实验二连续时间信号的频域分析.docx

实验二 连续时间信号的频域分析实验二 连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用MATLAB语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、实验原理及方法 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 其中三角傅里叶级数为： ¥x(t)=a0+åakcos(kw0t)+bksin(kw0t) 2.1 k=1或： x(t)=a0+其中w0=åck=1¥kcos(kw0t+jk) 2.2 2p，称为信号的基本频率，a0，ak，和bk分别是T1信号x(t)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，ck、jk为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率kw0的函数，绘制出它们与kw0之间的图像，称为信号的频谱图，ckkw0图像为幅度谱，jkkw0图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度为ck。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： x(t)=k=-¥åaekT1/2¥jkw0t 2.3 其中，ak为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： 1 ak=T1-T1/2òx(t)e-jkw0tdt 2.4 指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度为ak。这里“复幅度”指的是ak通常是复数。 上面的傅里叶级数的合成式说明，我们可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来合成任意一个周期信号。然而，用计算机合成一个周期信号，显然不可能做到用无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。 假设谐波项数为N，则上面的和成式为： Nx(t)=k=-Nåaekjkw0t 2.5 显然，N越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。本实验可以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括“Gibbs”现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号和周期锯齿波信号时可以看得很清楚。 三、实验内容和要求 Q2-1 编写程序Q2_1，绘制下面的信号的波形图： ¥111npx(t)=cos(w0t)-cos(3w0t)+cos(5w0t)-L=åsincos(nw0t) 352n=1n其中，w0 = 0.5，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(w0t)、cos(3w0t)、cos(5w0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。 抄写程序Q2_1如下： clear,%Clear all variables close all,%Close all figure windows dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t); N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N; x=x+(sin(q*(pi/2).*cos(q*w0*t)/q; end subplot(221) plot(t,x1)%Plot x1 axis(-2 4 -2 2); grid on, title('signal cos(w0.*t)') subplot(222) plot(t,x2)%Plot x2 axis(-2 4 -2 2); grid on, title('signal cos(3*w0.*t)') subplot(223) plot(t,x3)%Plot x3 axis(-2 4 -2 2) grid on, title('signal cos(5*w0.*t)') 执行程序Q2_1所得到的图形如下： Q2-2 给程序Program2_1增加适当的语句，并以Q2_2存盘，使之能够计算例题2-1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。 通过增加适当的语句修改Program2_1而成的程序Q2_2抄写如下： % Program2_1 clear, close all T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2; x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0; for m = -1:1 % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); end w0 = 2*pi/T; N = 10; % The number of the harmonic components L = 2*N+1; for k = -N: N; % Evaluate the Fourier series coefficients ak ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end phi = angle(ak); % Evaluate the phase of ak subplot(211)' k = -10:10; stem (k,abs(ak),'k'); axis(-10,10,0,0.6); grid on; title('fudupu'); subplot(212); k = -10:10 stem(k,angle(ak),'k'); axis(-10,10,-2,2); grid on; titie('xiangweipu'); xlabel('Frequency index x'); 执行程序Q2_2得到的图形 Q2-3 反复执行程序Program2_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所得到 的周期方波信号。 通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是： % Program2_3 % This program is used to compute the Fourier series coefficients ak of a periodic square wave clear,close all T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2; x1 = u(t)-u(t-1-dt); x = 0; for m = -1:1 x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal end w0 = 2*pi/T; N = input('Type in the number of the harmonic components N = :'); L = 2*N+1; for k = -N:1:N; ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end phi = angle(ak); y=0; for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T); end; subplot(221), plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2), subplot(223), plot(t,y), title('The synthesis signal y(t)'), axis(-2,2,-0.2,1.2), xlabel('Time t'), subplot(222) k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis(-N,N,-0.1,0.6) subplot(224) stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis(-N,N,-2,2), xlabel('Index k') N=1 N=2 通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲，这种现象被称为吉伯斯现象。即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。 1、周期信号的傅里叶级数与GIBBS现象 给定如下两个周期信号： x1(t)t-2-112x2(t)1t-2-0.20.221Q2-4 分别手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶级数的系数。 信号x1(t) 在其主周期内的数学表达式为： x1(t)=t*(u(t+1)-u(t)-t*(u(t)-u(t-1); 计算x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下： t+2a0=òxt1(t)dtt+Tan=2/Tbn=2/Ta0=1/2a1=4/p29p24a3=225p4a4=226pbn=0通òx(t)cos(nwt)dt 11tt+Tòx(t)sin(nwt)dt 11ta2=4过计算得到的x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是：1411x1=+2cos(pt)+cos(pt)+cos(pt)+L 2p9251¥nptjpt信号x2(t) 在其主周期内的数学表达式为：x2=å-¥Sa。 