直线与圆的位置关系(公式及技巧)课件.ppt
第二节 直线与圆的位置关系,一、圆周角,其所对弧的度,数的一半,AOB,相 等,相等,AOB,90,直径,90,直径,二、圆的切线,垂直,垂直,垂直于,垂直于,相等,CACB,三、弦切角定理及其推论,一半,相等,相等,ADC,四、圆中的比例线段,相等,相等,等比中项,五、圆内接四边形的性质定理和判定定理,互补,互补,1如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切 点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若ACB 120，则APB_.,解析：过C作O的一直径CD，连结AD，BD，AO，BO，CAD=CBD=90.ACD+BCD=ACB=120，ADC=180-ACD-CAD，BDC=180-BCD-CBD，ADC+BDC=ADB=60，AOB=120.,PA，PB为O的切线，PAO=PBO=90.APB+AOB=180.APB=60.,答案：60,2已知：如图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点且 与直径CT交于点D，CD2，AD3，BD6，则PB _.,解析：由ADBDCDTD，得TD9，又由得PB(PB9)(PB6)292，则PB15.,答案：15,3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC 切半圆O于点D，BCAC于点C，DFEB于点F，若BC=6，AC=8，则DF=.,解析：设圆的半径为r，ADx，连经OD，得ODAC.故 即 故x r.又由切割线定理AD2=AEAB，即由三角形相似，知 则DF=3.,答案：3,4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于D，且AD4DB，设COD，则cos2_.,解析：AD4DB，OCOD4(OCOD)，即3OC5OD，cos22cos212,答案：,5如图，AD是O的切线，AC是O的弦，过C作AD的 垂线，垂足为B，CB与O相交于点E，AE平分CAB，且AE2，则AB_，AC_，BC_.,解析：CAEEAB，EABACB，ACBCAEEAB.又CBAD，ACBCAEEAB30.又AE2，AB BC3.,答案：,6如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D 是O上两点，如果E46，DCF32，则A 的度数是_,解析：连结OB、OC、AC，根据弦切角定理，可得BADBACCAD(180E)DCF673299.,答案：99,1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出 角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角 的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上 的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦 切角,如图所示，O的直径为6，AB为O的直径，C为圆周上一点BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，则DAC_；线段AE的长为_,(1)BCFBAC30，ACDBCFACDDAC90；(2)可证明RtABERtBAC.,解：由已知ABC是直角三角形，易知CAB=30，由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF=30，由DCA+ACB+BCF=180，知DCA=60，故在RtADC中，DAC=30.法一：连结BE，如图(1)所示，EAB=60=CBA，则RtABERtBAC，所以AE=BC=3.,法二：连结EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，DCE=CAE=30，又DCA=60，故ECA=30，又因为CAB=30，故ECA=CAB，从而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA=OC，故四边形AOCE是菱形，故AE=AO=3.,答案：303,1.已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC 是ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则ADF的 度数为,证明四点共圆的方法：利用定理：若一个四边形的对角互补，则四点共圆,如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明A，P，O，M四点共圆；(2)求OAM+APM的大小,(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四点共圆；(2)利用(1)所得结论即可求得OAMAPM的大小,证明：连结OP，OM，如图(1)所示因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPA+OMA=180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆,(2)连结OA，如图(2)所示由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAM=OPM.由(1)得OPAP.又圆心O在PAC的内部，可知OPM+APM=90.所以OAM+APM=90.,2.如图，AB、CD是两条平行弦，BEAC，并交CD于E，过 A点的切线交DC的延长线于P，PCED1，PA2，则 AB_，AC_.,解析：连结AD，由切割线定理得：PA2PCPD.PD=4.又PC=DE=1，CE=2.AB=2.,分别作AHPD于H，BMDE于M，连结BD，则ACD=BDC=BED.在RtAPH中，AH=在RtACH中，AC=,答案：2,1相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线 段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及 圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如 线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有 关的相似三角形等,已知O1和O2相交于A、B两点，过A点作O1的切线交O2于点E，连接EB并延长交O1于点C，直线CA交O2于点D.(1)如图所示，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；(2)当点D与点A重合时，直线AC与O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求O1的直径,可作出两圆的公共弦，然后利用弦切角定理、切割线定理解决.,解：(1)EA=ED成立连结AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示AE是O1的切线，切点为A，FAC=ABC.FAC=DAE，ABC=DAE.ABC是O2内接四边形ABED的外角，ABC=D，DAE=D，EA=ED.,(2)当点D与点A重合时，直线CA与O2只有一个公共点，所以直线CA与O2相切如图(2)所示，由弦切角定理知：1=3，2=4，又1=2，34 18090，AC与AE分别为O1和O2的直径，由切割线定理知：AC2CBCE，而CB2，CE8，AC22816，AC4，故O1的直径为4.,3.如图所示，割线PAB与圆O相交于A，B两点，PC为圆O的 切线，圆O的半径为10，D为弧AB的中点，OD交AB于点 E，如果PA=4，PC=8，则OE的长度为.,解析：由切割线定理可得PC2PAPB，即644PB，解得PB16，所以AB16412，因为D为弧AB的中点，所以OEAB，且点E平分线段AB，所以EB6，圆O的半径为10，所以OE,答案：8,通过近两年高考题的统计分析，可以看出本节主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理及圆内接四边形的性质，题型为填空题，难度不大，如2009年广东卷15题就考查了该内容，注意“执果索因”这一分析问题的方法在解题中的应用.,(2009广东高考)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，ACB=45，则圆O的面积等于.,解析点A，B，C是圆O上的点，圆O是ABC的外接圆，设圆O的半径为R，则由正弦定理得：2R=解得R=2 圆O的面积为R2=8.,答案8,本题考查的是直接应用正弦定理求三角形外接圆的半径，较为直接，若将条件作稍微改动，同学们看如何求解如图，点A，B，C是圆O上的点，且AC=4，ACB=45，则圆O的面积等于.,
