结构力学讲义.doc

第一章 绪论§1.1 结构和结构的分类一、结构(structure)由建筑材料筑成，能承受、传递荷载而起骨架作用的构筑物称为工程结构。如：梁柱结构、桥梁、涵洞、水坝、挡土墙等等。二、结构的分类：按几何形状结构可分为：1、 杆系结构(structure of bar system) ：构件的横截面尺寸<<长度尺寸； 2、板壳结构(plate and shell structure) ：构件的厚度<<表面尺寸。3、实体结构(massive structure) ：结构的长、宽、厚三个尺寸相仿。三、杆系结构的分类：按连接方法，杆系结构可分为：§1.2 结构力学的研究对象、任务和方法一、各力学课程的比较：二、结构力学的任务：1、研究荷载等因素在结构中所产生的内力（强度计算）；           2、计算荷载等因素所产生的变形（刚度计算）；                 3、分析结构的稳定性（稳定性计算）；           4、探讨结构的组成规律及合理形式。进行强度、稳定性计算的目的，在于保证结构满足安全和经济的要求。计算刚度的目的，在于保证结构不至于发生过大的变形，以至于影响正常使用。研究组成规律目的，在于保证结构各部分，不至于发生相对的刚体运动，而能承受荷载维持平衡。探讨结构合理的形式，是为了有效地利用材料，使其性能得到充分发挥。三、研究方法：在小变形、材料满足虎克定律的假设下综合考虑：1、静力平衡；2、几何连续；3、物理关系三方面的条件，建立各种计算方法。§1.3 结构的计算简图(computing model of structure )一、选取结构的计算简图必要性、重要性：将实际结构作适当地简化，忽略次要因素，显示其基本的特点。这种代替实际结构的简化图形，称为结构的计算简图。 合理地选取结构的计算简图是结构计算中的一项极其重要而又必须首先解决的问题。二、选取结构的计算简图的原则：1、能反映结构的实际受力特点，使计算结果接近实际情况。         2、忽略次要因素，便于分析计算。三、影响计算简图选取的主要因素：1、结构的重要性 ：重要结构精；次要结构粗；2、设计阶段：初步设计粗；技术设计精；3、计算问题的性质：静力计算精；动力计算粗； 4、计算工具：先进精；简陋粗四、结构简化的几个主要方面：1、 结构体系的简化： 一般结构实际上都是空间结构，各部相连成为一空间整体，以承受各方向可能出现的荷载。在多数情况下，常忽略一些次要的空间约束，而将实际结构分解为平面结构。2、杆件的简化杆件用其轴线表示，杆件之间的连接区用结点表示，杆长用结点间距表示，荷载作用于轴线上。3、杆件间的连接区通常简化成为三种理想情况：1） 铰结点：约束各杆端不能相对移动，但可相对转动；可以传递力，不能传递力矩。 2）刚结点：连接各杆端既不能相对移动，又不能相对转动；既可以传递力，又可传递力矩。3）组合结点：是一些杆端为刚结，另一些杆端为铰结。4、支座的简化1）滚轴支座：约束杆端不能竖向移动，但可水平移动和转动。只有竖向反力。2）定向支座：允许杆端沿一定方向自由移动，而沿其它方向不能移动，也不能转动。3）固定支座(fixed support) ：约束杆端不能移动也不能转动，有三个反力分量。4）铰支座(hinge support) ：约束杆端不能移动，但可以转动。有两个互相垂直的反力，或合成为一个合力。5、材料的性质的简化：理想弹性材料。6、荷载的简化体力和面力均简化为作用在轴线上的分布荷载和集中荷载。 第二章 几何组成分析§2.1体系的分类 一、 几何构造分析(geometric construction analysis)的目的1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受并传递荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。在忽略变形的前提下，体系可分为两类：1、几何不变体系(geometrically unchangeable system) ：在任何外力作用下，其形状和位置都不会改变。  2、几何可变体系(geometrically unchangeable system)：在外力作用下，其形状或位置会改变。几何可变体系又可分为两种：几何常变体系：受力后可发生有限位移。几何瞬变体系：受力后可发生微量位移 二、 建筑结构只能是几何不变体系 几何常变体系受力后会发生刚体运动，瞬变体系能产生很大的内力（或不确定），故几何瞬变体系不能作为建筑结构使用。只有几何不变体系才能作为建筑结构使用。§2.2 约束约束(restraint) 在体系内部加入的减少自由度的装置。1、 链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。2、 铰： 联结两个刚片的铰。单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。3、 铰（复铰）：联结三个或三个以上刚片的铰。联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束。4、多余约束(redundant restraint) ：不减少体系自由度的约束称为多余约束。§2.3 自由度一、 自由度(degree of freedom)所谓体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐标的数目。1、平面内一点2个自由度；2、平面内一刚片3个自由度。