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定积分及其应微积分教案 NO. 1 第六章 定积分 §6.1 定积分的概念 一、定积分的定义 1.引 例1 设函数y=f(x)在闭区间a，b上有定义且非负曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成一个图形曲边梯形，来其面积 求近似值：用一串分点 a=x0<x1<L<xn=b把a，b分成n段， 相应地把曲边梯形分成n个条形，其中第j个条形为 xj-1£x£xj,0£y£f(x). nyy=f(x)B A 曲边梯形面积的近似值 åf(xj)Dxj j=1 划分越细，近似效果越好。 例2 设物体作变速直线运动，其速度v是时Oa=x0x1xi-1xixixn-1xn=bx 间t的函数v=f(t).我们来计算这物体从时图1.3-3 刻a到时刻b经过的路程为此，用一串分点a=t0<t1<L<tn=b, n把这段时间分成n小段总路程近似等于 åf(tj)Dtj j=1当分割的时间间隔越来越短时，上述和式的极限值即为所求的路程 2定义 设f(x)在区间a,b有定义,在a,b内任意插入n-1个分点： a=x0<x1<x2<L<xn-1<xn=b，此分法表为T.分法T将a,b分成n个小区间：x0,x1,x1,x2,L,xi-1,xi,L,xn-1,xn.第i个小区间xi-1,xi的长度表为Dxi=xi-xi-1,d(T)是这n个小区间的长度的最大者：作和d(T)=maxDx1,Dx2,L,Dxn.在xi-1,xi中任取一点xi(i=1,2,3n)，微积分教案 nNO. 2 数 S=åi=1f(xi)Dxi，称为f(x)在a,b上的积分和.如果当d(T)®0时，和数S趋于确定的极限I，且I与分法T无关，也与xi在xi-1,xi中的取法无关，则称f(x)在a,b上可积，极限I称为f(x)在a,b上的定积分，简称为积分，b记作òf(x)dx. 即： òf(x)dx=limabnd(T)®0aåi=1f(xi)Dxi 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a与b叫做积分的下限与上限，符号ò是积分符号. 如果当d(T)®0时，积分和S不存在极限，则称f(x)在a,b上不可积. 注意：定积分的值只与被积函数f(x)以及积分区间a,b有关，而与积分变量写成什么字母无关，即òf(x)dx=abòbaf(t)dt. 与不定积分区别； 二、定积分的几何意义及可积函数类 1几何意义：若在a,b上，f(x)³0，则定积分òf(x)dx表示由曲线ab； y=f(x),x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积f(x)£0，表示上述曲边梯形的面积的相反数； 若函数f(x)在a,b上有正有负各部分面积的代数和。 o yyyo a b x + a b x 图6.1-1a - o - b x a 图6.1-1c + + 图6.1-1b 微积分教案 NO. 3 2可积函数类：若函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积. 若函数f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积. 三、例 计算定积分òsinxdx. ab 解 因为f(x)=sinx在a,b上连续，故sinx在a,b上可积，因此可以对a,b采用特殊的分法，以及选取特殊的点xi，取极限 nd(T)®0limåi=1f(xi)Dxi 即得到积分值. b-an(i-1)(b-a)n将a,bn等分，则 Dxi=有 òsinxdx=limabn-1n®¥，取xi=a+×b-an，i=1,2,Ln 则åsini=0a+i(b-a)n . 