Program2_1，编写程序Q2_6，以计算x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘程序Q2_6如下： clc,clear,close all T=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3; x=u(t+0.2)-u(t-0.2-dt);x2=0; for m=-1:1 x2=x2+u(t+0.2-m*T)-u(t-0.2-m*T)-u(t-0.2-m*t-dt); end w0=2*pi/T; N=10; L=2*N+1; for k=-N:N; ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt; end phi=angle(ak); plot(t,x2); axis(-2.5 2.5 0 1.2); grid on; title('The signal x2(t)'); xlabel('Time t (sec)'); ylabel('signal x2(t)'); 执行程序Q2_6所得到的x2(t)的傅里叶级数的ak从-10到10共21个系数如下： Q2-7 仿照程序Program2_2，编写程序Q2_7，计算并绘制出原始信号x1(t) 的波形图，用有限项级数合成的y1(t) 的波形图，以及x1(t) 的幅度频谱和相位频谱的谱线图。 编写程序Q2_7如下： %Program Q2_7 %This program is used to evaluate the Fourier serier coefficients ak of a periodic square clc,clear,close all T=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3; x=(t+1).*(u(t+1)-u(t)-(t-1).*(u(t)-u(t-1);x1=0; for m=-2:2 %Periodically extend x1(t) to form q periodic signal x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T)-(t-1-m*T).*(u(t-m*t)-u(t-1-m*t); end w0=2*pi/T; N=10; %the number of the harmonic components L=2*N+1; for k=-N:N; ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t')*dt; end phi=angle(ak); %Evaluate the phase of sk y=0; for q=1:L; %Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series y=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*w0*t); end; subplot(221) plot(t,x)%plot x axis(-3 3 -0.2 1.2); grid on; title('The original signal x(t)'); subplot(223) plot(t,y)%Plot y axis(-3 3 -0.2 1.2); grid on; title('The synthesis signal y(t)'); subplot(222); xlabel('Time i (sec)'); subplot(222); k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k'); axis(-N N -0.1 0.6); grid on; title('The amplitude spectrum of x(t)'); subplot(224); k=-N:N; stem(k,phi,'k'); axis(-N N -2 2); grid on; title('The phase spectrum of x(t)'); xlabel('Frequency index k'); 执行程序Q2_7，输入N = 10所得到的图形如下： 反复执行程序Q2_7，输入不同的N值，观察合成的信号波形中，是否会产生Gibbs现象？为什么？； 答：假定输入N=15，得到图形如下： 所以不会产生Gibbs现象，即与N值无关。 给定两个时限信号: -2£t<-1ìt+2,pïx1(t)=í1,-1£t<1 x2(t)=cos(t)u(t+1)-u(t-1) 2ï-t+2,1£t<2îQ2-9计手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶变换(如能够用傅里叶变换的性质计算最好)，并算x1(t) 的傅里叶变换的过程： 手工绘制出它们的幅度谱和相位谱； f(t)«F(w)A解：如图示，对f(t)两次求导，有：Af''(t)=d(t+b)-d(t+a)-d(t-a)+d(t-b)b-a由于d(t)«1,用延时特性有：-b-aaabbd(t-t1)«e-jwt(jw)2F(w)=1f'(t)«F1(w)若令f(t)«F(w),则有：Aejbw-(ejaw+e-jaw)+e-jbwb-a-b-aF2(w)=FTf''(t);F1(w)=FTf'(t)F2(0)=0;F1(0)=02Acosaw-cosbwF(w)=FTf(t)=b-aw22A(cosbw-cosaw)«f''(t)b-af''(t)«F2(w)-b-aab计算得到的x1(t) 的傅里叶变换的数学表达式为： cosw-cos2wF(w)=FTf(t)=22w计算x2(t) 的傅里叶变换的过程： F(w)=FTcospt=pd(w+p)+d(w-p)计算得到的x2(t) 的傅里叶变换的数学表达式为： 手工绘制的x1(t)的幅度频谱图 手工绘制的x2(t)的幅度频谱图 Q2-10 编写MATLAB程序Q2_10，能够接受从键盘输入的时域信号表达式，计算并绘制出信号的时域波形、幅度谱。 程序Q2_10抄写如下 clear,close all T=0.01; dw=0.1; t=-10:T:10; w=-4*pi:dw:4*pi; x=input('peleas x='); X=x*exp(-j*t'*w)*T; X1=abs(X); phai=angle(X); subplot(211) t=-10:T:10; plot(t,x)%Plot X axis(-3 3 -0.2 1.2); grid on, title('The signal X(t)'); xlabel('Time t(sec)'); w=-4*pi:dw:4*pi; subplot(212); plot(w,X1)%Plot X; axis(-4*pi 4*pi -0.1 3); grid on; title('The amplitude spectrum of X(t)'); xlabel('Frequency index w'); % x1(t)=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+u(t+1)-u(t-1)+(2-t).*(u(t-1)-u(t-2) % x2(t)=cos(pi*t/2).*(u(t+1)-u(t-1) 执行程序Q2_10，输入信号x2(t)的数学表达式，得到的信号时域波形、幅度谱和相位谱如下： Q2-10 编写MATLAB程序Q2_10，能够接受从键盘输入的时域信号表达式，计算并绘制出信号的时域波形、幅度谱。 程序Q2_10抄写如下 clear,close all T=0.01; dw=0.1; t=-10:T:10; w=-4*pi:dw:4*pi; x=input('peleas input a signal,I will draw its plot for you.Signal x='); X=x*exp(-j*t'*w)*T; X1=abs(X); phai=angle(X); subplot(211) t=-10:T:10; plot(t,x)%Plot X axis(-3 3 -0.2 1.2); grid on, title('The signal X(t)'); xlabel('Time t(sec)'); w=-4*pi:dw:4*pi; subplot(212); plot(w,X1)%Plot X; axis(-4*pi4*pi-0.1 3); grid on; title('The amplitude spectrum of X(t)'); xlabel('Frequency index w'); % x1(t)=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+u(t+1)-u(t-1)+(2-t).*(u(t-1)-u(t-2) % x2(t)=cos(pi*t/2).*(u(t+1)-u(t-1) 执行程序Q2_10，输入信号x1(t)的数学表达式，得到的信号时域波形、幅度谱和相位谱如下： The signal X(t)10.50-3-201Time t(sec)The amplitude spectrum of X(t)-1233210-10-50Frequency index w510本实验完成时间：XX年 6 月5日 、