二、 体系的计算自由度 一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况，算出各部件自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度(computational degree of freedom) W。即：    W=（各部件自由度总数）（全部约束总数）如刚片数m，单刚接数g，单铰数n，支承链杆数r，则：W=3m （3g+2n+r）注意： 1、复连接要换算成单连接。  2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加 3a 个。     3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相三于个支承链杆。     4、对于铰接链杆体系也可将结点视为部件，链杆视为约束，则： W=2jbr      式中：j为结点数；b为链杆数；r支承链杆数。例1 求右图体系的计算自由度m=1，链杆 b4，铰结 h0，刚结 g3W=3×1-(3 ×3+2 ×0+4 ×1)=3-13=-10例2 求右图体系的计算自由度解：刚片m7，D、E为复杂铰，因此简单铰 h9， 支杆数 b3， 刚结 =0， 故：W=3´7-2 ´9-3 ´1=0 。注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。     即： W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。  W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 , 但不能判定体系是否几何不变。     W<0 体系有多余约束，但不能判定体系是否几何不变。 由此可见:W0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而 不是充分条件。 2、实际自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系：     S=（各部件自由度总数）（非多余约束数） =（各部件自由度总数）（全部约束数多余约束数）           =（各部件自由度总数）（全部约束数）+（多余约束数）        S=W-n由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是 体系的实际自由度§2.4无多余约束几何不变体系的组成规则 三角形的三个边给定，三角形的形状唯一确定。故铰结三角形是一个几何形状不便的体系。将三角形中的链杆视为刚片，可得到由刚片组成几何不变体系的组成规则。规则一、 三刚片以不在一条直线上的三铰相联，组成无多余约束的几何不变体系。规则二、 两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆相联组成无多余约束的几何不变体系。规则三、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 规则四、一点与一刚片用两根不共线的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。如果规则中的要求得不到满足，将组成几何常变体系或几何瞬变体系。§2.5几何组成分析举例几种常见的分析途径  ，利用上述的基本规则就可以对体系进行几何部变形的分析。要理解规则，灵活应用。例3：分析右图所示体系的几何构造解：(i) 刚片I与II由铰C联结(ii)刚片I与基础III由链杆1、2联结，相当有一个 瞬铰在A点。III(iii)刚片II与基础III由链杆 3、4联结，相当有一个瞬铰在B点。如果： A、B、C三点不在同一直线上，则：体系是几何不变的；若： A、B、C三点在同一直线上，则：体系是几何瞬变的； 变化后，三点不共线， 故为几何不变体。需要注意的几个问题：（1）去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。（2）如上部体系于基础用满足要求三个约束相联可去掉基础，只分析上部。（3）当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片之间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。（4）由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。（5）由基础开始逐件组装。（6）刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。§2.6体系的几何组成与静力特性的关系1、 静定结构：在几何组成上是几何不变、无多余约束的体系，其全部支反力和内力均可由静力平衡条件唯一确定。2、 超静定结构：在几何组成上是几何不变、有多余约束的体系，其全部支反力和内力均不可由静力平衡条件唯一确定，还须补充其他条件。第三章 静定结构的受力分析§3.1梁的内力计算回顾一、截面法1、 平面杆件的截面内力分量及正负规定：轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在受拉侧。2、 截面内力计算的基本方法：截面法：截开、代替、平衡。内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。3、弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。二、内力图的形状特征内力图与荷载的对应关系内力图与支承、连接之间的对应关系1、 在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确定（如图1-(a)C左截面和D截面）。