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小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程(四年级) 本教程共30讲 鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×1632脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-3212脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔÷=6， 有鸡16-610。 答：有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×1664脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了644420脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-22。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。 有鸡÷=10， 有兔16106。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312，因为160÷280，故小和尚有80人，大和尚有 1008020。 同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16304，比实际多30428024，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118，所以 买普通文化用品 24÷8=3， 买彩色文化用品 16313。 例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426，而180÷630，因此有兔子30只，鸡1003070。 解：有兔÷30， 有鸡10030=70。 答：有鸡70只，兔30只。 例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有÷30， 大瓶有50-3020。 答：有大瓶20个，小瓶30个。 例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？ 分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。 利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9小卡车。这样每辆小卡车能装144÷916。由此可求出这批钢材有多少吨。 解：4×36÷×45720。 答：这批钢材有720吨。 例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5。因此共打破花瓶4.5÷1.53。 解：÷3。 答：共打破3只花瓶。 例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？ 分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了 12×60。 可求出小乐每分钟跳 ÷90， 小乐一共跳了90×3=270，因此小喜比小乐共多跳 780270×2240。 练习13 1鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？ 2学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？ 3班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？ 4龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？ 5小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？ 6一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？ 7振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？ 8有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？ 9蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？ 答案与提示练习 1.兔75只，鸡25只。 2.象棋9副，跳棋17副。 3.活页簿21本，日记本11本。 4.30只龟，70只鹤。 5.贺年卡5张，明信片9张。 6.6天。 7.15道。 8.4800千克。 解：÷×1204800。 9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。 提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。 10.兔18只，鸡14只。 解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-4×4=84，所以， 鸡有84÷=14， 兔有14+4=18。