4个幂等矩阵线性组合的幂等性高等代数毕业论文.doc

编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称： 4个幂等矩阵线性组合的幂等性 系 别 数学与应用数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 指导教师 莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 4个幂等矩阵线性组合的幂等性摘 要文献都是研究2个和3个的幂等矩阵的线性组合，在同它们的限制条件基本一样的基础上，本论文首次对四个幂等矩阵的线性组合的性质进行探索。本文得出在以下条件下，4个幂等矩阵的线性组合的幂等性的一些充分条件。设是两两相互可交换的非零的幂等矩阵，且，满足或当时，或，这里。矩阵是幂等矩阵，其中。这与文献的限制条件基本一样。关键词：幂等矩阵；相似矩阵；可对角化；线性组合；分块矩阵；特征值On idempotency of linear combinations of four idempotent matricesAbstractThe reference of 1, 2, 5 all researched the linear conbinations of two and three idempotent matrices . They are base on the restrictive conditions 1, 2, 5 just as they required. This essay will explore the nature of the linear combinations of four idempotentmatrices for the first time. This article conclude that a seris of sufficient conditions for the idempotency of linear combinations of four idempotent matrices in response to the conditions as follows.Let be any four different nonzero mutually commutative idempotent matrices, such that and are or if , then or ,and be nonzero scalars. The matrix be an idempotent matrix are given. The restrictive conditions of this paper just as the references required.Key words ：Idempotent matrices; Similar matrices; Diagonalization; Linear combination;Eigenvalues目 录0 引 言11 预备知识42 主要结论53 n=4的情况134 n=4时的举例195 说明22参考文献24致 谢250 引 言对于幂等矩阵，它有许多独特的性质，最突出的是它的特征值只有0和1；它的作用更是显著的，比如投影。这些使得幂等矩阵成为重要的矩阵理论。还有幂等矩阵的简单运算（如加法）在教材7,8上已有简单的介绍。于是引起了人们极大的兴趣，因此人们也开始思考如何利用幂等矩阵的性质和作用来研究矩阵理论和解决更实际的问题。这样，幂等矩阵的更一般的情况已引起学术界的重视。近几年来，2个和3个幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的问题是算子论中的一个重要问题已被研究。关于幂等矩阵的研究主要分成两大类：第一类，考虑幂等矩阵的线性组合的幂等性；第二类，考虑任意矩阵可分解成幂等矩阵的线性组合4。这两类都是关于幂等矩阵的。尤其是它们的证明不仅可从代数的观点出发，而且也反映特征值、特征向量、特征多项式的作用，还有具有幂等矩阵形式的二次形式更广泛地应用于统计论中。沿用了文献2、3中的记号，本论文进行如下符号说明：（1）：表示所有阶矩阵的集合；（2）：表示复数域，扣除；（3）：表示复数域，扣除；（4）：表示所有两两相互可交换的非零幂等矩阵的集合；（5）：表示单位矩阵；（6）：分别表示的特征值。以下是目前的国外、国内的研究结论：命题1.（见文献1，Theorem，文献5，定理4）设，且， ，则是幂等矩阵当且仅当下列四个条件之一成立：(a) , ；(b) , ；(c) , ；(d) , ,。命题2.（见文献2，Theorem3.2）当，且它们两两不相等，如果下面条件之一成立，则矩阵是幂等矩阵：(a) , , ；(b) , , ,（或，）(c) , , ,（或，）(d) , , ,（或，）且不存在满足条件的矩阵使得, ,（或，）.命题3.（见文献2，Remark 1.）当均为矩阵，且满足命题2的条件时，有(a) 当时，有；(b) 当或时，有或或。命题4.（见文献6,定理3）设，且它们两两不相等， ，如果满足下列条件之一，则矩阵是幂等矩阵：(a) ；(b) ,（且),并且， ，；(c) ，（且），并且；(d) ，（且），并且；(e) ，（且）， 并且；(f) ，并且。