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导学案221 对数的概念和运算律第1课时2.2.1 对数的概念和运算律 第1课时 对数的概念 学习目标 1能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数； 2能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算； 3能记住对数的性质； 4能解决对数式与指数式的互化问题. 重点难点 重点：对数的概念以及对数式与指数式的互化； 难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题； 疑点：对数与指数的关系. 1对数及有关概念 如果abN(a0，a1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作blogaN，这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数 预习交流1 在对数符号logaN中，为什么只有在a0，a1且N0时才有意义？ 提示：(1)若a0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a不能小于0. (2)若a0，则当N0时，logaN不存在，当N0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a0. (3)若a1，当N1时，则logaN不存在，当N1时， 则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a1. (4)正数的任何次幂都是正数，因此N0. 预习交流2 对数的定义是由指数式推得的，那么指数式abN与对数式logaNb有何关系？ 提示：(1)在关系式abN中，已知a和b求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求b就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算 (2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称 名称 式子 a b N 指数式 abN 底数 指数 幂 对数式 logaNb 底数 对数 真数 预习交流3 所有的指数式都可以改写为对数式吗？ 提示：并不是所有的指数式都可以改写为对数式，例如(2)416就不能改写为log(2)164，只有当abN中，a0且a1，N0时才可以进行改写 2对数恒等式 对数的基本恒等式是alogaNN，blogaab. 3对数的性质 对数logaN(a0且a1)的性质是： (1)零和负数没有对数，即N0； (2)1的对数为零，即loga10； (3)底的对数等于1，即logaa1. 第1页 一、对数概念的理解 在对数式log(a2)(5a)中，实数a的取值范围是什么？ 思路分析：根据对数的概念，列出实数a满足的不等式组，解不等式组得到实数a的取值范围 5a>0，ìï解：由对数的概念知ía2>0，ïîa21，a<5，ìï解得ía>2，ïîa3.则实数a的取值范围为a|2a3或3a5 求下列各式中的x的取值范围： (1)logx1(x2)；(2)logx2(x2)1. 解：根据对数定义中各字母的取值范围来求 x2>0，ìï(1)由íx11，ïîx1>0，得x2. ìïx2>0，(2)由í得x2且x1. ïx21，î求形如logf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足g(x)>0，ìïíf(x)>0，ïîf(x)1，2进而求得x的取值范围 2已知含x的对数等式，确定x的值时，易忽视使其真数、底数有意义的x的取值范围，也就是解对数方程不可忽视对所求x值的检验 二、指数式与对数式的互化 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1öm1(1)54625；(2)26；(3)æè3ø5.73； 641(4)log116=-4；(5)log5125=6；(6)log52. 25思路分析：利用abNlogaNb进行互化 1解：(1)log56254；(2)log26； 641ö4(3)log15.73=m；(4)æè2ø16； 31(5)(5)6125；(6)52. 251用对数式填空： 第2页 36729_，ç9æ27ö=_， ÷4è8ø2364-13=1_. 48答案：log37296 log279211= log6443 432用指数式填空： log25129_，log100.000 14_，log14.2=m3_. 1öm答案：29512 1040.000 1 æè3ø4.2 1logaNb与abN(a0且a1，N0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系可以利用其中两个量表示第三个量 2对数式logaNb是由指数式abN变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图 三、利用对数的概念、性质以及对数恒等式求值 解答下列各题： (1)求值3log351； 3(2)若logx27，则x_； 2(3)log2(log5x)1，则x_； (4)已知loga2m，loga3n，求am3n的值 思路分析：根据题目条件，利用对数恒等式、对数的性质以及对数式与指数式的关系分别进行求解 15log51=3log35×315×33； 解：(1)3333(2)由logx27可得x2=27，即x2=3=92，故x9； 2(3)由log2(log5x)1可知log5x2，所以x5225； (4)由于loga2m，loga3n， am2，an3. am3nam·a3nam·(an)32×3354. 故am3n54. 求解下列各题： (1)若log13331-4x=0，则x_； 92(2)若logx(21)1，则x_； (3)若xlog23，则4x2x_. 第3页 26答案：(1)2 (2)21 (3) 3解析：(1)由log114x1-4x=0可得91，解得x2； 9211(2)由logx(21)1可得x121，即21，x21； x211126(3)xlog23，2x3，于是4x2x(2x)2x32. 2331进行对数式的运算时，一方面要熟练掌握对数恒等式、对数的性质；另一方面还要熟悉指数式与对数式的互化关系 2在对数运算中，要注意总结常见幂式的值，以便在计算中灵活应用 1把对数式mlognq化为指数式是( ) Amnq Bnmq Cnqm Dqmn 答案：B 2log1x=-3，则x等于( ) 311A B27 C D9 279答案：B 3有以下四个命题： 若log5x3，则x15； 1若log25x，则x5； 2若log5x0，则x5； 若log1x=-3，则x125. 5其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案：B 解析：只有和是真命题，故选B 4在对数式log(x1)(x5)中，x的取值范围是_ 答案：x|x1且x2 x1>0，ìï解析：依题意有íx11，解得x1且x2. ïîx5>0，5log1log3(x-2)=0，则x_. 2答案：5 解析：log1log3(x-2)=0，log3(x2)1. 2x23，x5. 第4页