考研数学理工类精选试题及解析：线性代数.doc

第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为_.解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“”, 所以答案为a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可经_次对换后变为排列inin1i2i1.解. 排列i1i2in可经过1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次对换后变成排列inin1i2i1.3. 在五阶行列式中=_.解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“”.4. 在函数 中, x3的系数是_.解. x3的系数只要考察. 所以x3前的系数为2.5. 设a, b为实数, 则当a = _, 且b = _时, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i < j时aij = 0 (i, j =1, 2, , n), 则D = _.解. 7. 设A为3×3矩阵, |A| =2, 把A按行分块为, 其中Aj (j = 1, 2, 3)是A的第j行, 则行列式_.解. .二计算证明题1. 设计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解. A41 + A42 + A43 + A44 =2. 计算元素为aij = | ij|的n阶行列式.解. 3. 计算n阶行列式(n ³ 2).解. 当+ =+ + = = 0当 4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.5. 试证: 如果n次多项式对n + 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, , xn. 将它们代入多项式, 得关于Ci方程组 系数行列式为x0, x1, , xn的范德蒙行列式, 不为0. 所以6. 设解. = = 第二章 矩阵一. 填空题1. 设a1, a2, a3, a, b均为4维向量, A = a1, a2, a3, a, B = a1, a2, a3, b, 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A3B| = _.解. = =2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = _.解. 假设, ai是A的列向量. 对于j = 1, 2, , m, 令, 第j个元素不为0. 所以(j = 1, 2, , m). 所以A = 0.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是_.解. 由AB = 0, 而且B为非零矩阵, 所以存在B的某个列向量bj为非零列向量, 满足Abj = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A| = 0;反之: 若|A| = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B, 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A| = 0.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是_.解. 5. = _.解. 6. 设矩阵= _.解. = = + = =7. 设n阶矩阵A满足= _.解. 由得. 所以, 于是A可逆. 由得8. 设=_.解. = , , =9. 设解. |A| = 312 + 8 + 8 + 66 = 1 10. 设矩阵, 则A的逆矩阵= _.解. , 使用分块求逆公式=所以 二. 单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使解. 因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以 = . 于是令 , . (D)是答案.2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D) 解. . (A)是答案.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则AB可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解. 若A、B均可逆, 则. (B)是答案.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB = (A) 0 (B) E (C) E (D) 解. AB = + 22 = E. (C)是答案. 5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 = (A) (B) (C) (D) 解. P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(1)加到第三行. 所以P2 = .(B)是答案.6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(A)*等于(A) A* (B) A* (C) (1)nA* (D) (1)n1A*解. (A)* =. (D)是答案.7. 设n阶矩阵A非奇异(n ³ 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B) (C) (D) 解. (C)是答案.8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r, 则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以 又因为 , 于是 所以 . (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设, . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT解. , 2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到: iii. . 由矩阵分块求逆公式: 所以 iv. 由矩阵分块求逆公式:得到: 3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, , . 试求矩阵A.解. 由本题的条件知: 4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.解. 因为 所以 . 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以. 因为B可逆, 所以所以 . 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且 解. = =所以 .8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| ¹ 0, AE可逆, 且(AE)1 = (BE)T, 求证A可逆.解. 因为(AE)1 = (BE)T, 所以(AE)(BE)T = E所以 , 由 |B| ¹ 0 知存在. 所以 . 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)1 = A1 + B1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以 10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为 所以 因为 , 所以 11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵 i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)1A为对称矩阵.解. i. , , 所以当 时, E + AB可逆.ii. 因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)1A为对称矩阵.12. 设, 求An.解. 使用数学归纳法. 假设 =则 = =所以 =13. A是n阶方阵, 满足Am = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为Am = E, 所以, 所以A可逆. 所以 14. 设矩阵i. 证明: n ³ 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i. 所以 假设 则 =所以 ii. 15. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以 因为 16. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(AB)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(AB)2 = A + B, 所以 于是 , 所以 因为 A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以.第三章 向量一. 填空题1. 设, 则k = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 = 13k +5 = 0. 2. 设, 则t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式 得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 设, 则秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6. 