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导数应用补充练习题导数应用补充练习题 1. 单调函数的导函数亦为单调函数； ( ) 参考答案：； 2. 曲线凹与凸的分界点叫拐点,( x0,f(x0)为拐点的充分必要条件是 f"(x0)=0；参考答案：； 3. 曲线凹与凸的分界点叫拐点,( x0,f(x0)为拐点的必要条件是f"(x0)=0； 参考答案：； 4. 曲线y=x2lnx 在点(1,0)邻近是凹的;在点(参考答案：； 5. 驻点一定是极值点；( ) 参考答案：； 6. 设函数y=f(x)在开区间(a,b)内有二阶导数,如果在(a,b)内f"(x)<0,则曲线在(a,b)内是凸的；( ) 参考答案：； 7. 若x0是可导函数f(x) 的一个极值点,则必有f¢(x0)=0； ( ) 参考答案：； 8. 若函数f(x)在开区间(a,b)内是单调的,则曲线y=f(x)必是上凹的或必是下凹的； ( ) 参考答案：； 9. 若f(x)在0,+¥)上连续,且在(0,+¥)内f¢(x)<0,则f(0)为f(x)在0,+¥)上的最大值； ( ) 1e2,-2e4)邻近是凸的；( ) 参考答案：； 10. 若f(x) 在a,b 有定义，在(a,b)可导，则必存在xÎ(a,b),使f'(x)=0； 参考答案：； 11. 若f(x) 在a,b 连续，且f(a)=f(b),，则必存在xÎ(a,b),使f'(x)=0； 参考答案：； 12. 若对任意xÎ(a,b),都有f'(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数； 参考答案：； 13. 若f(x)与g(x)可导，limf(x)=limg(x)=0,则limx®ax®af(x)g(x)一定存在； x®a参考答案：； 14. lim2x2x-1=lim(2x)'(2x-1)'x®2x®2;( ) 参考答案：； 15. æe2x-1ölim=limç÷x®0sinxx®0èsinxøe-12x¢ ( ) 参考答案：； 16. 若f(x)为(a,b)内严格单调增加函数，f(x)在(a,b)内可导，则必有 f'(x)>0；参考答案：； 17. 若f'(x)>0,则f(x)>0； 参考答案：； 18. 若在(a,b)内f(x)与g(x)可导，且f¢(x)>g¢(x)，则在(a,b)必有f(x)>g(x；) 参考答案：； 19. 若f(x)在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，且f¢¢(x0)=0,f¢¢¢(x0)¹0则 (x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点；参考答案：； 20. 若f'(x0)=0,则x0必为f'(x0)的极值点. 参考答案：； 21. 若f(x)可导,x0为f(x)极值点,则必有f'(x0)=0 ； 参考答案：； 22. 若偶函数f(x)有二阶连续导数,且f"(0>) 参考答案：； 23. 若f(x)在a,b上连续,则f(x)在Î(a,b)取得最大值得必要条件是则0,x=是0fx的(极)小值点f'(x0)=0. 参考答案：； 24. 若f(x)在(a,b)上连续，且在x0Î(a,b)取得最小值，则x0必是f(x)的极小值点； 参考答案：； 25. ln(1+x)的n阶麦克劳林公式是 ln(1+x)=x-x22!+x33!-L+(-1)n-1xnn!+o(xn+1) 参考答案：； 选择题 1. 以下结论正确的是 (A)函数f(x)二阶可导,且在点x0取得极小值，则f¢¢(x0)>0； (B)设函数f(x)在a, b上可导，且f¢(x)>0,则方程f(x)=0在a, b上至多有一个实根； (C)设函数 f(x)在a,b上可导，f(a)¹f(b)，则一定不存在一点xÎ(a,b)f¢(x)=0； (D)若函数f(x)在 x0处有定义且极限limf(x)存在，则f(x)在点x0x®x0，使连续； 2. 函数f(x)=2x2-x+1在区间-1, 1满足拉格朗日中值定理的x = (A)-12； (B)0； (C)xf(3x)1612； (D)1 f(2x)x= 433. 已知 lim(A)13x®0=2, 则 lim12x®0； (B)； (C)； (D) 13sin3x4. 