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    小学五年奥数第13讲 最大公约数与最小公倍.docx

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    小学五年奥数第13讲 最大公约数与最小公倍.docx

    小学五年奥数第13讲 最大公约数与最小公倍 第13讲 最大公约数与最小公倍数 这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法 可知,=2×3=6,18,12=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么 ×18,12 =× =× =18×12。 也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。从而得出一个重要结论: 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。即, ×a,b=a×b。 例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。 解:由上面的结论,另一个自然数是÷18=24。 例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。 分析与解:如果将两个自然数都除以7,则原题变为:“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是1×30=30,和是11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6, 由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。 例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。 分析与解:因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是12,15=60的倍数。再由a,b,c=120知, a只能是60或120。a,c=15,说明c没有质因数2,又因为a,b,c=120=2×3×5,所以c=15。 因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为:“a是60或120,=12,a,b=120,求a,b。” 当a=60时, b=×a,b÷a =12×120÷60=24; 当a=120时, b=×a,b÷a =12×120÷120=12。 所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。 要将它们全部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。问:每瓶最多装多少千克? 分析与解:如果三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题,可以将重量分别乘以某个数,将分数化为整数,求3出数值后,再除以这个数。为此,先求几个分母的最小公倍数,6,4,9=36,三种溶液的重量都乘以36后,变为150,135和80, =5。 上式说明,若三种溶液分别重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克。可实际重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装 在例4中,出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中。 如果若干个分数都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数。 由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的方法: 先将各个分数化为假分数; 求出各个分数的分母的最小公倍数a; 求出各个分数的分子的最大公约数b; 类似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。 如果某个分数同时是若干个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数。 求一组分数的最小公倍数的方法: 先将各个分数化为假分数; 求出各个分数的分子的最小公倍数a; 求出各个分数的分母的最大公约数b; 一个陷井。它们之中谁先掉进陷井?它掉进陷井时另一个跳了多远? 同理,黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为 所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5。 黄鼠狼先掉进陷井,它掉进陷井时,狐狸跳了 练习13 1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。 2.两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组? 3.求下列各组分数的最大公约数: 4.求下列各组分数的最小公倍数: 部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。问:最少要装多少瓶? 于同一处只有一次,求圆形绿地的周长。

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