已知矩阵A = a·b, 则秩(A) = _.解. A = a·b = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (A) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以得关于的方程组 的系数行列式为 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵Am×n的秩为R(A) = m < n, Em为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(Em, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以 0. 所以= 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关Þ(II)相关 (B) (I)无关Þ(II)无关(C) (II)无关Þ(I)无关 (B) (I)无关Û (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设b, a1, a2线性相关, b, a2, a3线性无关, 则(A) a1, a2, a3线性相关 (B) a1, a2, a3线性无关(C) a1可用b, a2, a3线性表示 (D) b可用a1, a2 线性表示解. 因为b, a1, a2线性相关, 所以b, a1, a2, a3线性相关. 又因为b, a2, a3线性无关, 所以a1可用b, a2, a3线性表示. (C)是答案. 5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(AB) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A) (C) 秩(AB) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A| ¹ 0, |B| ¹ 0则AB ¹ 0, 则r(AB) ¹ 0. 排除(A);(B) 取A =B ¹ 0, 则秩(A + B) ¹ 2秩(A); (C) 取A = B ¹ 0, 则秩(AB) ¹ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) £秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.三. 计算证明题1. 设有三维向量, , 问k取何值时i. b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; ii. b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;iii. b不能由a1, a2, a3线性表示.解. i. 时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.2. 设向量组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问i. a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;ii. a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论解. i. a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , . 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;ii. a4不一定能由a1, a2, a3线性表出. 反例: , , , . a1, a2, a3线性相关, a2, a3, a4线性无关, a4不能由a1, a2, a3线性表出.3. 已知m个向量a1, a2, am线性相关, 但其中任意m1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 l1a1 + l2a2 + + lmam = 0其中l1 ¹ 0, 则.解. i. 假设k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 如果某个ki = 0. 则 k1a1 + ki1ai1 + ki+1ai+1 + kmam = 0因为任意m1个都线性无关, 所以k1, k2, ki1, ki+1, , km都等于0, 即这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1 ¹ 0, 所以l1, l2, lm全不为零. 所以 .代入第一式得: 即 所以 , , 即 4. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.解. 假设 得 因为 a1, a2, a3线性无关, 得方程组 当行列式 时, 有非零解. 所以 时, aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组Akx = 0有解向量a, 且Ak1a ¹ 0, 证明: 向量组a, Aa, ¼, Ak1a是线性无关的.解. 假设 . 二边乘以 得 , 由 . 二边乘以 得 , 最后可得 , 所以向量组a, Aa, ¼, Ak1a是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii. 解. 解. i. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , 所以 ii. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , , 所以 由 得方程组 解得 , , 所以 7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. , ii. , iii. , iv. , iv. 所以, 当 时, ; 当时, 8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A ¹ ± E, 试证明: (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 0解. 由第十一题知 又因为 A ¹ ± E, 所以 , 所以 , 中有一个为1所以 (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则AE的秩为nr, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为 A2 = A, 所以 所以 所以 又因为 所以 . 所以 10. 设A为n阶方阵, 证明: 如果A2 = E, 则秩(A + E) + 秩(AE) = n.解. 因为 A2 = E, 所以 所以 所以 又因为 所以 .第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组Am×nx = 0中, 若秩(A) = k且h1, h2, , hr是它的一个基础解系, 则r = _; 当k = _时, 此方程组只有零解.解. , 当时, 方程组只有零解.2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当_时, 方程组有唯一解; 当_时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为Am×nx = b, 矩阵的秩. 当, 方程组有惟一解; 当, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组 只有零解, 则k应满足的条件是_.解. , 时, 方程组只有零解.4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为_.解. 因为矩阵A的秩, 所以, A*x = 0的基础解系所含解向量的个数为40 = 4.5. 设, 则Ax = 0的通解为_.解. , 基础解系所含解向量个数为32=1. , 取. 基础解系为(1, 1, 1)T. Ax = 0的通解为k(1, 1, 1)T, k为任意常数.6. 设a1, a2, as是非齐次线性方程组Ax = b的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是Ax = b的一个解, 则C1 + C2 + + Cs = _.解. 因为(C1a1 + C2a2 + + Csas) = b, 所以, . 7. 方程组Ax = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为_.解. 方程组Ax = 0的基础解系为, 所以, 即, = 1. 所以 , 假设. 由 , 得 由 , 得取 . 所以, (其中为任意常数).8. 设Ax = b, 其中, 则使方程组有解的所有b是_.解. , , 所以= 3.因为 Ax = b有解, 所以所以 , 其中为任意常数.9. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = _.解. 由题设 , 又因为, 所以, 即, .二. 单项选择题1. 要使x1 = (1, 0, 1)T, x2 = (2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 只要系数矩阵A为(A) (B) (C) (D) 解. 因为的对应分量不成比例, 所以线性无关. 所以方程组的基础解系所含解向量个数大于2.(A) , . 因为A是三阶矩阵, 所以只有零解, 排除(A);(B) . 所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3. 排除(B);(C) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3. 