、归总问题 3、和差问题 4、和倍问题 5、差倍问题 6、倍比问题 7、相遇问题 8、追及问题 9、植树问题 10、年龄问题 1 归一问题 在解题时,先求出一份是多少,然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 总量÷份数1份数量 1份数量×所占份数所求几份的数量 另一总量÷所求份数 11、行船问题 12、列车问题 13、时钟问题 14、盈亏问题 15、工程问题 16、正反比例问题 17、按比例分配 18、百分数问题 19、“牛吃草”问题 20、鸡兔同笼问题 21、方阵问题 22、商品利润问题 23、存款利率问题 24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 26、幻方问题 27、抽屉原则问题 28、公约公倍问题 29、最值问题 30、列方程问题 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。 例1 买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱? 解买1支铅笔多少钱? 0.6÷50.12 买16支铅笔需要多少钱?0.12×161.92 列成综合算式 0.6÷5×160.12×161.92 答:需要1.92元。 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷? 解1台拖拉机1天耕地多少公顷? 90÷3÷310 5台拖拉机6天耕地多少公顷? 10×5×6300 列成综合算式 90÷3÷3×5×610×30300 答:5台拖拉机6 天耕地300公顷。 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次? 解 1辆汽车1次能运多少吨钢材? 100÷5÷45 7辆汽车1次能运多少吨钢材? 5×735 105吨钢材7辆汽车需要运几次? 105÷353 列成综合算式 105÷3 答:需要运3次。 2 归总问题 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 1份数量×份数总量 总量÷1份数量份数 1 总量÷另一份数另一每份数量 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套? 解 这批布总共有多少米? 3.2×7912531.2 现在可以做多少套? 2531.2÷2.8904 列成综合算式 3.2×791÷2.8904 答:现在可以做904套。 例2 小华每天读24页书,12天读完了红岩一书。小明每天读36页书,几天可以读完红岩? 解 红岩这本书总共多少页? 24×12288 小明几天可以读完红岩? 288÷368 列成综合算式 24×12÷368 答:小明8天可以读完红岩。 例3 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天? 解 这批蔬菜共有多少千克? 50×301500 这批蔬菜可以吃多少天? 1500÷25 列成综合算式 50×30÷1500÷6025 答:这批蔬菜可以吃25天。 3 和差问题 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 大数÷ 2 小数÷ 2 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人? 解 甲班人数÷252 乙班人数÷246 答:甲班有52人,乙班有46人。 例2 长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。 解 长÷210 宽÷28 长方形的面积 10×880 答:长方形的面积为80平方厘米。 例3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量÷212 丙袋化肥重量÷210 乙袋化肥重量321220 答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐? 解 “从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是,甲与乙的和是97,因此 甲车筐数÷264 2 乙车筐数976433 答:甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。 4 和倍问题 已知两个数的和及大数是小数的几倍,要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。 总和 ÷较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 ×几倍 较大的数 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵? 解 杏树有多少棵? 248÷62 桃树有多少棵? 62×3186 答:杏树有62棵,桃树有186棵。 例2 东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨? 解 西库存粮数480÷200 东库存粮数480200280 答:东库存粮280吨,西库存粮200吨。 例3 甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍? 解 每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数就相当于倍, 那么,几天以后甲站的车辆数减少为 ÷28 所求天数为 ÷6 答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少? 解 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。 因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍; 又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍; 这时就相当于倍。那么, 甲数÷28 乙数28×2452 丙数28×3690 答:甲数是28,乙数是52,丙数是90。 5 差倍问题 已知两个数的差及大数是小数的几倍,要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。 两个数的差÷较小的数 较小的数×几倍较大的数 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵? 解 杏树有多少棵? 124÷62 桃树有多少棵? 62×3186 答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。 例2 爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁? 3 解 儿子年龄27÷9 爸爸年龄9×436 答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。 例3 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元? 解 如果把上月盈利作为1倍量,则万元就相当于上月盈利的倍,因此 上月盈利÷18 本月盈利183048 答:上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。 例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍? 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,就相当于倍,因此 剩下的小麦数量÷22 运出的小麦数量942272 运粮的天数72÷98 答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。 6 倍比问题 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。 总量÷一个数量倍数 另一个数量×倍数另一总量 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少? 解 3700千克是100千克的多少倍? 3700÷10037 可以榨油多少千克? 40×371480 列成综合算式 40×1480 答:可以榨油1480千克。 例2 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵? 解 48000名是300名的多少倍? 48000÷300160 共植树多少棵? 400×16064000 列成综合算式 400×64000 答:全县48000名师生共植树64000棵。 例3 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元? 解 800亩是4亩的几倍? 800÷4200 800亩收入多少元? 11111×2002222200 16000亩是800亩的几倍? 16000÷80020 16000亩收入多少元? 2222200×2044444000 答:全乡800亩果园共收入2222200元, 全县16000亩果园共收入44444000元。 7 相遇问题 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 相遇时间总路程÷ 4 总路程×相遇时间 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇? 解 392÷8 答:经过8小时两船相遇。 例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间? 