为了书写方便，令h=n-1b-an,利用积化和差公式有： h2h2åi=0sin(a+ih)=12sinh22sinasin+2sin(a+h)sin+L +2sina+(n-1)hsin =12sinh22n-32h2 h2)-cos(a+3h2)+L cos(a-h2)-cos(a+h2)+(cos(a+ +(cos(a+ =12sinbh)-cos(a+2n-122n-12h) h2×cos(a-h2)-cos(a+h)， n-1n®¥所以 òsinxdx=limaåi=0sina+i(b-a)n×b-an微积分教案 NO. 4 =cosa-cosb. 微积分教案 NO. 5 §6.2 定积分的基本性质 一、定义推广： 二、性质 1 òf(x)±g(x)dx=abbòbaf(x)dx±nd(T)®0òbag(x)dx. 证 òf(x)±g(x)dx=limaåf(xi=1i)±g(xi)Dxi nn =limbd(T)®0åi=1f(xi)Dxi±bd(T)®0limåg(xi=1i)Dxi =bòaf(x)dx±bòag(x)dx. 2 òkf(x)dx=kòf(x)dx. aa3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则 bcbòaf(x)dx=òaf(x)dx+òcf(x)dx 证 因为函数f(x)在a,b上可积，所以不论a,b怎样划分，不论xi怎样选取，当d(T)®0时，积分和的极限是不变的，所以我们可以选取c(a<c<b)n永远是个分点，lim =limbd(T)®0åi=1f(xi)Dxi=limåf(xi)Dxi+d(T)®0a,cåc,bf(xi)Dxi d(T)®0åa,cf(xi)Dxi+limd(T)®0åc,bf(xi)Dxi， 即 òf(x)dx=aòcaf(x)dx+òbcf(x)dx. b推广：不论a,b,c的相对位置如何，òf(x)dx=aòcaf(x)dx+òbcf(x)dx成立. 例如,当a<b<c时，由于 òf(x)dx=acòbacf(x)dx+f(x)dx-òòcbcf(x)dx，则 f(x)dx= òf(x)dx=abòabòcaf(x)dx+òbcf(x)dx. 微积分教案 4 如果f(x)=1,则òbaf(x)dx=òbadx=b-a. 5 如果在区间ba,b上f(x)³0，则òf(x)dx³0a(a<b). 证 òbnaf(x)dx=limf(xd(T)®0åi)Dxi， i=1因为 f(x)³0，故f(xi)³0 (i=1,2,Ln)， n又 Dxi³0 (i=1,2,Ln)，因此 åf(xi)Dxi³0， i=1n所以， limd(T)®0åf(xi)Dxi³0 , 即: i=1òbf(x)dx³0a. 推论1 如果在区间a,b上,f(x)£g(x),则 òbaf(x)dx£òbag(x)dx (a<b). 推论2 òb)dx£òbaf(xaf(x)dx，(a<b). 证 因为 -f(x)£f(x)£f(x)， 则 -òbaf(x)dx£òbaf(x)dx£òbaf(x)dx， 即 òbaf(x)dx£òbaf(x)dx. 6 设M,m分别是函数f(x)在a,b上的最大值和最小值，则 m(b-a)£òbaf(x)dx£M(b-a). 证 因为 m£f(x)£M，由推论1得 òbbamdx£òaf(x)dx£òbaMdx， 再由性质2及性质4可得 m(b-a)£òbaf(x)dx£M(b-a). NO. 6 微积分教案 NO. 7 性质7 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点x，使下式成立:òf(x)dx=f(x)×(b-a). ab 证 因f(x)在a,b上连续，故必存在最大值M与最小值m，由性质6， m(b-a)£ 或 m£这说明，数1b-ab1òbabaf(x)dx£M(b-a) ， òf(x)dx£M. b-aòaf(x)dx介于M与m之间，根据闭区间连续函数的介值定理，在区间a,b内存在一点x，使 f(x)=b1b-aòbaf(x)dx,即 y òf(x)dx=f(x)×(b-a). a此性质称为积分中值定理. 