导数及其应用板块一导数的概念与几何意义学生.docx

导数及其应用板块一导数的概念与几何意义学生板块一.导数的概念 与几何意义 知识内容 1函数的平均变化率： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Dx=x1-x0， Dy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)， f(x0+Dx)-f(x0)Dy则当Dx¹0时，商称作函数y=f(x)在区间x0,x0+Dx的=DxDx平均变化率 注：这里Dx，Dy可为正值，也可为负值但Dx¹0，Dy可以为0 2函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Dx时，函数值相应的改变Dy=f(x0+Dx)-f(x0) Dyf(x0+Dx)-f(x0)如果当Dx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率 f(x0+Dx)-f(x0)“当Dx趋近于零时，趋近于常数l”可以用符号“®”记作： Dxf(x+Dx)-f(x0)f(x0+Dx)-f(x0)“当Dx®0时，0或记作“lim符号“®”读作“趋近于” ®l”，=l”，Dx®0DxDx函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f¢(x0) 这时又称f(x)在x=x0处是可导的于是上述变化过程，可以记作 f(x0+Dx)-f(x0)f(x0+Dx)-f(x0)“当Dx®0时，®f¢(x0)”或“lim=f¢(x0)” Dx®0DxDx3可导与导函数： 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导这样，对开区间(a,b) 内每个值x，都对应一个确定的导数f¢(x)于是，在区间(a,b)内，f¢(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数记为f¢(x)或y¢ 导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数 4导数的几何意义： 设函数y=f(x)的图象如图所示AB为过点A(x0,f(x0)与B(x0+Dx,f(x0+Dx)的一条割线由此割线的斜率是Dyf(x0+Dx)-f(x0)，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化=DxDx率当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 yDBCAOxx0x1 f(x0+Dx)-f(x0)=切线AD的斜率 Dx®0Dx由导数意义可知，曲线y=f(x)过点(x0,f(x0)的切线的斜率等于f¢(x0) lim典例分析 题型一：极限与导数 正三棱锥相邻两侧面所成的角为a，则a的取值范围是 180°) B(0°，60°) C(60°，90°) D(60°，180°) A(0°，在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 Açön-1öæn-2öæn-1öææn-2，÷ Bç，÷ Cç0，÷ Dç，÷ 2ønènøènøèènøæö2øèAsin(sinj)<cosj<cos(cosj) Bsin(sinj)>cosj>cos(cosj) 对于任意jÎç0，÷都有 Csin(cosj)<cosj<cos(sinj) Dsin(sinj)<cosj<cos(sinj) 若limx®0f(x)f(2x)=1，则lim=_ x®0xxf(x-1)f(2-2x)=1，则lim=_ x®1x-1x-1f(x0+Dx)-f(x0-3Dx)Dx若limx®1设f(x)在x0可导，则limDx®0等于 A2f¢(x0) Bf¢(x0) C3f¢(x0) D4f¢(x0) f(x0+2Dx)-f(x0)=1，则f¢(x0)等于 Dx®03Dx23A B C3 D2 32若limf(x+aDx)-f(x-bDx) =Dx®0DxAf¢(x) B(a+b)f¢(x) C(a-b)f¢(x) Df¢(x) b为非零常数，则lim设f(x)在x处可导，a，设f¢(3)=4，则limh®0A-1 f(3-h)-f(3)= 2hB-2 C-3 D1 若f¢(a)=2，则当h无限趋近于0时，f(a-h)-f(a)=_ 2h 已知函数f(x)=x+8x2，则limDx®0f(1-2Dx)-f(1)的值为 Dx智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 2 已知f(x)=1f(2+Dx)-f(2)，则lim的值是 Dx®0xDx11A- B2 C D-2 442 若f(x+1)-f(1)=2x+x，则f¢(1)=_ f(x0+Dx)2-f(x0)2= 已知函数f(x)在x=x0处可导，则limDx®0DxAf¢(x0) Bf(x0) Cf¢(x0)2 D2f¢(x0)f(x0) 计算lim3n-2=_ n®¥4n+3n2+2n lim=_ n®¥2n2-3* 将直线l2:nx+y-n=0、l3:x+ny-n=0x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则limSn= n®¥ limç1+n®¥æè111+2+L+n333ö÷= øA 53 B32 C2 D不存在 如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去设Sn为前n个圆的面积之和，则limSn= n®¥rO8A2r2 Br2 C4r2 D6r2 3 limçx®112æö-2÷=_ 2x-3x+2x-4x+3èø1n(n+a-n)=1，则常数a=_ 若limn®¥ limx®(x-)cosxx-=_ lim1+2+3+L+n=_ n®¥n2æ12ö-÷=_ èxx(x+2)ø3 limçx®0智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 limx-1=_ x®1x2+3x-4 limçx®21öæ4-÷= 2èx-4x-2ø11A-1 B- C 44xx-x= x-1D1 limx®1 设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+L+ansinnxa2，L，anÎR，nÎN+，已知对一切，其中a1，xÎR，有f(x)sinx和limsinx=1，求证：a1+2a2+L+nan1 x®0x 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC4)，(2，0)，(6，4)，则B，C的坐标分别为(0，其中A，f(f(0)= ；函数f(x)在x=1处的导数f¢(1)= y4321ACOB123456x，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)， 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC则f(f(0)= ；limy4321Dx®0f(1+Dx)-f(1) = DxACOB123456xyy ） y 下列哪个图象表示的函数在x=1点处是可导的 