设a是常数，则当函数f(x)=asinx+ (A)0 (B)1 在x=p3处取得极值时，必有a (C)2 (D)3 5. 函数y=x3-1在区间-1,1上的最大值是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 6. 函数y=x3-1在区间-1,1上的最小值是 (A)0 (B)-1 (C)-2 (D)不存在 7. 函数y=(x-1)3-1的拐点是 (A) (B) (C) (D)不存在 8. 点是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有 (A)a=1,b=-3,c=1； (B)a为任意值，b=0,c=1； (C)a=1,b=0,c为任意值； (D)a,b为任意值，c=1； 9. lim(x®01x-1e-1x)= ( (C) ) (A)1 (B)-1 (C)1/2 (D)-1/2 110. lim(1+sinx)x= ( (C) ) x®0(A)1 (B)-1 (C)e (D)e1-111. lim(e-5x)x= ( (D) ) x®¥3x(A)e-2 (B)e2 (C)e-3 (D)e3 12. 函数y= x4(12lnx-7)的拐点是( (B) ) (A)(-1,7) (B) (1,-7) (C) (7,1) (D) (-1,-7) 13. 若点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点,则a,b的值分别为 ( (B) ) (A)-32,-92； (B) -39,22 (C)32,-92 (D)39,2214. 若f(x)在(a,b)内可导，x1,x2是(a,b)内任意两点，且x1<x2,则至少存在一点x使 (A)f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a),其中a<x<b; (B)f(b)-f(x1)=f'(x)(b-x1),其中x1<x<b; (C)f(x2)-f(x1)=f'(x)(x2-x1),其中x1<x<x2; (D)f(x2)-f(a)=f'(x)(x2-a),其中a<x<x2; 15. 下列函数在-1,1上满足罗尔定理条件的是； (A)e; (B) ln|x|; (C)1-x2; (D)x11-x;216. 下列各式中正确运用罗必塔法则求极限的是； (A)limx®osinxe-1x=limx®ocosxex=limx®o-sinxex=0; (B) limx+sinxxx®¥=lim(1+cosx)不存在; x®¥(C)limx®01sinx-xcosxsinx-xcosxxsinx1æ1ölimlimlim; =-ctgx=ç÷232x®0x®0x®033xxxsinxxèxø(D)lime-ee+exx-x-xx®¥=limee-x-x(e(e2x2x-1)+1)=limee2x2x-1+1x®¥x®¥=lim2e2e2x2xx®¥=1. ìx1ïx-1,0<x<1及x>1,f(x)=当f(x)在x=1处连续时a= 17. íïîa,x=1,(A) 0; (B) 1; (C) e; (D) 1/e 18. 方程ex-x-1=0,则 (A)没有实根； (B)有仅有一个实根； (C)有且仅有两个实根； (D)有三个不同实根。 19. 设f(x)具有连续的二阶导数，点(0,f(0)为󰀀)曲线y=f(x)的拐点，则limx®0f(x)-2f(0+)f-(x)= 2x(A)0 (B)2 (C)f'(0) (D)2f'(0) 20. 若在区间(a,b󰀀。 )内函数f'(x)>0,f''(x)<0,则f(x)在(a,b)内(A)单调减、凹曲线 (B)单调减、凸曲线 (C)单调增、凹曲线 (D)单调增、凸曲线 21. 要使点为曲线y=ax3+bx2的拐点，则a,b的值应为 (A)a=92,b=-32 (B)a=-,b=2392 (C)a=-1,b=3 (D)a=2,b=1 22. 设limf(x)-f(a)(x-a)2x®a=-1,则在点a处有 (A)f(x)的导数存在且f¢(a)¹0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值 (D)f(x)导数不存在 23. 