积分中值定理有其明显的几何意义: 设f(x)³0，由曲线y=f(x),x轴及直 o a b x 线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积等于 以区间a,b为底，某一函数值f(x)为高的 矩形面积. 图6.2-1 微积分教案 NO. 8 §6.3 微积分基本定理 一、引例 做直线运动的物体的位置函数为S=S(t),速度函数为v=v(t)=S¢(t) b 物体从t=a到t=b这段时间所经过的距离为òv(t)dt. a òv(t)dt=S(b)-S(a) ab说明， òv(t)dt，等于v(t)的原函数在区间a,b的增量 ab问题：是不是普遍规律？ 二、积分上限函数 1定义：设f(t)在区间a,b上连续，则f(t)在区间a,xx为a,b上任意一点，也连续，故定积分òf(t)dt存在.于是,"xÎa,b,有唯一确定的数òf(t)dt与aaxx之对应，所以在a,b上定义了一个函数，记作F(x): F(x)=òxaf(t)dt y我们把式定义的函数称为积分上限的函数. F(x)2性质： 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上O a x b 限的函数F(x)=是 F¢(x)=ddxòxaf(t)dt在a,b上可导，并且它的导数x图6.3-1 òxaf(t)dt=f(x) . 证 设自变量x有增量Dx，使x+DxÎa,b，则函数F(x)具有增量 DF=F(x+Dx)-F(x)= =òx+Dxaf(t)dt-òxaf(t)dt òxaf(t)dt+òx+Dxxf(t)dt-òxaf(t)dt=òx+Dxxf(t)dt. 微积分教案 NO. 9 利用积分中值定理，则有DF=f(x)Dx，x介于x与x+Dx之间. 于是,有 DFDx=f(x)(x介于x与x+Dx之间), 由于f(x)在a,b上连续，且当 Dx®0时，x®x，有 limDx®0DFDx=limf(x)=f(x). x®x 三、牛顿莱布尼兹公式 定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原数，则 òf(x)dx=F(b)-F(a) . ab 证 已知F(x)是f(x)的一个原函数，积分上限的函数F(x)=òxaf(t)dt 也是f(x)的一个原函数，于是这两个原函数之差F(x)-f(x)在a,b上必定是某一常数C:F(x)-F(x)=C(a£x£b), 在上式中,令x=a,则 F(a)-F(a)=C， 又 F(a)=xòaaf(t)dt=0，因此 C=F(a),代入(6)式,有 òf(t)dt=F(x)-F(a)a,在上式中令babx=b，即得 òbabf(x)dx=F(b)-F(a). òf(x)dx=F(x)或òf(x)dx=F(x)|a baa 例1 计算定积分òsinxdx. ab 解 òsinxdx=-cosxa=cosa-cosb. bba 例2 计算ò 解 ò31311+x2dx. 3111+x31dx=arctanx|12=arctan3-arctan1=p3-p4=p12. 例3 计算òx-2dx. 解 要去掉绝对值符号，必须分区间积分，显然点x=2为区间的分界点, 微积分教案 ò3x-2dx1=ò21x-2dx+ò3x-2dx2 =ò231(2-x)dx+ò2(x-2)dx =é1232ùé12ùê2x-xë2ú+êx-2xú=1û1ë2û. 2例4计算ò2f(x)dx ，其中f(x)=ìx2,(0£x£1),0íîx-1,(1<x<2). 解 ò2f(x)dx=1f(x)dx+0ò0ò2f(x)dx1ò2f(x)dx1=ò21(x-1)dx 于是 ò2f(x)dxò1x2dx+210=0ò1(x-1)dx=13x30+12(x-1)221=56. x2例5 求极限limò0costdtx®0x. òx22解 lim0costdtx®0x=limcosxx®01=1 例6 求dò1+x22dxsinx1+tdt. 