A1+2Dx B2+Dx C3+2Dx D4+2Dx 求函数y=x2+1在x0到x0+Dx之间的平均变化率 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 4 若函数f(x)=2，则当x=-1时，函数的瞬时变化率为 xA1 B-1 C2 D-2 求函数f(x)=-x+x在x=-1附近的平均变化率，在x=-1处的瞬时变化率与导数 2 求函数f(x)=x-2x在x=1附近的平均变化率，在x=1处的瞬时变化率与导数 3 已知某物体的运动方程是s=9t+13t，则当t=3s时的瞬时速度是_ 9 已知某物体的运动方程是s=2t-3+2t2，则t=3时的瞬时速度是_ 2t 已知物体的运动方程是s=t2+3，则物体在时刻t=4时的速度v=_，加速度a= t 物体运动方程为s=A2 14t-3，则t=2时瞬时速度为 4 B4 C6 D8 一质点做直线运动，由始点起经过ts1后的距离为s=t4-4t3+16t2， 4则速度为零的时刻是 A4s末 B8s末 C0s与8s末 D0s，4s，8s末 如果某物体做运动方程为s=2(1-t)的直线运动末的瞬时速度为 A-0.88m/s B0.88m/s C-4.8m/s D4.8m/s 求y=x在x=x0处的导数 题型二：导数的几何意义 已知曲线y=x+1æ5ö上一点Aç2，÷，用斜率定义求： xè2ø 过点A的切线的斜率； 过点A的切线方程 已知曲线y=12)，用斜率定义求： 上一点A(1，x过点A的切线的斜率；过点A的切线方程 x+智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 5 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 yO123xA0<f¢(2)<f¢(3)<f(3)-f(2) B0<f¢(3)<f(3)-f(2)<f¢(2) C0<f¢(3)<f¢(2)<f(3)-f(2) D0<f(3)-f(2)<f¢(2)<f¢(3) 求函数f(x)=ax+a(a¹0)的图象上过点A(a，a2+1)的切线方程 x-1)处的切线方程是 Dy=x+1 11)的切线l1方程，与过点(-2，0)的切线l2的方程 在点(1，x 函数y=-1æ1ö-2÷处的切线方程为 在点ç，xè2øAy=4x By=4x-4 Cy=4(x+1) Dy=2x+4 121x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_ 42 已知曲线y=3)处的切线的倾斜角为 A30° B45° 3C60° D120° 1)作曲线y=x 过点(1，的切线，则切线方程为_ 曲线y=x-1)处的切线方程为_ 在点(1，x-223 若曲线y=x-1与y=1-x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0等于 3363622A B- C D或0 6633 设曲线y=A2 x+12)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= 在点(3，x-111 B C- D-2 22a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a= 在点(1，11 B C- D-1 222 设曲线y=axA1 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 6 若曲线y=x4的一条切线l与直线y=4x+8平行，则l的方程为_ 若曲线y=x的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 A4x-y-3=0 Bx+4y-5=0 C4x-y+3=0 Dx+4y+3=0 3，：y=x2-x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1，则点P纵坐标的取值范围是_ 4 设P为曲线C 设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为ê0，ú，é1ë2ùûéëpù4û则点P横坐标的取值范围为 -ú Aê-1，2ûëé1ù B-1，0 C0，1 1ú Dê， 曲线y=x在点(1，1)处的切线方程为 2x-1Ax-y-2=0 Bx+y-2=0 Cx+4y-5=0 2Dx-4y-5=0 设函数f(x)=g(x)+x，曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为 11A4 B- C2 D- 42是偶函数若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在点 设f(x)(-1，f(-1)处的切线的斜率为 函数y=sinxæ3ö的图象上一点ç，ç32÷÷处的切线的斜率为 èøA1 B3 2 C2 2 D ） 1 2 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 32A-1 B0 C1 D2 32 函数y=x(x>0)的图像在点ak，ak(2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，其中kÎN*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 7 已知点P在曲线y=Aê0，÷ 4øéëö 曲线y=4上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 ex+1éöæ3ùé3öBê，÷ Cç，ú Dê，÷ë42øè24ûë4ø x在点(-1，-1)处的切线方程为 x+2Ay=2x+1 By=2x-1 Cy=-2x-3 -12Dy=-2x-2 1-öæ 若曲线y=x在点ça，a2÷处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18， èø则a= A64 B32 C16 D8 函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是 设曲线y=xn+11)处的切线与x轴的交点的横坐标为x(nÎN)在点(1，*n，则x1×x2Lxn等于D1 1A n B1 n+1 Cn n+1 直线y=kx-1与曲线y=lnx相切，则k=A0 B-1 C1 D±1 ） 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 425217257A-1或- B-1或 C-或- D-或7 6444644和y=ax2+ 已知函数g(x)=f(x)+¢f(5)+f(5)12又P点的横坐标为5，则x的图象在P点处的切线方程为y=-x+8，5=_ 设曲线y=1+cosxæö1÷处的切线与直线x-ay+1=0平行，则实数a等于 在点ç，sinxè2øA-1 B1 C-2 D2 a¹1，tÎR)的图象在x=2处的切线互相 已知函数f(x)=logax和g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0，平行，则t=_ -3)处的切线方程是_ 曲线y=x-2x-4x+2在点(1，-3)的切线方程是_ 