设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，若f(x0)>0，且f'(x0)=0，则f(x)在点x0 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某个邻域内单调增 (D)某个邻域内单调减 24. 设f(x)在x=p2p2的某一邻域内可导，且f'(x)æpöf'ç÷=0,lim=-1,则 (A)f必为f(x)的一个极大值 (B)f(p2)必为f(x)的一个极小值 (C)f(x)在该邻域内单调增加 (D)f(x)在该邻域内单调减少 25. 设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 (A)必有最大值或最小值 (B)既有最大值又有最小值 (C)既有极大值又有极小值 (D)至少存在一点x,使f'(x)=026. 设函数f(x)在a,b有定义，则f(x)在x=a与x=b处 (A)可能取得极小值 (B)可能取得极大值 (C)可能取得最大值或最小值 (D)既不能取得极值，也不能取得最值 27. 函数f(x)有连续二阶导数且f(0)=0，f¢(0)=1，f¢¢(0)=-2，则lim(A)不存在； (B)0； (C)-1； (D)-2 f(x)-xx2=x®028. f(x)在(a,b)内连续，x0Î(a,b),f¢(x0)=f¢¢(x0)=0，则f(x)在x=0处 (A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)一定有拐点(x0),f(x0)； (D)可能取得极值，也可能有拐点。 29. 设f(x)为可导函数，x为开区间(a, b)内一定点，f(x)>0，且当x¹x时，(x-x)f(x)>0，则在闭区间a, b上总有 '(A)f(x)<0 (B) f(x)£0 (C)f(x)>0 (D)f(x)³0 30. 函数f(x)=2x2-x+1在区间-1, 3上满足拉格朗日中值定理的x= (A)-34； (B)0； (C)34； (D)131. 设函数f(x)在a, b上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则在开区间(a, b)内 (A)至少存在一点x(C)任意点x，使得f(x)=0； (B)至少存在一点x，使得f¢(x)>0； 处，总有f¢(x)=0； (D)任意点x处，总有f¢(x)¹0； 32. 若f(x)在开区间(a,b )内可导，且对(a,b )内任意两点x1, x2，恒有 f(x2)-f(1x)£ 'x(2'x-)1则必有 2 (B)f(x)=x(A)f(x)¹0 ； (C)f(x)=x； (D)f(x)ºc (常数) 33. 设f'(x)³g'(x)，且f(a)=g(a)，则当x³a时有 (A)f(x)>g(x)； (B)f(x)<g(x)； (C)f(x)³g(x)； (D)f(x)£g(x)34. 曲线y=ex-e-x在区间1,ln6 (A)单调增，向上凸 (B)单调增，向下凸 (C)单调减，向上凸 (D)单调减，向下凸 135. y=3-2(x+1)3的极值为 (A)-1； (B)无极值； (C)0； (D)1； 填空 1. x®+¥lim(x+x-x)= ； 参考答案：0； 2. limxcot5x= ； x®0参考答案：； 513. x®0lim+sinxlnx= ； 参考答案：0； 4. x®0lim+xlnx= ； 参考答案：0； 5. 函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则方程f'(x)=0有_个实数根； 参考答案：2； 6. 对曲线y=ax3+bx2+cx+d使得(-2,44)为驻点,(1,-10)为拐点的a=_,b=_,c=_,d=_； 参考答案：a=1,b=-3,c=-24,d=16； 7. 函数y=(x-5)3x2的极大值点为_ _； 参考答案：； 8. 函数y=(x-5)3x2的极小值点为_ _； 参考答案：(2,-334) ； 9. 函数y=(x-5)3x2的极大值为_； 参考答案：0； 10. 函数y=(x-5)3x2的极小值为_； 参考答案：-334； 11. 函数f(x)的可能极值点有 和 ； 参考答案：驻点、不可导点； 12. f(x)=sinx在0,上满足罗尔中值定理的条件, 当x= 时,f¢(x)=0； 参考答案：2f(x)=lnx-xe+k13. 设常数k>0, 函数参考答案：2； 在(0, +¥)内零点的个数为_； 14. lim2x®+¥-arctanx1x= ； 参考答案：1； 15. limlnxx2x®+¥= ； 参考答案：0； 16. limxe2xx®+¥= ； 参考答案：0； 17. limxx= ； x®0+参考答案：1； 118. limxx®11-x= ； 参考答案：e-1； 119. lim(cotx)lnx= ； x®0+参考答案：e-1； 220. 函数y=2-(x-1)3的极值点为_； 参考答案： 计算与证明题 1. 求证当x>0时，x>arctanx 证：设 f(x)=x-arctanx f¢(x)=1-11+x2当x>0时，f¢(x)>0，f(x)严格单调增加，所以f(x)>f(0)=0， x>arctanxf(x)=x-arctanx>0，即当 x>0 时，证毕。 2. 证明2arcsinx=arccos(1-2x2) 0<x£1 2证明：设f(x)=2arcsinx-arccos(1-2x) 0<x£1 ¢=2arcsinx-arccos(1-2xf(x)(2) ¢=)21-x2-11-1-2x(2)2×1-2x(2)=21-x2-11-1-2x(22)×(-4x)=0， 所以f(x)恒为常数， 0<x£1，而fçæ1ö÷=0, è2ø从而f(x)º0 0<x£1,即2arcsinx=arccos(1-2x2) 0<x£1。 1öæ23limx-xsin3. 计算 ç÷ x®¥xèø答案：设x=则当t®0时， x®¥所以 t11ö1öæ233æ1limçx-xsin÷ =limxç-sin÷ x®¥x®¥xøxøèxè=limt-sintt3t®0=lim(t-sint)¢t®0(t)3¢=lim1-cost3t2t®0=limsint6tt®0=164. 求曲线y=ln(4+x2)的极值与拐点。 答案：y¢=2x4+x2 ，令y¢=0 ， 得 驻点 x1=0， 根据极值第一充分条件知函数y有极小值y极小(0)=ln4，函数无极大值。 y¢¢=2(4+x)-4x22(4+x)22=-2(x+2)(x-2)(4+x)22，令y¢¢=12x-6=0，得x2,3=±2 由于在点x=±2的左右附近y¢¢变号，所以，拐点坐标为(±2 ， ln8) 5. 求证，当x>0 时，e2x>1+2x 证：设 f(x)=e2x-2x-1 f¢(x)=2e2x-2=2(e2x-1) 当x>0时，f(x)=e2xf¢(x)>0，f(x)严格单调增加，所以f(x)>f(0)=0， 2x-2x-1>0即当 x>0 时，e>2x+1，证毕。 6. 计算limln(1+x)secx-cosx22cosxln(1+x)1-cos=limx®0x®0答案：limx®0ln(1+x)secx-cosx2x2=limx®02x=limx22x®01-cosx =limx®0xsinx-2cosx(-sinx)a=1 7. 计算lim(1+)x x®¥x答案：因为limx®¥(1+ax)=limex®¥xxln(1+ax)1×(-ax2而limx®¥x(ln(1+axln(1+)=limx®¥ax)=limx®¥1+ax-)=limx®¥axx+a1x1x2=limx®¥a1=a所以 limx®¥(1+ax)=limex®¥xxln(1+ax)=ea8. 计算limxsinx x®+0答案：因为limxx®+0sinx=limex®+0sinxlnx12sinxx=lim=-lim=0而 limsinxlnx=limx®+0x®+0cscxx®+0-cscx×cotxx®+0xcosxlnx所以 limxx®+0sinx=limex®+0sinxlnx=e0=1。 9. 计算limtanx x®+01x答案：因为1tanlimx®+0xx=e-tanxlnx1sin2而 limtanxlnx=limx®+0x®+0lnxcotx=limx®+0x-csc02x=-limx®+0xx=0所以 lim(x®+01x)tanx=limex®+0-tanxlnx=e=1 10. 