导数平均变化率与瞬时变化率.docx

导数平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数平均变化率与瞬时变化率 二. 本周教学目标： 1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义 三. 本周知识要点： 平均变化率 1、情境：观察某市某天的气温变化图 2、一般地,函数f在区间x1，x2上的平均变化率 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” 瞬时变化率导数 1、曲线的切线 如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线 割线PQ的斜率为，即当时，无限趋近于点P的斜率 2、瞬时速度与瞬时加速度 1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为ss，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+t，现在问从t0到t0+t这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为sss 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t0到t0+t，这段时间是t. 时间t足够短，就是t无限趋近于0当t0时，位移的平均变化率在t t0的瞬时速度 无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体同样，计算运动物体速度的平均变化率，当t0时，平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t t0时的瞬时加速度 3、导数 设函数在上有定义，若无限趋近于0时，比值 处可导，并称该常无限趋近于一个常数A，则称f在x数A为函数几何意义是曲线在处的导数，记作上点处的切线的斜率 在开区间导函数：如果函数一个函数内的每点处都有导数，此时对于每，称这个，都对应着一个确定的导数为函数，从而构成了一个新的函数 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积位：），计算第一个10s内V的平均变化率 m/s2. 求t3这一时段的速度. gt2，其中位移单位m，时间单位s，g9.8 解：取一小段时间3，3+t，位置改变量st）t，平均速度g g2g·32， 当t2，t0.01时，求. 当t2，t0.001时，求. 求质点M在t2时的瞬时速度. 分析：s即位移的改变量，t即时间的改变量，的越接近某时刻的速度. 即平均速度，当t越小，求出解：当t2，t0.01时，4t+2t 4×2+2×0.018.02 cm/s 当t2，t0.001时，4×2+2×0.0018.002 cm/s t0， 4t4×28 cm/s 例6、曲线的方程为yx2+1，那么求此曲线在点P处的切线的斜率，以及切线的方程 解：设Q，则割线PQ的斜率为： 斜率为2 切线的斜率为2 切线的方程为y22，即y2x 1、若函数f2x2+1，图象上P及邻近点Q， 则A. 4 B. 4x C. 4+2x D. 2x 2、一直线运动的物体，从时间到 A. 从时间到时，物体的位移为，那么 时，为时，物体的平均速度； B. 在时刻时该物体的瞬时速度； C. 当时间为时物体的速度； D. 从时间到时物体的平均速度 3、已知曲线y2x2上一点A，求点A处的切线的斜率.点A处的切线方程. 4、求曲线yx2+1在点P处的切线方程 5、求y2x2+4x在点x3处的导数 6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是sst2，求小球在t5时的瞬时速度 7、质点M按规律s2t2+3做直线运动，求质点M在t2时的瞬时速度 1、B 2、B 3、解：时，k点A处的切线的斜率为4. 点A处的切线方程是y24即y4x2 4、解：时，k切线方程是y54，即y4x3. 5、解：y22+422+16x，x+16 时，y|x316 10 m/s. 26、解：时，瞬时速度v瞬时速度v2t2×510 m/s. 7、解：8cm/s 时，瞬时速度v