排除(C);(D) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3, (D)是答案.2. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等阶向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (C) 解. 由 , 得 . 因为的基础解系, 所以线性无关. 于是, 所以, 则线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如和等价, 但不是基础解系.3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中解. 对(A), (B): 反例 , 不可逆;对于(C) 假设A为n×n矩阵, 为A的增广矩阵. 当时, 有无穷多解, 但A不可逆;(D) 是答案, 证明如下: 当时, , 说明只有零解. 所以存在.4. 设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r, 则有非零解的充分必要条件是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. ( C )为答案.5. 设矩阵, 矩阵, 则线性方程组( A ) 当时仅有零解. ( B ) 当时必有非零解.( C ) 当时仅有零解. ( D ) 当时必有非零解.解. 因为矩阵为方阵, 所以未知数个数为m个. 又因为, 所以,当时, , 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 若是非齐次线性方程组的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 因为 , 所以 ; 又因为是非齐次线性方程组的互不相等的解, 所以 的解不唯一, 所以 , 所以 . 于是: 基础解系所含解向量个数( B )为答案.三. 计算证明题1. 求方程组 的通解, 并求满足方程组及条件 的全部解.解. 将条件方程与原方程组构成矩阵i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii. , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为;iii. 齐次方程的基础解系: 令令基础解系为: iv. 非齐次方程的通解: 令所以全部解为: 2. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.解. i. 当, 方程组有惟一解;ii. 当, 方程组无解;iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: , 所以. 令 . 基础解系解向量为: . 非齐次方程组: , 所以. 令 . 非齐次方程特解为: .通解为: 3. 问l为何值时, 线性方程组有解, 并求出解的一般形式.解. iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: , 令 . 基础解系解向量为: . 非齐次方程组: , 令 . 非齐次方程特解为: .通解为: 4. 已知, , 及.i. a, b 为何值时, b不能表示成的线性组合.ii. a, b 为何值时, b有的惟一线性表示, 并写出该表示式.解. 假设 , 求解方程组, 求. i. 时, , 方程组无解, 即b不能表示成的线性组合; 时, , 方程组有无穷多解, 即b有无穷多种方法可表示成的线性组合.ii. 时, , 方程组有惟一解, 即b能表示成的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组, 解得: , 表示式为: .5. 知方程组与 同解, 试确定a, b, c.解. 在第二个方程组中求一组特解. 令. 将该组特解代入第一个方程组中得: . 6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ( II ) i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.解. i. 由第一个方程组:, 齐次方程基础解系所含解向量个数为: .齐次方程组: . 令.基础解系为: .非齐次方程组: . 令.所以第一个方程组的通解为: ii. 将代入第二个方程组:.7. 设A是m×n矩阵, R是m×n矩阵, x = , B是m×m矩阵, 求证: 若B可逆且BA的行向量都是方程组的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.解. 假设, , 其中为A的行向量.=因为BA的行向量都是方程组的解, 所以: .所以: , 即.因为B可逆, 所以. 即A的每个行向量为R x = 0的解.8. A是n阶矩阵, 且A ¹ 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是.解. 必要性:(反证法) 反设, 则存在. 所以当AB = 0时, 二边右乘得, 和存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0矛盾. 所以;充分性:设 , 则方程组Ax = 0有非零解 . 构造矩阵 则B ¹ 0, 且AB = 0.9. 假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有, 则A = 0.解. 假设 , 为A的列向量. 取, 只有第i个分量为1, 其余都为0. 则 , 所以 A = 0.10. 假设. 如果h是方程组的一个解, 试求的通解.解. 将代入, 得到. i. 于是 , 基础解系所含解向量个数为: . 齐次方程: , 令 , 解向量为: 令 , 解向量为: 所以通解为: i. 于是 , 基础解系所含解向量个数为: . 齐次方程: , 令 , 解向量为: 所以通解为: 11. 假设. 如果矩阵方程有解, 但解不惟一, 试确定参数a.解. 当 时, 对于B的任一列向量, 都有 , 所以矩阵方程有解, 但解不惟一.第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是_, 特征向量是_.解. 因为 , 所以对于任意n维向量. 所以|A| = 5是的特征值, 任意n维向量a 为对应的特征向量.2. 三阶方阵A的特征值为1, 1, 2, 则的特征值为_.解. 的特征值为: 3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_.解. 具有相同的特征值., 所以B和A具有相同的特征值. B的特征值为: 2和1(二重).4. 已知矩阵相似, 则x = _, y = _.解. 因为A, B相似, 所以.相似矩阵的迹相等: . 于是.5. 设A, B为n阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = _, 使得.解. 因为, 所以A可逆. 令, 则. 即AB与BA相似. 二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件解. 假设为A的所有特征值, 则. 所以: 0为A的特征值A可逆(C)为答案.2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.解. 为A的二个相异的特征值, 所以存在非零向量, 满足. 而且线性无关. 假设存在 l 满足: 所以 , 即 因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0, . 和矛盾. 所以(C)为答案.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B) (C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组的基础解系为, 所以方程组的全部解为(为任意常数). 但特征向量不能为零, 则A的属于的全部特征向量是: (为不全为零的任意常数), (D)为答案.4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量解. (B)是答案.5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A解. 令. 所以. 所以(C)是答案.6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得解. , 则存在可逆方阵P, 使得. 所以 所以的有相同的特征方程, (B)是答案.三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.解. 当 时, . 所以t为任意实数.i. 时 所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为;ii. 时 所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为.2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量.解. , 所以方程组 的基础解系所含解向量个数为 .相应的方程组为 , 令, 得解向量于是对应于 的全部特征向量为 ().3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证是A的特征值, 且(1, 1, , 1)T是对应于的特征向量, 又问此时的每行元素之和为多少?解. 假设, 且所以 为A的特征值, 对应的特征向量为(1, 1, , 1)T.因为A可逆, 所以为的特征值, 对应的特征向量也是(1, 1, , 1)T.即 . 所以的每行和为.4. 设均是n阶方阵, 且, 证明有公共的特征向量.解. 考察方程组. . 所以方程组有非零解 a则解向量a为A, B的公共特征向量, 对应的特征值为.5. 设三阶矩阵A满足, 其中列向量, , 试求矩阵A.解. 矩阵所以 , 所以 =