设函数y =alnx+bx2+x 在x1=1及x2=2时取得极值,试定出a,b的值,并问这时在x1与x2是取得极大值还是极小值? 答案：y¢ =ax+2bx+1，y¢¢ =-ax2+2bQf(x)在x1=1及x2=2时取得极值， f¢(1)=a+2b+1=0且f¢(2)=a2+4b+1=0，联立解得a=-5623,b=-16。 当x=1时，f''(1)=13>0，函数有极大值f(1)=112<0； 23(2-ln2)当x=2时，f''(2)=-，函数有极小值f(2)= 11. 由曲线y=x2 ,x轴和直线x=16围成一曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点,使过此点的切线与x轴和直线x=16围成的三角形MAN面积最大,并求出其最大面积 答案：曲线y=x2上点(x,y)处的切线斜率y¢=2x，设(X,Y)为曲线y=x2上点(x,y)处的切线上任一点之坐标，于是曲线y=xY-y=2x(X-x)， 2上点(x,y)处的切线方程为 即 Y-x2=2x(X-x) 将X=16代入式,得切线与直线AB的交点N的纵坐标为 Y=2x(16-x)+x2=32x-x2， x2将Y=0代入式,得切线与x 轴的交点M的横坐标为 X=x-1212x22x=x2， 于是,DMAN的面积为 S(x)= =所以S¢(x)=34x-32x+2563232MA×AN=(16-)(32x-x)214x-16x+256x3232(0<x<16)， ， S¢¢(x)=963=32x-32， 令S¢(x)=0，解得x1=,x2=由于x2=32>16超出了范围，故舍去因3为在(0,16)内S(x)有惟一的驻点x1=S(x)取得极大值，所以，x1=32332,且S¢¢(323)=-16<0，即当x1=323时， 是最大值点其最大面积 S(323)=132332232323-16+256×=， 43333因此，所求切点的坐标为çæ32è3,(323ö)÷3øn12. 设a1,a2,a3,L,an为常数，f(x)=值？ 2，问x取何值时，f(x)取极小x-a()åii=1答案：f¢(x)=2å(x-ai)=2nx-2åai，f¢¢(x)=2n， i=1i=1nn令f¢(x)=0，得驻点 x0=1nnåa， ii=1而 f¢¢(x0)=2n>0， 1nini2所以函数在x0点处取极小值，即x=x0=2a时，f(x)=å(x-a)取极小值 åni=1i=113. 证明：当 0<x< 时,sinx>x-x36； 答案一: 令f(x)=sinx-x+x36，则f¢(x)=cosx-1+2x22，f¢¢(x)=-sinx+x， f¢¢¢(x)=-cosx+1=1-cosx>0 (0<x<)， 所以f¢¢(x)在0,上连续且单调增加，则f¢¢(x)>f¢¢(0)=0， 2所以f¢(x)在0,上连续且单调增加，则f¢(x)>f¢(0)=0， 2所以f(x)在0,上连续且单调增加，则f(x)>f(0)=0， 2即 f(x)=sinx-x+x36>0，也即 sinx>x-x36 (0<x<2) 答案二： 令f(x)=sinx-x+x36， 则 f¢(x)=cosx-1+x22=x22x2-(1-cosx)=x22x2-2sin2x2x2， 当 0<x<2 时，有 sin<x2，f¢(x)=23-2sin2>xx2-2=0， 222所以当0<x<2时，函数f(x)=sinx-x+x6单调增加，有f(x)>f(0)=0， 即 f(x)=sinx-x+x36>0，也即 sinx>x-x36 (0<x<2) 14. a, b 为何值时,点(1,2) 为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 答案： y¢=3ax2+2bx，y¢¢=6ax+2b，令y¢¢=0，解得 x=-ì-2=a×13+b×12,ìa=1,ï由题意í解得í b1=-,b=-3,îï3aîb3a， 所以，当a=1，b=-3时，点(1,-2)为曲线y=ax3+bx2的拐点 15. 设a>b>0证明 a-ba<lnab<a-bb； 答案：设f(x)=ln x，则f(x)在区间b,a上连续，在区间(b,a)内可导 由拉格朗日中值定理，存在xxÎ (b,a)使 f(a)- f(b)= f¢(x)(a-b) 即lna-lnb=所以 (a-b)<lna-lnb<a11b(a-b)1x(a-b)ab 因为b<x<a <a-bb即a-ba<ln16. 