显然文献6的结果包含了文献2中的结论，即有了进一步的发展。命题5.（见文献3,Theorem1.）设，且，。如果下列情况之一成立，则矩阵是幂等矩阵，其中，：当， 时，有，；，；，；，；，；，或；，或；，或；，或；，或， 或，或。当，时，有，；，；，或；当，时，有，；，；，或。当，时，有，；，。在文献3中，Oskar Maria Baksalary放宽了的限制条件，即为个幂等矩阵满足。他的结论是的线性组合是幂等矩阵的充分条件。但文献1，2，3，5，6都只是对于个和个幂等矩阵的线性组合的研究，并没有讨论个以上的情况，甚至更一般的情况。主要是由于线性组合的平方的展开式中两两不同的乘积随着线性组合的个数增加，成倍数增多。因此，只能对它们进行条件限制。而且，随着限制条件的放宽，所带来的讨论也将变得非常复杂，更不用说一般情况。可见，多个幂等矩阵的线性组合的幂等性，还有很大的空间可研究。本论文主要是讨论个幂等矩阵的线性组合的幂等性。1 预备知识定义17 若矩阵，存在可逆矩阵，使得，则称矩阵B与A相似。定义28 若矩阵，与一个对角矩阵相似，则称是可对角化的。定义38 若矩阵，存在可逆矩阵，使得和都是对角矩阵，则称可同时对角化。引理1 一组有限个，可对角化的矩阵，若它们两两相互可交换，则它们可同时对角化。 引理1的详细证明见文献9。引理2 设，且它们两两不相等， ，若为幂等矩阵，则可对角化。证明：由引理1.知 同时可对角化，即存在一个可逆矩阵，使得，都是对角阵，并且它们的对角元分别是的特征值。故，从而。 证毕。引理3 设，且它们两两不相等， ，若为幂等矩阵当且仅当。证明：由引理1，有。 所以，当时，直接计算可知结论成立。注：因为都是幂等矩阵，所以。2 主要结论定理1是根据引言中的假设条件，对于个两两不同的相互可交换的幂等矩阵，它们的乘积组合只有种，即取定有种不同的。由于每个，它的取值只能为或，所以全部非零的有种不同的取法。再加上的情况，因此共有。由于幂等矩阵可对角化，又两两相互可交换，使得它们可同时对角化。再由幂等矩阵特征值的特点， ，令，则只有种不同的取法，之后利用来对这种情况具体进行验证，这是定理1和推论的主要思考方法。得到定理1和推论结论是由于对种情况进行讨论后，所得到的值和不满足条件的原因，。从而把这种情况可分成大类，严格来说这是计算式的证明，利用穷举法和验证法的结合。定理1 设，且，满足或当时，或，这里。如果下列情况之一成立，则矩阵是幂等矩阵，其中，：；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；定理1中所列结果，就把满足定理1条件的25种情况全部归类。65种可能情况的剩余的部分将在下面研究。得到定理1的思路：由引理2，可得。由引理3，知是幂等矩阵当且仅当（*）其中（）分别是的对角元，也是的特征值。 由于均是幂等矩阵，则，。令，则的取值只能是， ，这16个中的一个。即有当，则的特征值，满足每一个都有这样代入（*）式易得。即得定理1中（1）的情况。同理可以考虑当，则或，满足这种情况的i,j共有种不同的取法。定理1的证明：是幂等矩阵当且仅当。1）如果条件成立，我们有此时把条件 代入得。所以，是幂等矩阵。2）在条件 成立，我们有此时把条件代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。3）在条件 成立，我们有此时把条件；代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。4）在条件 成立，我们有此时把条件；代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。5）在条件 成立，我们有此时把条件；代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。6）在条件 成立，我们有此时把条件；代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。7）在条件 成立，我们有此时把条件；代入得。所以，是幂等矩阵。同理可证，在条件，之一成立时，是幂等矩阵。下面主要是来说明种可能情况的剩余部分为什么不满足定理要求。剩下的还有种。推论：从的情况是不满足定理1的条件。；。证明：由定理1的证明思路可知满足的条件的都是可见，这显然与定理1的假设矛盾。而满足的条件的都是满足、的条件的都是因此，对于都能得=这也与定理1的假设矛盾。同样，满足、的条件有满足的条件的有因此，对于都能得=这也与定理1的假设矛盾。同样，满足的条件都有满足、的条件的都有因此，对于都能得=，这也与定理1的假设矛盾。同样，满足、的条件都有满足、的条件的都有因此，对于都能得=，这也与定理1的假设矛盾。3 n=4的情况定理2 当均为阶矩阵，且满足定理1的假设条件时，有（i）当，时，有；（ii）当或，时，有或 或或。证明思路：利用引理2 ，知是幂等矩阵，则且或1，以及或1；或1；或1；或1。对每个，有两种不同的取法，从而来讨论 的取值情况，再来分析的情况。这是证明定理2的方法。证明过程要进行细腻的讨论。定理2的证明：(i) 当，有是幂等矩阵，则。由引理1有而分别是的对角元，也是的特征值。因为是幂等矩阵，则或1；或1；或1；或1。对于有，所以有或1。从而有不妨先设，则有(i1)当，时，则，从而得这与定理1假设不符合。