北京大学自主招生数学试题.doc

2008北京大学自主招生数学试题1  求证：边长为1的正五边形对角线长为略解：三角形ABE三角形DAE则：2   已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1   求证ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半略解：如图得证3  已知4  排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支  南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支所有球队总得分为南方球队总得分为北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分北方球队内部比赛总得分解得：因为为整数x=6或x=8当x=6时所有球队总得分为=210南方球队总得分为=189北方球队总得分为=21南方球队内部比赛总得分=105北方球队内部比赛总得分=15北方胜南方得分=21-15=6北方球队最高得分=5+6=11因为11×15=165<189所以南方球队中至少有一支得分超过11分冠军在南方球队中当x=8时所有球队总得分为=300南方球队总得分为=270北方球队总得分为=30南方球队内部比赛总得分=136北方球队内部比赛总得分=28北方胜南方得分=30-28=2北方球队最高得分=7+2=9因为9×17=153<270所以南方球队中至少有一支得分超过9分冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队5 （理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2 求C上未被照到的长度