全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案.doc
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分收敛，则（ ）【答案】（C）【解析】在（时收敛），可知，而此时不影响同理，（时收敛），而此时不影响（2）已知函数，则的一个原函数是（ ）【答案】（D）【解析】由已知可得，取，故选D（3）若是微分方程的两个解，则（ ）【答案】（A）【解析】是一阶齐次微分方程的解，代入得，所以，根据解的性质得，是的解。所以有.（4）已知函数，则（ ）（A）是的第一类间断点 （B）是的第二类间断点（C）在处连续但不可导 （D）在处可导【答案】（D）【解析】由于，,故选D。（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）（A）与相似 （B）与相似 （C）与相似 （D）与相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由与相似可知，存在可逆矩阵使得，则此外，在（C）中，对于，若，则，而未必等于，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型，则在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面【答案】（B）【解析】对于二次型， 其矩阵为，接下来由， 可得其特征值为（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.故二次型的规范形为，即，对应的曲面为双叶双曲面。（7）设随机变量，记，则（ ）（A）随着的增加而增加 （B）随着的增加而增加（C）随着的增加而减少 （D）随着的增加而减少【答案】（B）【解析】 所以概率随着的增大而增大。（8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验中结果发生的次数，则与的相关系数为（ ）【解析】 ， 所以二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）【答案】【解析】（10）向量场的旋度【答案】【解析】由旋度公式得，11、设函数可微，有方程确定，则【答案】【解析】两边分别关于求导得，将代入得，（12）设函数，且，则【答案】（13）行列式_.【答案】【解析】（14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为_.【答案】【解析】因为，所以所以置信下限.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域，计算二重积分.【答案】【解析】（16）（本题满分10分）设函数满足方程其中.证明：反常积分收敛；若求的值.【答案】【解析】（1）特征方程为，由可知，特征方程有两个不相同的特征根，且，由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，由于极限存在，故收敛.(2) 由，可知，解得代入可知（17）（本题满分10分）设函数满足且是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值【答案】3【解析】(1) 由可知： 又 可知 因此 因此，积分与路径无关 (2) 可知 有唯一驻点 因此 时 有最小值（18）设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分【答案】【解析】由高斯公式可知，（19）（本题满分10分）已知函数可导，且，设数列满足，证明：（I）级数绝对收敛；（II）存在，且.【证明】显然，收敛因此，绝对收敛；（2）的前项和记为易知，由第一问可知极限存在，因此存在（*）i)由已知，易知不等式两边取极限，可知，即；ii)若，则（*）矛盾；iii)若，则由（*）可知，而，显然矛盾综上，（20）（本题满分11分）设矩阵当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】时，无解；时，有无穷多解，；且时，有唯一解，【解析】（20）（本题满分11分）设矩阵当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】时，无解；时，有无穷多解，；且时，有唯一解，【解析】对的增广阵做初等变换（21）（本题满分11分）已知矩阵（I）求（II）设3阶矩阵满足，记将分别表示为的线性组合。【答案】（1）（2）【解析】（）利用相似对角化。由，可得的特征值为，故.当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为;当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为;当时，由，解出此时的属于特征值的特征向量为.设，由可得，对于，利用初等变换，可求出，故（），由于，故，因此，（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令（I）写出的概率密度；（II）问与是否相互独立？并说明理由；（III）求的分布函数.【答案】（I）（II）与不独立，因为；（III）的分布函数【解析】（1）区域D的面积，因为服从区域D上的均匀分布，所以（2） X与U不独立.因为所以,故X与U不独立。（3）又，所以（23）设总体的概率密度为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，令。（1）求的概率密度（2）确定，使得为的无偏估计【答案】（I）的概率密度（II）【解析】（1）根据题意，独立同分布，的分布函数为 当时，；当时，；当时，所以。（2），根据题意，为的无偏估计， 则，即