(i2)当，（或，或，）则四个中只能有一个不为零阵，其它三个均为零矩阵，即存在或或或这也与定理1假设不符合。(i3)当，（或，或，）则存在两个为零矩阵，即存在或或或或或这也与定理1假设矛盾。当，则至少存在一个为零矩阵，即存在或或或这也与定理1假设矛盾。同理可证，或或的情况，均为定理1假设矛盾。因此，只能，。所以，即。（ii）当或，时，有或或或。对于，即是幂等矩阵时，则。由于则此时不妨先设，而则共有种不同的取法。不论它们的排列顺序如何，都有，这与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。此时有，也与定理1假设矛盾。可见，同理可证，所以，故。同理可证：对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。对于，即是幂等矩阵时，则。综上可知：当=或=，时，有=或=或=或=。4 n=4时的举例以下是构造出符合3的阶的非零幂等矩阵，并且验证了4的结论。定理3 若P 是幂等矩阵，则形如，这样的分块矩阵也是幂等矩阵。证明：显然成立。由定理3和结合文献2的例子，现构造出满足3的特殊的阶的幂等矩阵，且这些例子也满足4的结论。注：以下例子的序号就是3中充分条件成立的序号，即是充分条件成立所对应的例子。满足。；。5 说明说明1：在满足定理1的条件下，对于两个幂等矩阵的线性组合的充分条件有3个（见命题1）；三个幂等矩阵的线性组合的充分条件有个（见命题2）。显然得到这些结论的方法是简单的穷举法，结论也是比较整齐的。在参考了文献1、2、5的主要思想上，本文首次对个幂等矩阵的线性组合进行分析，发现了个幂等矩阵的线性组合的幂等性的复杂性。本文主要是加进了对幂等矩阵的特征值的思考，得出大体的思路。主要结论是四个幂等矩阵的线性组合的充分条件有7个，即为定理1。在命题3的基础上，我同时也进行思考是否命题3的结论也会适用于个的情况，结果验证是成立的，即为定理2。对于5部分的例子，我只是充分的利用了零矩阵的特点，和文献2的例子，构造出来的。说明2：本文的独立结果首先是对，且，满足或当时，或，则矩阵是幂等矩阵的充分条件。其次是给出当这四个幂等矩阵全为阶时的一个结论。最后，给出阶的个幂等矩阵满足结论的具体例子，并体现了符合定理2的结论。说明3：对于多个幂等矩阵的线性组合的研究仍然存在许多可讨论之处。首先，本论文虽然对四个幂等矩阵的线性组合进行了讨论，这个前提比过去的研究较有优越性，但是限制条件太死了。所以，放宽它的限制条件是本文的改进之一处。其次，同等条件下，我也曾经考虑过个的情况，但发现其讨论将达到个；也想过可能有规律可寻，但仍未发现。所以，找到解决个幂等矩阵的线性组合的一般方法是本文改进之二处。参考文献1 JKBaksalary，OMBaksalary，Idempotency of linear combinations of two idempotent matricesJLinear Algebra Appl， 321(2000)3-72 Hallm Özdemir， Ahrnet Yasar Özban On idempotency of linear combinations of idempotent matricesJ Applied Mathematics and Computation，2004， 159(2)：439-4483 Baksalary， Oskar Maria Idemkpotency of linear combincations of three idempotent matrices， two of which are disjointJLinear Algebra and its Applications，2004， 38：67-784Banovich V Every matrix is a linear combination of three idempotentsJ Linear Algebra and its Applications， 2004， 390：137-1435定群关于幂等阵的相似与线性组合J大学数学，2004，20 (3)： 84-866王月清，王爱丽3个幂等矩阵线性组合的幂等性J宝鸡文理学院学报（自然科学版），2005，25(3)：167-168 7 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数M北京：高等教育出版社， 293-2948攀恽，钱吉林代数学辞典M武汉：华师范大学出版社，1994，422-433致 谢首先，感谢我们的指导老师 对我们选题、确定方向、内容等的指导，并帮我们找到9篇国外和国内最新的研究成果，这是难得的学习材料。在这期间，还对我们进行了至少9次的小组或个人的指导，并和我们进行了激烈的讨论。尤其对我，帮我确定论文方向，找到写这篇论文的思路，并对这篇论文的进展情况进行了耐心的询问，还与我共同讨论，还对这篇论文的初稿做了详细的修改。所以，这篇论文的落定必须感谢杨老师。其次，要感谢我们数学系为我们提供的各种优惠条件，比如免费为我们提供数学实验室里的电脑，超低价的打印和复印等等。再次，要感谢我们这一组的全体成员，尤其是 两位同学。我们三人共同学习幂等矩阵这块知识，共同讨论各自的研究方向，并指出各自论文中，好的思想及方法和指出各自论文中需要修改的地方或不足的地方。最后，谢谢给予本论文支持和帮助的所有老师和同学。