解 ò1+x21+t2sinxdt=ò12sinx1+t2dt+ò1+x211+tdt =-òsinxt2dtt2dt11+ò1+x211+ 令 u=sinx,v=1+x2 为中间变量，则上式变为 1+x2ò22sinx1+tdt=-òu11+tdt+òv11+t2dt =-j(u)+j(v)， ddxò1+x2sinx1+t2dt=ddx(-f(u)+f(v) =-df(u)+df(v)ddxdx=-f(u)dudf(v)dvdu×dx+dv×dx NO. 10 微积分教案 NO. 11 =-1+u2×cosx+1+v2×(2x) =-1+sin2x×cosx+2x2+2x+x24. §6.4 定积分的换元积分法 一、定理 若函数f(x)在区间a,b上连续,函数x=j(t)在区间a,b上具有连续的导数,当t在区间a,b上变化时，x=j(t)的值在a,b上变化，又 j(a)=a,j(b)=b ,则òf(x)dx=abòabfj(t)j¢(t)dt (1) 证 设F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则 òf(x)dx=F(b)-F(a)， ab再设 F(t)=Fj(t), 对F(t)求导， 得 F¢(t)=dFdx×dxdt=f(x)×j¢(t)=fj(t)×j¢(t) 即F(t)是fj(t)j¢(t)的一个原函数，因此有 òfj(t)×j¢(t)dt=F(b)-F(a). ab又 F(t)=Fj(t)，j(a)=a,j(b)=b，可知 F(b)-F(a)=Fj(b)-Fj(a)=F(b)-F(a)， 所以 òf(x)dx=abòabfj(t)×j¢(t)dt. 推广：1。j(a)=b,j(b)=a,定理同样成立. 2此定理也可反过来使用，ò例1 计算òe3bafj(x)j¢(x)dx=òabf(t)dt. dxx1+lnx. 1微积分教案 解 令t=lnx，则x=et,dx=etdt， 于是 òe3 dx=3etdt=3dt=21+t|31x1+lnxò0et1+tò01+t0=2. 例2 计算ò1(1-x2)3dx0. 解 令 x=sint(0£t£p2),则dx=costdt， 1pp 于是ò(1-x2)3dx=ò2300cost×costdt=ò20(1+cos2t22)dt p =124ò0(1+2cos2t+cos22t)dt p =124t+sin2t0+1p28ò(1+cos4t)dt0pp =p18+8t20+132sin4t230=16p. 例3 设函数f(x)在-a,a上连续，证明： 若f(x)是偶函数，则òaa-af(x)dx=2ò0f(x)dx; 若f(x)是奇函数，则òa-af(x)=0. 证 因为 òa-af(x)dx=ò0-af(x)dx+òa0f(x)dx 在上式右端第一项中，令x=-t，则有 ò0-af(x)dx=ò0af(-t)×(-1)dt=òa0f(-t)dt，所以 òaf(x)dx=af(-x)dx+a-aò0ò0f(x)dx=òa0f(-x)+f(x)dx; 当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x),则òaa-af(x)dx=2ò0f(x)dx； 当f(x)为奇函数时，即f(-x)=-f(x)，则òa-af(x)dx=òa00dx=0. NO. 12 微积分教案 pp例4 若f(x)在0,1上连续，证明ò2f(sin20x)dx=ò0f(cosx)dx p证 设 x=p， p2-tò20f(sinx)dx=-ò0pfsin(-t)dt 22pp =ò20f(cost)dt=ò20f(cosx)dx. 例5 若f(x)在0,1上连续，证明: òpp0xf(sinx)dx=pò2p0f(sinx)dx, 并由此计算 òxsinx01+cos2xdx. p 证明 òpxf(sinx)dx=2p0ò0xf(sinx)dx+òpxf(sinx)dx， 2对于上式右端第二项的积分，设p-x=t,则-dx=dt, òpp0xf(sinx)dx=ò2)dx+ò00xf(sinxp(p-t)f(sint)(-dt) 2pp =ò20xf(sinx)dx+ò20(p-t)f(sint)dt pp =ò220xf(sinx)dx+ò0(p-x)f(sinx)dx p =pò20f(sinx)dx. 