线性代数课后习题答案.doc

第一章1. 计算行列式 解 该行列式的阶为，从第列开始，逐列乘以1加到前一列，按第一列展开得原式2. 计算下列行列式（1）； （2）；（3）； （4） 解 （1）；（2）；（3）由习题1.4第5题结论，当，；或直接用展开定理：原式；（4）由拉普拉斯定理可得： 3. 用加边法计算行列式 解 利用行列式展开定理，构造一个等值的行列式，其中第一列元素根据行列式的特点确定，即 原式4. 证明：证明 用数学归纳法证明因为，所以当时命题成立现在假设行列式阶小于时，结论成立，下证对阶行列式结论成立将阶行列式按第1行展开后再展开，有故结论成立5. 设是互异的实数，证明：的充要条件是证明 行列式中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，构造四阶范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式结论有，另一方面，按第四列展开有，比较的系数得：又是互异的实数，故的充要条件是6. 证明：证明 左边7. 当为何值时，方程组有唯一解？并用克莱姆法则求解解 因为方程组的系数行列式，所以当时，方程组有唯一解又所以8.设阶行列式的第行元素依次为，第行元素的余子式为全为，第行元素的代数余子式依次为，且行列式的值为1，求的值.解 由题设；，则有据行列式展开定理及其推论有，即解得 9设，计算的值，其中是对应元素的代数余子式解 由行列式按行展开定理10. 设行列式，求的值解 由题设依次将第行的（-1）倍加到第行，得再将第一列分别加到其余各列，得注：用同样的方法，可以求得行列式11设为三角形的三边边长，证明：证明 将2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得将第1行的倍，加到利用2，3，4行，按第一列展开，得继续计算由三角形的性质，上式四个因式中有三项小于零，故12设多项式，用克莱姆法则证明：如果存在个互不相同的根，则解 设为互不相同的根，则，于是有该方程组的系数行列式（视为未知元）故该齐次线性方程组只有零解：，从而第二章1设若矩阵与可交换，求的值.解 两矩阵相乘得 ，比较对应位置元素，有，所以2设均为n阶对称矩阵，证明：是阶对称矩阵.证明 因为均为n阶对称矩阵，即，所以从而是阶对称矩阵.3设实矩阵，且，（为的代数余子式），求行列式解 因为，所以由等式，得，两边取行列式得，即，所以或又由，故，从而4设为二阶方阵，为三阶方阵，且A，求解 因为A，所以，又，从而 5设为4阶可逆方阵，且，求解 先将行列式中的矩阵化为同名矩阵，再代入，可得6设，求解 因为，所以，故，；7已知，求解下列矩阵方程：（1） ;(2).解 （1）由，得，所以，;(2)因为，所以8设，三阶方阵满足关系式，求解 因为，所以用左乘表达式的两边，得，从而9设矩阵且满足,求矩阵.解 因为，所以用右乘的两边，得，从而10设为阶方阵，为的伴随矩阵，证明：(1) 若，则； (2) 证明 (1) 设，若，则，当然有；若，则可以利用等式得到，考虑齐次线性方程组，由于，且，故方程组有非零解，从而有 (2) 由（1）只要证明的情形事实上，当时，由可得，两边同除以，则有结论成立11设为阶可逆矩阵，若的每行元素之和为，证明：的每行元素之和为.证明 首先，由行列式的性质可知，否则，与为阶可逆矩阵矛盾其次，利用向量将“的每行元素之和为”用矩阵的乘法表示为：再将上式两边同时左乘，并变形即的每行元素之和为.12设阶矩阵，如果矩阵的秩为，求解 矩阵的行列式的值为，所以当时，矩阵的秩为；当时，易见矩阵的秩为1；当时，所以秩，此时13 设，若互不相等，求矩阵的秩 解 因为，所以对作初等行变换，得由于互不相等，三阶子式，而四阶子式等于零，故矩阵的秩等于314设为矩阵，为矩阵，且，试证：.证明 因为为矩阵，为矩阵，所以矩阵是阶矩阵，又，利用矩阵秩的关系，有，故.15阶矩阵满足时，称为幂等矩阵设为幂等矩阵，证明：和是可逆矩阵，并求其逆证明 由得，即，故是可逆矩阵，且同理，因为，所以是可逆矩阵，且 16设为5阶方阵，且，求解 因为“当阶矩阵满足时，有”，所以由有，从而17设，求一个矩阵，使得的伴随矩阵解 由于矩阵的秩为1，且，所以矩阵的秩为2，从而进一步有，即的每一列为的解，可令由代数余子式，可取，同理，可取，这样可取注意：本题答案不唯一，感兴趣的读者可以尝试再找一个18证明:任何一个阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵于一个幂等矩阵的乘积.证明 不妨设为阶矩阵，秩为 ，则存在阶可逆矩阵使得从而其中，显然是可逆矩阵，是幂等矩阵.19. 设矩阵是满秩的，证明：直线与直线相交于一点证明 令直线与，则它们的方向向量分别为，在两直线上分别取点，则所以两直线共面又对矩阵作初等变变换，有因为的秩等于3，所以的秩等于3，即不平行，从而两直线相交于一点第三章1.设向量组=，（1） 求的一个极大线性无关组（2） 问能否由的一个线性无关组线性表示？为什么？解：1.A=所以可作为一极大线性无关组2. 因为所以可以由一个极大线性无关组表示=因为秩（A）秩（）所以方程无解所以不能由的一个线性无关组线性表示2.设向量组，试问：（1）当a，b为何值时，能由唯一线性表示？（2）当a，b为何值时，不能由线性表示？（3）当a，b为何值时，能由线性表示，但表示法不唯一，并写出表达式。解：构造矩阵=（1）要使能由唯一线性表示，即R（A）=R（）=4 只要 （2）要使不能由线性表示， 只要 又矩阵A中存在二阶矩阵， 而当a-1=0是， 时，不能由线性表示。（3）要使能由线性表示，但表示法不唯一， 只要R（A）=R（）<4，由（2）可知，当R（A）4是，R(A)=2, ，112510126 恽寒 3.已知4阶方阵A=，其中均为4维的列向量，且线性无关，若，求线性方程组AX=的通解. 解：由线性无关和可知，r(A)=3, 故AX=0的基础解系中只含一个非零解向量，且 =0，则 是AX=0的非零解，可作为AX=0的基础解系. 又=A， 是AX=的一个特解. 故AX=的通解为 x=k+. 张彬彬 112510127 4已知向量组=， =， =与=， =， =具有相同的秩，且能由，线性表示，求a,b的值。解： =r=2r=2=能由线性表示=-=0b=5a=155.设向量组I：，；II：，；III：，；IV：，且R(I)=R(II)=3，R(III)=4，证明：则R（IV）=4。