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为400×2 相遇时间÷100 答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是千米,因此, 相遇时间÷3 两地距离×384 答:两地距离是84千米。 8 追及问题 两个运动物体在不同地点同时出发作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 追及时间追及路程÷ 追及路程×追及时间 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马? 解 劣马先走12天能走多少千米? 75×12900 好马几天追上劣马? 900÷20 列成综合算式 75×12÷900÷4520 答:好马20天能追上劣马。 例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用40×秒,所以小亮的速度是 ÷40×300÷1003 答:小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是小时,这段时间敌人逃跑的路程是10×千米,甲乙两地相距60千米。由此推知 5 追及时间10×60÷ 220÷2011 答:解放军在11小时后可以追上敌人。 例4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间, 这个时间为 16×2÷4 所以两站间的距离为 ×4352 列成综合算式 ×16×2÷88×4352 答:甲乙两站的距离是352千米。 例5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远? 解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间内哥哥比妹妹多走米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走米, 那么,二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷12 家离学校的距离为 90×12180900 答:家离学校有900米远。 例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了 分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用9分钟。所以 步行1千米所用时间为 1÷90.2515 跑步1千米所用时间为 15911 跑步速度为每小时 1÷11605.5 答:孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。 9 植树问题 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。 线形植树 棵数距离÷棵距1 环形植树 棵数距离÷棵距 方形植树 棵数距离÷棵距4 三角形植树 棵数距离÷棵距3 面积植树 棵数面积÷ 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。 例1 一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 解 136÷2168169 答:一共要栽69棵垂柳。 例2 一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树? 6 解 400÷4100 答:一共能栽100棵白杨树。 例3 一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯? 解 220×4÷841104106 答:一共可以安装106个照明灯。 例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖? 解 96÷96÷0.24400 答:至少需要400块地板砖。 例5 一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯? 解 桥的一边有多少个电杆? 500÷50111 桥的两边有多少个电杆? 11×222 大桥两边可安装多少盏路灯?22×244 答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。 10 年龄问题 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解 35÷57 ÷6 甲 乙 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍, 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。 例2 母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍? 解 母亲比女儿的年龄大多少岁? 37730 几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷73 列成综合算式 ÷73 答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。 例3 3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁? 解 今年父子的年龄和应该比3年前增加岁, 今年二人的年龄和为 493×255 把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于倍,因此,今年儿子年龄为 55÷11 今年父亲年龄为 11×444 答:今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。 例4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少? 解:这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析: 过去某一年 岁 4岁 今 年 将来某一年 岁 岁 61岁 岁 表中两个“”表示同一个数,两个“”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等:461,也就是4,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差, 7 因此二人年龄差为 ÷319 甲今年的岁数为 611942 乙今年的岁数为 421923 答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。 11 行船问题 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 ÷2船速 ÷2水速 顺水速船速×2逆水速逆水速水速×2 逆水速船速×2顺水速顺水速水速×2 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时? 解 由条件知,顺水速船速水速320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时 320÷81525 船的逆水速为 251510 船逆水行这段路程的时间为 320÷1032 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。 例2 甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间? 解由题意得 甲船速水速360÷1036 甲船速水速360÷1820 可见 相当于水速的2倍, 所以, 水速为每小时 ÷28 又因为, 乙船速水速360÷15, 所以, 乙船速为 360÷15832 乙船顺水速为 32840 所以, 乙船顺水航行360千米需要360÷409 答:乙船返回原地需要9小时。 例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时? 解 这道题可以按照流水问题来解答。 两城相距多少千米?×31656 顺风飞回需要多少小时?1656÷2.76 列成综合算式×3÷2.76 答:飞机顺风飞回需要2.76小时。 12 列车问题 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 火车过桥:过桥时间÷车速 火车追及: 追及时间÷ 火车相遇: 相遇时间÷ 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米? 解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 火车3分钟行多少米? 900×32700 这列火车长多少米? 27002400300 列成综合算式 900×32400300 8 答:这列火车长300米。 例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米? 解 火车过桥所用的时间是2分5秒125秒,所走的路程是米,这段路程就是,所以,桥长为 8×125200800 答:大桥的长度是800米。 例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间? 解 从追上到追过,快车比慢车要多行米,而快车比慢车每秒多行米,因此,所求的时间为 ÷73 答:需要73秒。 例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间? 解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。 150÷6 答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。 例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少? 