练习：òpxsinxxsinxpx01+cos2xdx=òp02-sin2xdx=pò2sin02-sin2xdx pp2=-pò2d(cosx)01+cos2x=-parctan(cosx)20=-p(0-p4)=p4. NO. 13 微积分教案 §6.5 定积分的分部积分法 一、公式： (uv)¢=u¢v+uv¢， òbbbauv¢dx=uva-òbau¢vdx 或 òudv=uvbaa-òbavdu. 二、例 p例1 计算ò20xcosxdx. pppp 解 ò2xcosxdx20=ò0xd(sinx)=xsinx20-ò20sinxdx pp =2+cosx|20=p2-1. 例2 计算ò1exdx. 0 解 令x=t，则x=t2，dx=2tdt，于是 ò1exdx=0ò1et2tdt=21t0òtedt, 0 =2ò1tdet=2tet11tt100-2ò0edt=2e-2e0 =2e-2(e-1)=2. p 例3 计算ò2e2x0cosxdx. p解 设 I=ò20e2xcosxdx,即 ppp I=ò2e2x2xsinx22x0dsinx=e0-2ò20esinxdx ppp =ep+2ò2e2xdcosx=ep+2e2xcosx22x0-2cosxdx0ò20e =ep-2-4I 移项，解得 I=15(ep-2). p 例4 求 Inn=ò20sinxdx,其中n为非负整数. NO. 14 微积分教案 pp 解 I0=ò20dx=p2，I1=ò20sinxdx=1. 当n³2时, p In=-ò2sinn-10x×dcosxpp =-sinn-1x×cosx20+ò2cos0xd(sinn-1x) p =(n-1)ò2n-2xdx 0cos2x×sinp =(n-1)ò2(1-20sinx)sinn-2xdx pp =(n-1)×ò2n-2-1)ò2n0sinxdx-(n0sinxdx =(n-1)In-2-(n-1)In. 移项，得到积分In的递推公式 In=n-1n×In-2. 1) 当n为偶数时,设n=2m,有 p I)!p2m=ò2sin2mxdx=(2m-1)(2m-3)L3×1p0(2m)(2m-2)L4×22=(2m-1(2m)!2, 2) 当n为奇数时,设n=2m+1,有 p I2m+1=ò2sin2m+1xdx=(2m)(2m-2)L4×22m)!0(2m+1)(2m-1)L5×3=(2m+1)!. p 练习：ò2sin720xdx=6×4×7×5×3=1635 p ò2cos60xdx=5×3×16×4×2×p2=5p32 NO. 15 微积分教案 NO. 16 §6.6 广义积分 一、无穷限的广义积分 1定义 设函数f(x)在区间a,+¥)上连续，取b>a，如果极限 limb®+¥òbaf(x)dx存在，则称此极限值为函数f(x)在无穷区间a,+¥)上的广义积+¥分,记作 òaf(x)dx，即 ò+¥+¥af(x)dx=limb®+¥òbaf(x)dx. +¥这时也称广义积分òaf(x)dx收敛.反之，则称广义积分òaf(x)dx发散. 同样，可以定义f(x)在(-¥,b,(-¥,+¥)上的广义积分. 2 同理， 设f(x)在区间(-¥,b上连续,取a<b，如果极限 lima®-¥òbaf(x)dx 存在，则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-¥,b上的广义积分，记作òb-¥f(x)dx，即 òb-¥f(x)dx=lima®-¥òbaf(x)dx.也称广义积分òf(x)dx发散. 0b-¥f(x)dx收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分òb-¥3 设函数f(x)在区间(-¥,+¥)连续，如果广义积分ò-¥f(x)dx和ò+¥0f(x)dx 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分，记作ò+¥-¥f(x)dx，即 ò+¥+¥-¥f(x)dx=ò0-¥f(x)dx+ò+¥0+¥f(x)dx. f(x)dx发散. 