曲线y=x3-2x2-4x+2过点(1，32智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 8 已知曲线y=1344)的切线方程是_ x+，则过点P(2，333 已知曲线s：y=3x-x-2)，则过点P可向s引切线的条数为_ 及点P(2， 曲线y=1和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_ x1x2 曲线y=e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 B4e2 C2e2 De2 1，则69Ae2 2 曲线y=x3在点(a，a3)(a¹0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为a= 曲线y=13æ4öx+x在点ç1，÷处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3è3ø1212A B C D 93932 求曲线y=2x-1的斜率等于4的切线方程 若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_ 曲线æ2ö，y=cosx在点Pçç42÷÷处的切线方程是 èø 函数y=cos2x在点çæö，0÷处的切线方程是 è4øA4x+2y+=0 B4x-2y+=0 C4x-2y-=0 D4x+2y-=0 2线方程是 Ay=2x-1 已知曲线C 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点1，f(1)()处的切 By=x Cy=3x-2 Dy=-2x+3 ：y=3x4-2x3-9x2+4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程 21)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、 已知抛物线y=ax+bx+c通过点P(1，b、c的值 曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线y=x的切线，求此二切线之间的距离 1)且与曲线f(x)相切的直线l 已知曲线f(x)=x-2x+1，求经过点P(2，32的方程 已知曲线y=x+x-2在点P0处的切线l1平行直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限， 3求P0的坐标；若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 9 bÎR) 已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a，32若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值 已知函数的导函数是f¢(x)，且f¢(x)是奇函数，若曲线y=f(x)f(x)=ex+a×e-x3的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 2ln2ln2Aln2 B-ln2 C D- 22f(-1)处的切线方程为2)，且在点M(-1，的图象过点P(0，6x-y+7=0求函数y=f(x)的解析式 232 已知函数f(x)=x+bx+cx+d0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2， 已知直线l1为曲线y=x+x-2在点(1，求直线l2的方程； 求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积 设函数f(x)=ax-b，曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0 x求y=f(x)的解析式； 证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值 设函数f(x)=ax+1(a，bÎZ)，曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y=3 x+b求y=f(x)的解析式； 证明：曲线y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； 证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值 已知抛物线C1：y=x+2x和C2：y=-x+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程 若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 220)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象 设t¹0，点P(t，b，c 在点P处有相同的切线试用t表示a， 已知曲线C1：y=x2C2都相切，求直线l的方程 与C2：y=-(x-2)2，直线l与C1， 已知函数f(x)=x-x 3求曲线y=f(x)在点M(t，f(t)处的切线方程； -6)的切线的方程 求曲线y=f(x)过点P(-2，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a) 设a>0，如果过点(a，b)能作的曲线f(x)=x3-x的切线的条数 求过任一点N(a，智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 10 如图，在平面直角坐标系xOyc)任作一直线，中，过y轴正方向上一点C(0，与抛物线y=x2相B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于点P，Q， 交于A，若OA×OB=2，求c的值； 若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； 试问的逆命题是否成立？请说明理由 yBCAOlxPuuuruuurQ 证明如下命题： c)是y轴正半轴上的一动点，过C的动直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A，B命题：设C(0，B的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y=-c，且轨迹上任一点的横两点，则过A，坐标一定是该点对应的切点弦AB中点的横坐标 设Q为直线y=-c(c<0)上任意一点，过Q作抛物线x=2py(p>0)的两条切线，切点分别为2A，B， c)，且线段AB的中点的横坐标一定对应于Q点的横坐标 求证：直线AB必过定点C(0， 已知函数f(x)=2lnx-x 写出函数f(x)的定义域，并求其单调区间； 已知曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线是y=kx-2，求k的值 求曲线y=1上的点到直线x+y+1=0的距离的最小值 x+2智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版 11