小学数学奥林匹克竞赛三阶幻方.docx

小学数学奥林匹克竞赛三阶幻方 三阶幻方 同学们： 在3´3的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上19这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在4´4的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4´4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。 思路指导与解答 例1. 用19这九个数编排一个三阶幻方。 a dbehcfig 图1 图2 分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图： 通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。 求幻和： 幻和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)¸3 =45¸3=15 选择突破口，显然是e，看图2。 因为：a+e+i=b+e+h=c+e+g=d+e+f=15 - 1 - 所以：(a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f) =15+15+15+15=60 也就是：(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3´e=60 又因为：a+b+c+d+e+f+g+h+i=45 所以45+3´e=60 3´e=60-45 e=5 也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是19这九个数中正中间的数。 四个角上的数，a、c、g、i的特点。 我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为a+i=10，所以i也是奇数。因为奇奇偶。又因为a+d+g=15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况： <1>当d、g都是奇数时，因为d+e+f=15，g+h+i=15，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而19中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。 <2>当d、g为偶数时，因为d+f=10，g+h+i=15，c+g=10，因为i为奇数，所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而19这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g都是偶数也不行。 所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10知i也是偶数。 用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。 试验填数排出幻方。 因为e=5，a、c、g、i是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试验。 当a=2时，i=8，c=4或6，若c=4，则有g=6 - 2 - b=9，d=7，f=3，h=1，若c=6，则有g=4 b=7，d=9，f=1，h=3，这样可填出两个幻方。 当a=4、6、8时，请同学们自己练习填写。 用19这九个数编排的三阶幻方有八个： 2 795143829475361843895127664 9357357816492618834753159图329467267215983428 16 说明：在上面图形中给出的用19这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。 例2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。 分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24¸3=8，那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。 因为：1+15=16，4+12=16，7+9=16 2+14=16，5+11=163+13=16，6+10=16- 3 - 按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24。 7 12681011495 例3. 在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。 分析：从第一行和对角线可得： /+7+D=A/+10+6 A 7+D=16 D=9 这样幻和=9+15+6=30 从第一行中可求出： A=30-(7+9)=14 从第二行中可求出： B=30-(10+15)=5 从第三行中可求出： C=30-(11+6)=13 例4. 在下面各图形的里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。 9 10 218 分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角的数。 - 4 - 21-8=13，21-10=11 想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。 1311/11211021129310 3849475856676576 当8右边的数和10下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。 填写左下角内的数：21-(8+6)=7，左下角为7。 填写下面内的数：21-(6+10)=5，上面数应填5。 左边线上三个数相加：5+9+7=21，说明符合条件。 59 10 21786答题时间：25分钟 认真思考，独立完成 1. 用19这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。 52图16- 5 - 2. 用311这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。 485图2 3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。 9请做完之后再看答案！ - 6 - 认真思考，独立完成 1. 用19这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。 4 93578162 2. 用311这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。 4 119758310 3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。 7 14612108116139- 7 -