2、 在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆端弯矩还要满力矩平衡条件M=0。尤其是两杆相交刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点B）。3、定向支座、定向连接处Q=0，Q=0段M图平行轴线（如图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。三、用叠加法绘制内力图弯矩图叠加法是首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。一、简支梁弯矩图叠加法二、直杆段弯矩图叠加法弯矩图叠加的注意事项：1、弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合；2、要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图3、利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图；4、利用叠加法可以少求控制截面的弯矩；5、对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩叠加法均适用（如下图）。 §3.2  静定多跨梁多跨静定梁的几何组成特点从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及附属部分组成,将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡其上外力的称为附属部分,附属部分是支承在基本部分的。图示多跨静定梁中ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。其层次图如图所示。多跨静定梁的受力特点：由构造层次图可得到多跨静定梁的受力特点为：力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。多跨静定梁的计算特点：多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 例3.1 计算图示多跨静定梁，并作内力图。解：按层叠图依次取各单跨梁计算。MA=0 FCy×4+(105×2×2/2)×6+20=0FCy=12.5kN ()MC=FAy×420+(5×2×2/210)×2=0FAy=7.5 kN ()Fx= 0 FAx+5×2×2/2=0 FAx=5kN ()画弯矩、剪力图如下： M图（kN·m） 剪力图（kN）说明：（）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。 杆的约束力有个，如简支梁的计算。 杆上没有直接作用的外荷载（注意铰上作用的集中荷载FP可放在铰的任意侧），但在处有杆部分传来的已知约束力FPy。该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力。 杆是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在处由以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载FP 和m。该杆仍是伸臂梁的计算。（） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作内力图。注意段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点。（）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力。例3.2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别计算的条件，并作梁的FQ、M图。解：（）画层叠图 （）计算各单跨梁的约束力按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算。（）作内力图 M图（kN·m） N图（kN）说明：本例中杆是不直接与大地相连的杆件，称这类杆为有悬跨多跨静定梁。当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆不能视为附属部分，杆部分也不能作为基本部分。§3.3  静定平面刚架一、 刚架的组成刚架和桁架都是直杆组成的结构，二者的区别是：桁架中的结点全部都是铰结点，刚架中的结点全部或部分为刚结点。二、 刚架的特点刚架的内部空间大，便于使用。刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。三、 刚架支反力的计算1、悬臂刚架、简支刚架对于悬臂刚架和简支刚架，只有三个支座反力，可由刚架的三个整体平衡方程直接求出全部支座反力。2、三铰刚架的反力计算：一般方法    整体对左底铰建立矩平衡方程，右半边对中间铰建立矩平衡方程，这两个方程求出右底铰的支座反力；    再由整体的两个投影平衡方程求出左支座的两个支座反力。    校核。3、主从刚架求反力：其支座反力计算与多跨静定梁相同。先进行几何构成分析，将刚架分为基本部分和附属部分，然后求出附属部分的约束力，并将此约束力反向施加在支承它的基本部分上，再计算基本部分的支座反力。这样可避免求解联立方程的麻烦四、刚架内力计算和内力图绘制1、计算步骤：（1）求支座反力。