证：R(I)=3线性无关R(II)=3能由线性表示存在k,k,k使得= k+k+kR(III)=4线性无关可得=k+k+k+0(IV)=4证毕5.设向量组I：，；II：，；III：，；IV：，且R(I)=R(II)=3，R(III)=4，证明：则R（IV）=4.证：R(I)=3线性无关R(II)=3能由线性表示存在k1,k2,k3使得= k1+k2+k3R(III)=4线性无关k1+k2+k3+0(IV)=4证毕6 .设向量组=（1,4,1,0），=（2,1，-1，-3），=（1,0，-3，-1），=(0，2，-6，3)，试求：（1）向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）用这个极大线性无关组表示其他向量。解:A= r(A)=3A= ，为一极大线性无关组。=7.(1).讨论a为何值时，方程组无解，唯一解。无穷多解？(2).当方程组有无穷多个解时，求方程组的通解解. (1). 当,即或时，由克莱姆法则知，方程组有唯一解。当.a=1时A=<n 方程组有无穷多解当a=2时A=方程组无解(2).a=1时，方程有无穷多解=-+1=-1取=0 特解为取=1 自由未知量为通解为x=+k8. 设向量组 ， ， ，（1） 证明：线性无关；（2） 若3阶矩阵A满足A求A.（1）解： A= () = 0 有唯一零解 线性相关（2）根据题意，A()=() 即 A= 设B= =-20 B 存在， B= A= 9.设线性方程组，与方程组有公共解，求a的值及所有的公共解。解：A= B=（1）线性方程组只有零解时，0，则a1且a2 方程必然也只有零解，所以a=1 两者矛盾，所以a=1不符合。（2）线性方程组存在非零解，则=0，则a=1或a=2. a=1时，B= 所以 即，k为任意实数； a=2时，B= 所以 将代入方程，符合。小结：a=1或a=2 a=1时公共解为，k为任意实数；a=2时公共解为 。10.设A=,=,(1)求满足=,=的所有向量；(2)对（1）的任意向量,证明：线性无关.解：(1) = (A)= 设X= = = = = 又= ()= 设=, = = = = =(2) 设A=有唯一零解 线性无关.11,设A，B都是m×n矩阵，证明：R（）（，）；（）（）（）。证明：（！）设，向量组（I）向量组 （II）（I）的极大无关组（III）R(A+B)=（II)的极大无关组 （IV）（A，B）=S（I）（III） （II）（IV）（I）可以由（II）线性表示（III）也可以由（IV）线性表示且（IV）线性无关由定理3-10的推论知12,设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，如果存在n维非零列向量使得A=0.证明：非齐次方程组有解的充分必要条件是矩阵A的秩为n1.证明：充分性：若R(A)=n，则AX=只有零解与条件A=0，0矛盾 若R(A)<n1，则，此时 成为0X=（0）无解与有解矛盾 综上知，有解R(A)=n1 必要性：设R（A)=n1，则AX=0的基础解系含一个非零解向量 且 可作为AX=0的基础解系 又 1<n ） 的列向量都是AX=0的解向量 记 中至少有一个非零向量 且都是AX=0的解向量 可用基础解系线性表示（i=1,2,n） 即使得=，i=1,2n 且不全为0（否则全为零向量） 方程组即 即 即 此方程的增广阵为，注意到不全为0 其系数阵的秩=增广阵的秩=1，故有解 即 有解 证毕 Acknowledgements My deepest gratitude goes first and foremost to Professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. She has walked me through all the stages of the writing of this thesis. Without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. Second, I would like to express my heartfelt gratitude to Professor aaa, who led me into the world of translation. I am also greatly indebted to the professors and teachers at the Department of English: Professor dddd, Professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. Last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. I also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis. My deepest gratitude goes first and foremost to Professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. She has walked me through all the stages of the writing of this thesis. Without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. Second, I would like to express my heartfelt gratitude to Professor aaa, who led me into the world of translation. I am also greatly indebted to the professors and teachers at the Department of English: Professor dddd, Professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. Last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. I also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis.