导数的概念及运算.docx
导数的概念及运算导数的概念及运算.txt举得起放得下叫举重，举得起放不下叫负重。头要有勇气，抬头要有底气。学习要加，骄傲要减，机会要乘，懒惰要除。人生三难题：思，相思，单相思。导数的概念及运算 重点难点分析： 1导数的定义、意义与性质： 函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有改变量y=f(x0+x)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即。如果当 x0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数。记作f'(x0)或，即。 导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。 2求导数的方法： 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 几种常见函数的导数公式： C'=0(C为常数)； (xn)'=nxn-1 (nQ)； (sinx)'=cosx； (cosx)'=-sinx； (ex)'=ex； (ax)'=axlna ； 导数的四则运算法则： (u±v)'=u'±v' (uv)'=u'v+uv' 复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 说明： 1函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。 2求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析 3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 典型例题： 例1求下列函数的导数 y=(2x-3)5 y=sin32x 解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3 由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u410(2x-3)4 设u=3-x，则可分解为， 。 y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x 例2已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。 解析：，令，即， 得x=4，代入，得y=5， 曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。 例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。 由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。 公共点为(1,-4)，除切点外，还有两个交点。 评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。 *例4设，求f'(x)。 解析：当x>0时，当x<0时， 由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知 由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：， 即：。 例5已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。 解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或， 由题设x=0时，y'=y=0，此时，a=0；当时也解出a=0。 训练题： 1已知函数，且f'(1)=2，则a的值为_。 2设f(x)=xlnx，则f'(2)=_。 3给出下列命题： ； (tanx)'=sec2x 函数y=|x-1|在x=1处可导； 函数y=|x-1|在x=1处连续。 其中正确的命题有：_。 4函数y=cosx在点处的切线方程为_。 5已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。 参考答案： 1. 2 2. 3. ， 4. 5解： f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e， 又 图象过点A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx， 当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2. 对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。 点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3， 因此f(x)=-2x4+3x2-1。