简单刚架可由三个整体平衡方程求出支座反力，三铰刚架及主从刚架等，一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。 （2）求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成受力简单的区段。运用截面法或直接由截面一边的外力求出控制截面的内力值 。（3）根据每区段内的荷载情况，利用“零平斜弯”及叠加法作出弯矩图。作刚架Q、N图有两种方法，一是通过求控制截面的内力作出；另一种方法是首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆），计算内力较麻烦事，采用第二种方法。 （4）结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。 （5）注意结点的平衡条件。 2、 刚架弯矩图绘制静定结构弯矩图绘制是结构力学中最重要的基本内容，要求熟练掌握。根据结构特点和荷载特点，利用弯矩图与荷载、支承、联结之间的对应关系，可以不求或少求支座反力（只需求出与杆轴线垂直的反力），迅速绘制出弯矩图。（1）悬臂刚架绘制弯矩图，可以不求反力，由自由端开始作内力图；简支型刚架弯矩图，往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起；三铰刚架弯矩图，往往只须求一水平反力,然后由支座作起。 （2）主从结构绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。以铰支座、铰结点、自由端作为切入点，先作附属部分，后作基本部分。 （3）对称性结构作内力图要注意利用对称性：对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布，弯矩图和轴力图对称，剪力图反对称；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布，弯矩图和轴力图反对称，剪力图对称。例3-3 计算图示静定刚架的内力，并作内力图。解：（）求支座反力 由整体平衡：MA=0 FDy×440×20×4×20FDy60kN ()MO=0 FAy×440×220×4×20FAy-20kN ()Fx=0FAx20×40 FAx80kN ()由 y= 0校核，满足。（）计算杆端力取AB杆B截面以下部分，计算该杆端杆端力：Fx=0 FQBA+20×480=0 FQBA=0 Fy=0 FNBA-20=0 FNBA=20 kN MB=0 MBA+20×4×2-80×4=0 MBA=160 kNm (右侧受拉)取BD杆B截面以右部分，计算该杆B端杆端力：Fx=0 FNBD=0 Fy=0 FQBD40+60=0 FQBD=20kN MB=0 MBD+40×260×4=0 MBD = 160 kNm (下侧受拉)由结点B校核Fx=0Fy=0 MB=0满足。 M图（kN·m） V图（kN） N图（kN）说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的。杆端力，即杆端内力。刚架的内力正负号规定同梁。为了区分汇交于同一结点的不同杆端的杆端力，用内力符号加两个下标（杆件两端结点编号）表示杆端力。如用MBA表示刚架中AB杆在B端的弯矩。例3.4计算图示刚架，并作其弯矩图。解：（）计算部分的约束力 ME0 FCy=10×4×2/4=20 kN () Fx=0 FEx=10×4=40kN () Fy=0 FEy=FCy=20 kN () M图（kN·m）(）计算部分的约束力 根据作用和反作用定理，由上面得出的铰处的约束力要反向作用到部分上按实际方法示出。MA0 FBy=(20×4-40×4-30×6)/4=-65kN () MB0 FAy=(40×4 + 30×6)/4=85kN () Fx=0 FAx=70 kN ()由Fy = 0校核，满足。(3) 作弯矩图。三、  弯矩图对误判别利用前述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。鉴于静定平面刚架M图的重要性，而初学者又常易搞错，故掌握M图正误判别是很有益的。下面结合例子说明画M图时容易出现的错误。1、M图与荷载情况不符。如图a所示刚架上DE段，有向左的均布荷载，该段弯矩图应向左凸；C点有向下的集中力作用，弯矩图应向下尖；AB段上A处只产生竖向反力，所以AB段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图b所示。又如图c所示刚架上C截面上有集中力偶作用，弯矩图应发生突变 ，突变前后两条线平行。因为XB=0，YB通过C截面。所以由C截面以右可得MC右=0。正确的弯矩图如图d所示2、M图与结点性质、约束情况不符。如图e所示刚架上，铰结点C、铰支座A和B处无集中力偶作用，该处截面弯矩等于零。正确的弯矩图如图f所示。3、作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。如图g所示刚架，若取结点C为分离体，将发现它不满足结点的力矩平衡条件。另外AC段上A处只产生竖向反力，所以AC段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图2-4h所示。§3.5  静定平面桁架一、 桁架的特点桁架是由梁演变而来的：将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空，就得到图所示的梁。桁架组成及特点：桁架是工程中应用较广泛的一种结构。