解 车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在秒的时间内行驶了米的路程,因此,火车的车速为每秒 ÷25 进而可知,车长和桥长的和为米, 因此,车长为 25×581250200 答:这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。 13 时钟问题 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 分针的速度是时针的12倍, 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合? 解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为 20÷ 22 答:再经过22分钟时针正好与分针重合。 例2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角? 解 钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格。四点整的时候,分针在时针后 格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走 格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走格。再根据1分钟分针比时针多走格就可以求出 二针成直角的时间。 ÷ 6 ÷ 38 答:4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合? 解 六点整的时候,分针在时针后格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 9 ÷ 33 答:6点33分的时候分针与时针重合。 14 盈亏问题 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余,一次不足,或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有: 参加分配总人数÷分配差 参加分配总人数÷分配差 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果? 解 按照“参加分配的总人数÷分配差”的数量关系: 有小朋友多少人? ÷12 有多少个苹果? 3×121147 答:有小朋友12人,有47个苹果。 例2 修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米? 解 题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数÷分配差”的数量关系,可以得知 原定完成任务的天数为÷22 这条路全长为 300×7800 答:这条路全长7800米。 例3 学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人? 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有 有多少车? ÷6 有多少人? 40×630270 答:有6 辆车,有270人。 15 工程问题 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数,进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量工作效率×工作时间 工作时间工作量÷工作效率 工作时间总工作量÷ 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成? 解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的。 由此可以列出算式: 1÷1÷1/66 答:两队合做需要6天完成。 10 例2 一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个? 解 设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成,二人合做时每小时完成。因为二人合做需要1÷小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以 每小时甲比乙多做多少零件? 24÷1÷7 这批零件共有多少个? 7÷168 答:这批零件共有168个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算: 两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843 由此可知,甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7 所以,这批零件共有 24÷1/7168 例3 一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成? 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷125 60÷106 60÷154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 ÷5 答:还需要5小时才能完成。 例4 一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管? 解 注水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为,2个进水管15小时注水量为,从而可知 每小时的排水量为 ÷1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×51×515 又因为在2小时内,每个进水管的注水量为 1×2,所以,2小时内注满一池水至少需要多少个进水管? ÷ 8.59 答:至少需要9个进水管。 16 正反比例问题 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定,那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 11 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。 解决这类问题的重要方法是:把分率转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米? 解 由条件知,公路总长不变。 原已修长度总长度114312 现已修长度总长度113412 比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于份,从而知公路总长为 300÷×123600 答: 这条公路总长3600米。 例2 张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题? 解 做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题 则有 28491X 28X91×4 X91×4÷28 X13 答:91分钟可以做13道应用题。 例3 孙亮看十万个为什么这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完? 解 书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完,就有 2436X15 36X24×15 X10 答:10天就可以看完。 例4 一个大矩形被分成六个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大矩形的面积。 A 25 0 36 B 6 解 由面积÷宽长可知,当长一定时,面积与宽成正比,所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。因此, A362016 25B2016 解这两个比例,得 A45 B20 所以,大矩形面积为 453625202016162 答:大矩形的面积是162 17 按比例分配问题 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几,再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。 例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵? 解 总份数为 474845140 12 12 一班植树 560×47/140188 二班植树 560×48/140192 三班植树 560×45/140180 答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。 例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米? 解 34512 60×3/1215 60×4/1220 60×5/1225 答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。 例3 从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到 1/21/31/9962 96217 17×9/179 17×6/176 17×2/172 答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。 例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人? 人 数 对应的份数 80人 128 一共多少人? 81221 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可

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