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对数指数函数公式全集指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y在=a，y=logaxxa>1及0<a<1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y=aax(>0且a¹1)叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y=ax中的a必须a>0且a¹1。 因为若a<0时，y=(-4)x，当x=14时，函数值不存在。 a=0，y=0x，当x£0，函数值不存在。 a=1时，y=1x对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y=1x的反函数不存在， 因为要求函数y=ax中的a>0且a¹1。 x1、对三个指数函数y=2x，y=æç1öè2÷ø，y=10x的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 图象都位于x轴上方； x取任何实数值时，都有ax>0； 图象都经过点； 无论a取任何正数，x=0时，y=1； y=2x，y=10x在第一象限内的纵坐ìx>0，则ax当a>1时，ïí>1标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，ïîx<0，则ax<1 xy=æç1ö 当0<a<1时，ìïíx>0，则ax<1è2÷ø的图象正好相反； ï0， îx<则ax>1 y=2x，y=10x的图象自左到右逐渐当a>1时，y=ax是增函数， 当0<a<1时，y=ax是减函数。 1 æ1ö上升，y=ç÷的图象逐渐下降。 è2ø对图象的进一步认识，： 所有指数函数的图象交叉相交于点，如y=2和y=10相交于(0，1)，当x>0时，y=10x22xxxx的图象在y=2的图象的上方，当x<0，刚好相反，故有10>2及10<2。 -2-2æ1öxy=2与y=ç÷的图象关于y轴对称。 è2øæ1öxxx通过y=2，y=10，y=ç÷三个函数图象，可以画出任意一个函数y=a的0且a¹1è2øxxxxxxæ1ö示意图，如y=3的图象，一定位于y=2和y=10两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y=ç÷也由è3øæ1ö关于y轴的对称性，可得y=ç÷的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 è3ø2、对数： 定义：如果a=N(a>0且a¹1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b= 由于N故logaN中N必须大于0。 =a>0当N为零的负数时对数不存在。 对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求log0.32çbæ52ö÷ è4øæ52ö分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.32ç÷=x，再改写为指数式就4èøæ52ö÷=x è4ø比较好办。 解：设log0.32ç2 则0.32x=x524-12æ8öæ8ö即ç÷=ç÷è25øè25ø1x=-2æ52ö1即log0.32ç÷=-2è4ø 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。x如求3=5中的x，化为对数式x=log35即成。 对数恒等式： 由a =N(1)b=logN(2)a将代入得alogaNb =N运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：(3)-log123解：原式=31-log1223æ1ö=ç÷è3ølog=2123。 对数的性质： 负数和零没有对数； 1的对数是零； 底数的对数等于1。 对数的运算法则： l ogMN=logM+logNM，NÎR()aaa+()og=logM-logNM，NÎRl aaal ogN=nlogNNÎRaanog=logNNRÎ laNaMNn(+)()(+)1n()3、对数函数： 定义：指数函数y=a(a>0且a¹1)的反函数xÎ(0,+¥)叫做对数函数。 y=logaxx=log，y=log，1、对三个对数函数y 2x1x2y=lgx的图象的认识。 图象特征与函数性质： 3 图象特征 图象都位于 y轴右侧； 图象都过点； +函数性质 定义域：R，值或：R； x=时，y=0。即l； 1og=0a1当a>1时，若x>1，则y>0，若，则y<0； 0<x<1时，若x>0，则y<0，若<a<1在x轴上方，当0时，图象在x轴下当0<x<0时，则y>0； 0<x<1方，y=logx与上述情况刚好相反； y=，y=lgx当x>时，图象log12x12时，y=是增函数； 1logy从左向右图象是上a>=logx，y=lgxax2升，而y=log1x从左向右图象是下降。 2时，y=是减函数。 0<a<1logax对图象的进一步的认识： 所有对数函数的图象都过点，但是y=与y=lgx在点曲线是交叉的，即当x>0log2x时，y=的图象在y=lgx的图象上方；而0时，y=的图象在y=lgx的图象的下方，<x<1loglog2x2x故有：l；l。 og.15>lg1.5og0.1<lg0.122 y=的图象与y=log1x的图象关于x 轴对称。 log2x2通过y=，y=lgx，y=log1x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如log2x2作y=的图象，它一定位于y=和y=lgx两个图象的中间，且过点，x>0时，在y=lgxloglog3x2x的上方，而位于y=的下方，0时，刚好相反，则对称性，可知y=log1x的示意图。 <x<1log2x3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式： logaNlogN=blogab LN=log(其中e=2.71828)称为N的自然对数neNLN=log称为常数对数g10N由换底公式可得： lgNlgN LN=2.303lgNnlge0.4343由换底公式推出一些常用的结论： ogb=laloganbm1或logb·loga=1 ablogab=mlogab noglogl nb=aba4 nlogmana=mn5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本型 同底数型 af(x)=b 取以a为底的对数f(x)=logab 不同底数型 af(x)=aj(x) 需代换型 取以a为底的对数f(x)=j(x) af(x)=bj(x) 取同底的对数化为fx·l F()ga=(x)·lgbax)=0j( 换元令t=ax转化为t的代数方程 对数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本题 logaf(x)=b 对数式转化为指数式f(x)=ab同底数型 logafx()=logaj(x) 转化为f(x)=j(x) 需代换型 F(logax)=0 换元令t=logax转化为代数方程 5