除了在桥和塔架结构使用桁架外，桁架也使用在屋架结构中。图（a）是南京长江大桥的主体桁架结构，图（c）为一钢筋混凝土屋架。实际工程中的桁架常引入以下几点假定。 1. 桁架的结点都是光滑的铰结点。 2. 各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 3. 荷载和支座反力都作用在结点上。满足以上假定的桁架称为理想桁架。根据以上假定，理想桁架的各杆为二力杆，只承受轴力。截面上的应力均匀分布，可以充分发挥材料的性能，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种结构形式。 桁架的分类:按几何构造特点，桁架可分为三类简单桁架  由基础或一个基本铰结三角形开始，而组成的桁架。 联合桁架    由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。 复杂桁架    不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。二、 桁架计算结点法结点法： 取单个结点为分离体，分离体受的力构成一个平面汇交力系，可建立两个独立的平衡方程。对于静定桁架，只要列出全部独立的平衡方程，然后联立求解，便可求出全部的轴力和反力。但是为了避免解联立方程，对于简单桁架用结点法求解时，按照撤除二元体的次序截取结点，可求出全部内力，而不需求解联立方程。特殊结点的力学性质: 由结点的平衡条件得到以上结果仅适用于桁架结点（即结点上各根杆均为桁架杆）。【例题 】求图所示桁架的各杆轴力。解: 因为A，B结点为T型结点，得到AF，BF是零杆， 进一步得到FC，FD是零杆， DE，DB是零杆，最后由结点C的平衡条件得到NCA=P， NCE=1.414P 。对称性利用：对称结构在对称荷载作用下，对称轴上的K型结点无外力作用时，两斜杆是零杆。对称结构在反对称荷载作用下，与对称轴垂直贯穿的杆轴力等于零；与对称轴重合的杆轴力等于零。 应用以上结论，不难判定出图示各结构中的零杆如图中虚线所示。 例3.5 用结点法求图示桁架内力。解：（1）求支座反力 (2）结点法求内力结点：由Fx=0Fy=0得： FN12= -20kNFN16=0（图中未示出坐标的，默认水平方向为轴。以下均遵守此约定）结点： 由于杆12的轴力已求出，取该结点可求得另两个杆力。在受力图中，已知力（结点上的荷载，已求出的杆轴力）一般按实际方向画出，并注意同一杆轴力对杆两端结点的作用与反作用关系。由Fy= 0得：FN26×sin+1020=0已知sin=1/5， cos=2 /5 代入上式,得：FN26 = 105 kN 由Fx= 0得：FN23FN26×cos= FN23=20kN结点：Fy F35y10 kNFN35 = ( F35y/l35y)×l35 =105 kN F35x = ( F35y/l35y)×l35x =20 kNFx= 0 FN34 = 0 结点：Fy=FN45+2010=0 F26y = 10 kN 由结点校核，满足。注明：（1）本例是一个简单桁架。计算中，按照拆二元体（由最外层开始）的顺序依次截取结点为隔离体，则每个结点只有两个待求轴力杆件。所以，简单桁架的内力可全部用结点法计算。（2）当有斜杆（与坐标轴不平行）时，斜杆长度和它的两个投影长度lx、ly组成的直角三角形与斜杆轴力FN和它的两个投影FN、FN组成的三角形是相似三角形。因此有两三角形对应边成比例关系，可叫作力和杆长比例关系。三、桁架计算截面法截面法基本思想：取桁架中的一部分（包含两个或两个以上的结点）为分离体,其受力图为一平面任意力系,可建立三个独立的平衡方程。为了避免求解联立方程组，所选截面切断的未知轴力杆数一般不多余三根。并注意：对两未知力交点取矩或沿与两个平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。截面法中的特殊情况：所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆1外，其余各杆均交于一点O，则对O点列矩方程可求出杆1轴力。所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆1外，其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆1轴力。 结点法与截面法的联合应用:在桁架计算中，有时联合应用结点法和截面法更为方便。例3.6 求图示桁架中杆a、b的轴力。解：（）求支座反力（）计算杆件轴力结点： Fx=0 Fcx= Fax 则： FNc= FNa Fcy= Fay先由结点的平衡得出杆、轴力的相互关系。截面左：Fy=0 2Fay+FP/3=0 Fay= FP /6 FNa=(FP/6)×5/3 = 5FP/18 MB=0 FNb×6+(FP/3)×8=0 FNb= 4FP/9四、梁式桁架受力特点    弦杆轴力: N=±M0/r,上弦压,上弦拉。1、平行弦桁架：r=h=常数，弦杆内力两端小，中间大；腹杆内力：    Y=±Q0，两端大，中间小。斜杆拉，竖杆压。2、三角形桁架：r自跨中向两端按直线规律变化比M0减少的快，弦杆内力两端大，中间小；腹杆内力两端小中间大。斜杆拉，竖杆压。3、抛物线形桁架： r、M0都按抛物线规律变化，各上弦杆内力的水平分力相等等于各下弦杆内力；腹杆不受力。几类简支桁架的共同特点是：上弦受压，下弦受拉，竖杆、斜杆内力符号相反。斜杆向内斜受拉，向外斜受压。§3.7  组合结构计算一、组合结构的组成：组合结构由链杆和梁式杆组成。常用于吊车梁、桥梁的承重结构、房屋中的屋架。 