这时也称广义积分ò-¥f(x)dx收敛.否则，就称广义积分ò-¥4设函数f(x)在a,+¥)上连续，F(x)是f(x)的原函数，为了方便，分别记 limF(x)a 为 F(x)a，limF(x)a 为 F(x)-¥. a®-¥+¥b+¥bbb®+¥则无穷限的广义积分 ò例1 求ò+¥af(x)dx=F(x)dx+¥a，òb-¥f(x)dx=F(x)-¥. bdx1+x20，ò0-¥1+x2，ò+¥dx1+x2. -¥微积分教案 NO. 17 b 解 ò ò ò+¥dx1+xdx1+xdx1+x200=limb®+¥òbdx1+x020=limarctanx|0=limarctanb=b®+¥b®+¥p2; -¥¥2=arctanx|-¥=arctanx|-¥=+¥p2; -(-p2p2-¥2)=p. 例2 求 ò+¥dxx(lnx)dx2. e 解 ò+¥ex(lnx)+¥-t2=ò+¥d(lnx)(lnx)2e=-1lnxe+¥=1. 例3 求 ò 解 ò00tedt. -t+¥tedt=limbebb®+¥òb0tedt=lim-teb®+¥-t-t-t0+bòb0edt -t =-limb®+¥+lim-eb®+¥0 b =0-(0-1)=1. 例4 讨论广义积分 ò 解 当p¹1时 +¥+¥dxxpadx(a>0) 的收敛性. ò+¥dxxpaéxù=êú1-pëûa1-pìa1-pï,(p>1), =íp-1ï+¥,(p<1).î=lnxa+¥ 又当 p=1时 ò 因此，广义积分 ò+¥+¥dxxa=+¥. 1xpadx当p>1时收敛于a1-pp-1,当p£1时发散. 二、无界函数的广义积分 1瑕点：若x0是函数f(x)的无穷间断点,即limf(x)=¥,则x0是f(x)的瑕x®x0微积分教案 NO. 18 点. 2定义 设函数f(x)在区间(a,b上连续，且a为瑕点.取h>0，如果极限 limòbf(x)dx存在，则称此极限值为无界函数f(x)在a,b上的广义积分或瑕h®0+a+h积分，记作òbf(x)dx，即 òbf(x)dx(x)dx. a=limah®0+òba+hf也称广义积分òbf(x)dx收敛.若上述极限不存在，则称广义积分òbf(x)dxaa发散. 3当b为瑕点或cÎ(a,b)为瑕点时，可类似地定义f(x)在a,b上的瑕积分: òbf(x)dxa=limb-hf(x)dx. h®0+òa òbf(x)cbadx=òaf(x)dx+òcf(x)dx =limc-hf(x)dx+limx)dx. h®0+òad®0+òbf(c+d 当f(x)在a,b内有两个以上瑕点时，也可类似地定义瑕积分。 例5 计算ò1lnxdx0. 解 因为limlnx=-¥，所以点x=0是瑕点. x®0+ ò1lnxdx=limxdx=lim10h®0+ò1hlnh®0+xlnx-xh =lim-1-hlnh+h=-1 h®0+ 例6 计算ò2dxx-1. 0 解 因为 lim1x-1=¥，所以点x=1是瑕点， x®1 分别考察下列两个广义积分: ò1dxx和0-1ò2dxx-1. 1 ò1dx=lim1-h0x-1h®0+ò1-hdx0x-1=lim+lnx-1=lim=¥. h®00h®0+(lnh-ln1) 所以广义积分ò2dxx-1发散. 1微积分教案 例7 讨论广义积分òbdx的敛散性. a(x-a)q 解 显然点x=a是瑕点，当q¹1时， òbdxbdx(x-a)1-qba(x-a)q=limh®0+òa+h(x-a)q=lim®0+h1-qa+h ì(b-a)1-q =lim1(1-q-h1-q=ïh®0+1-qb-a)í1-q(q<1), ïî+¥(q>1). 当q=1时， òbdx=a(x-a)qòbdxax-a=lim-a)bh®0+òbdxa+hx-a=limh®0+ln(xa+h =limln(b-a)-lnh=+¥. h®0+ 因此，广义积分òbdx，当q<1时收敛；当q³1时发散. a(x-a)q 同样可得，广义积分òbdxq<1时收敛，当q³1时发散. a(b-x)q，当三、G- 函数