证明arctan a-arctan b£|a-b|； 答案：设f(x)=arctan x，则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导 由拉格朗日中值定理，存在xÎ (a,b)使 f(b)- f(a) =f¢(x)(b-a)即arctanb-arctana=11+x2(b-a) |arctanb-arctana|=11+x2|b-a|£|b-a|即arctan a-arctan b£|a-b| 17. 计算limx-xxx®11-x+lnx答案：(xx)¢=(exlnx)¢=exlnx (lnx+1)=xx(lnx+1). limx-xxx®11-x+lnx=lim(x-x)¢(1-x+lnx)¢xx®1=lim1-x(lnx+1)-1+1xxx®1=limx-xx+1(lnx+1)x®11-x1-x=limx®1x+1(lnx+1+1x-1)(lnx+1)-xx=2. 18. 计算lim(arctanx)x x®+¥2p答案：lim(arctanx)=limexx®+¥2x(lnarctanx+ln2p)px®+¥, 2)¢1×12x®+¥limx(lnarctanx+ln2(lnarctanx+ln)=limx®+¥pp¢xx(lnarctanx+ln21=limarctanx1+xx®+¥1-2x=-2p, 所以 lim(arctanx)=limex®+¥1x®¥2xp)px®+¥1=e- 2p119. 计算lim(a1x+a2x+ × × × +anx)/nnx(其中a1111a2× × ×, an>0) 答案：令y=(a1x+a2x+ × × × +anx)/nnx，则 1x11x21lny=nxln(a+a+ × × × +anx)-lnn, 因为 11x21limlny=limx®¥nln(a+a+ × × × +anx)-lnn1xx1x®¥n×=limx®¥1111a1x+a2x+ × × × +anx1×(a1xlna1+a2xlna2+ × × × +anxlnan)×¢x¢x1111=lna1+lna2+Lln an =ln(a1 a2Lan). 1x®¥11x®¥即limlny=ln(a1 a2Lan)，从而lim(a1x+a2x+ × × × +anx)/nnx=limy=a1×a2× × × an x®¥20. 证明当0<x1<x2<tanxxp2时 tanx2tanx1>x2x12答案：令f(x)=所以在(0, tanx1x1<, xÎ(0, p2). 因为f¢(x)=xsecx-tanxx2>x-tanxx2>0, p2)内f(x)为单调增加的. 因此当0<x1<x2<p2时有 tanx2x2, 即ln(1+tanx2tanx11)>x2x121. 计算limx®+¥x arccotx1öæ×ç-2÷1èxø1+21+xx=lim=lim x®+¥x®+¥11ö2æ-1+ç÷×x21+xxèø2x1+2x11ln(1+1答案：limx®+¥xarccotx)=lim1+xx+x22=limx®+¥x®+¥=lim22x®+¥=1 22. 计算lim(cosx)x x®0121答案：lim(cosx)x®0x2=limex®0x2×lncosx=ex®0xlim12×lncosx， 1-12而 limlncosxx2x®0=lim-sinx2xcosxx®0=-12，所以lim(cosx)x=ex®0223. 计算lim答案：lim=2+limxsinxx®0x-xcosxx-sinxx-sinxx®01-(cosx-xsinx)1-cosx=lim2sinx+xcosxsinxx-xcosxx®0=limx®0x®0x®0×cosx=3 n24. 计算limxlnx +1答案：limxlnx=limx®0+nlnx+x®01xn=lim+x®0x=lim+=0。 -n-1x®0-n-nxxn25. 求函数f(x)=x3-3x2-9x+9的极值，凸区间及拐点； 答案：极值：x=-1时极大值f(-1)=14；x=3时极小值f(3)=-18 拐点：x=1时，拐点 凸区间：（-¥,1)上凸， (1,+¥)下凸