二、计算组合结构时应注意：1. 注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； 2. 前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用； 3. 一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；4、取分离体时，尽量不截断梁式杆。例3.7计算图示静定组合结构，并作内力图。解: (1) 求支座反力 (2) 求桁架杆内力截面左： MC=0 FNDE×2+10×4×240×4=0 FNDE= 40 kNFy=0 FCy+10×440=0 FCy=0 Fx=0 FCx+FNDE=0 FCx= 40 kN结点：Fx=0 FADx=40kNFNAD=(40/2)×2×2=402kNFADy=(40/2)×2 =40 kNFy=0 FNDG+FADy=0 FNDG= 40kN求梁式杆内力:桁架杆的轴力已求出，将其反作用到梁式杆上，直接作梁式杆的内力图。 M图（kN·m） V 图（kN）N 图（kN）§3.8 三铰拱一、  拱的特点三铰拱的组成几个部分名称：三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。 拱的各部名称如右图：拱的特点：拱的基本特点是：在竖向荷载作用下会产生水平推力。水平推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。优点：水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布较均匀。节省材料，减轻自重，能跨越大跨度。宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等。有较大的可利用空间。缺点：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量。拱的常见类型：带拉杆的拱：在屋架中，为消除水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆，由拉杆来承担水平推力，如下图。铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高度，可将桥面吊在拱上。如下图。二、三铰拱的反力和内力计算当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计算和对比分析拱的受力性质。1、反力计算公式：由三个整体平衡方程和半边对中间铰取矩平衡可推出三铰拱的反力计算公式为：注意：1. 该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。2. 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，而与拱轴线的形状无关。 3. 水平推力与矢高成反比2、内力计算公式：由截面法可推出三铰拱的内力计算公式为：                    注意：1. 该组公式仅用于两底铰在同一水平线上,且承受竖向荷载； 2. 在拱的左半跨取正右半跨取负； 3. 仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4. M、Q、N图均不再为直线。 5. 集中力作用处Q图将发生突变。 集中力偶作用处M图将发生突变。三、 三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线概念：合理拱轴线定义：在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。合理拱轴线方程：由 M（x）=M°(x)Hy(x)=0,  可得合理拱轴线方程为合理拱轴线特点：在荷载、跨度、矢高给定时，H是一个常数.合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例 。在荷载、跨度给定时，合理拱轴线随 f 的不同而有多条,不是唯一的。1、几种常用的合理拱轴线：1、三铰拱在满跨均布荷载作用下的合理拱轴线三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理拱轴线为一抛物线。2、静水压力作用下的合理拱轴线静水压力作用下的合理拱轴线是圆弧曲线3、填土重量作用下的合理拱轴线填土重量作用下的合理拱轴线是悬链线。§3.9  静定结构总论一  静定结构的受力分析方法对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目 =方程中所含的未知力的数目。因此，静定结构的内力完全由平衡条件确定。为了避免解联立方程组应按一定的顺序截取单元（分离体），尽量使一个方程中只含一个未知量。1、 计算单元的形式及其未知力：1 结点：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。2 杆件：多跨静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。3 杆件体系：桁架的截面法取杆件体系为单元。单元上的未知力的数目是由所截断的约束的性质决定的。 截断链杆只有未知轴力；在平面结构中，截断梁式杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；在铰处截断，有水平和竖向未知力。2、单元平衡方程的数目：单元平衡方程的数目=单元的自由度数，不一定等于单元上的未知力的