学优培训学科教师讲义模板4整式的乘法以及平方差和完全平方公式的学习.docx

学优培训学科教师讲义模板4整式的乘法以及平方差和完全平方公式的学习学优教育一对一专业辅导 学 优 培 训 中 心 教 师 教 案 主管教师签字： 签字日期： 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 时 数 ： 课 题 授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 整式的乘法以及平方差和完全平方公式的学习 能够学习和掌握整式整式的乘法运算，并牢记平方差和完全平方公式 迅速准确的进行整式的乘法运算，熟练运用平方差和完全平方公式 教 学 内 容 一、整式的乘法 在学习新知识之前，我们先来回忆下前面讲到的内容 1下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？ 2下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？ 3利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式： (1) 2x2y·3xy2 =(2×3)(x2·x)(y·y2) =6x3y3； (利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法) (2) 4a2x5·(-3a3bx) =4×(-3)(a2·a3)·b·(x5·x) =-12a5bx6 (b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照抄) 由此，我们可以得出单项式的乘法法则： 单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 需要注意的几点 (1)法则实际分为三点：系数相乘有理数的乘法；相同字母相乘同底数幂的乘法；只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式 专业 高效 激情 创新 1 学优教育一对一专业辅导 (2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则 (3)单项式相乘的结果仍是单项式 应用举例 变式练习 例1 计算： (1)(-5a2b3)(-3a)；(2)(2x)3(-5x2y)； (4)(-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3 解：(1)(-5a2b3)(-3a) =(-5)(-3)(a2·a)·b3 =15a3b3； (2) (2x)3(-5x2y) 8x3·(-5x2y) 8×(-5)(x3·x2)·y -40x5y； (4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3 (-3ab)·a4c2·6abc6 (-3)×6a6b2c8 -18a6b2c8 提醒注意：先做乘方，再做单项式相乘，中间过程要详细写出，待熟练后才可省略 课堂练习 1计算： (1) 3x5·5x3；(2)4y·(-2xy3)； 2计算： (1)(3x2y)3·(-4xy2)；(2)(-xy2z3)4·(-x2y)3 3计算： (1)(-6an+2)·3anb； (4)6abn·(-5an+1b2) 例2 光的速度每秒约为3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？ 解：(3×105)×(5×102) =15×107=1.5×108 答：地球与太阳的距离约是1.5×108千米 课堂练习 一种电子计算机每秒可作108次运算，它工作5×102秒可作多少次运算？ 小结 1单项式的乘法法则可分为三点，在解题中要灵活应用 2在运算中要注意运算顺序 先看下面几道题： -m2·m2 (xy)3·(xy)2 2(ab3) 专业 高效 激情 创新 2 学优教育一对一专业辅导 3(ab2c+2bcc) (2a3b)·(6ab6c) (2xy2)·3yx 一、探索练习： 课件展示图画,让学生观察图画用不同的形式表示图画的面积.并做比较. 由此得到单项式与多项式的乘法法则。 第一表示法：x2x2 x 第二表示法：x 故有：x= x2x2 观察式子左右两边的特点，找出单项式与多项式的乘法法则。 跟着用乘法分配律来验证。 1x 814141414单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。 例题讲解： 例2：计算 2ab 221(ab-2ab)·ab 32巩固练习： 1、判断题： (1) 3a3·5a3=15a3 (2)6ab·7ab=42ab ( ) (3)3a4·(2a2-2a3)=6a8-6a12 ( ) (3) x2(2y2xy)=2xy2x3y ( ) 2、计算题： (1) a(a2+2a) (2) y2(y-y2) 专业 高效 激情 创新 3 1612学优教育一对一专业辅导 (3) 2a(-2ab+ab2) (4) 3x(yxyz) (5) 3x2(yxy2x2) (6) 2ab(a2ba4b2c) (7) (a+b2+c3)· (8) (a2)3+(ab)2+3· (9) (-3a2)2+3ab2c·(2ab2) (-xy)(x2y-xy2+ (11) cm，则它的面积为多少？ 专业 高效 激情 创新 4 学优教育一对一专业辅导 提高题： 1计算： 22x3x3x xn 2、已知有理数a、b、c满足 |ab3|+2+|c1|=0， 求·的值。 3、已知：2x·=2xn+14，求x的值。 4、若a3=3a92a6+4a4，求3k2的值。 小 结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。 多项式乘以多项式 课前练习： 1、计算：(-3xy)3=_ (-x3y)2=_ (-2´107)4=_ (-x)×(-x)2=_ -a2×(-a)6=_ -(x3)5=_ (-a2)3×a5=_ (-2a2b)3×(-a5bc)2=_ 2、计算：-2x(2x2-3x-1) (-x+专业 高效 激情 创新 5 321225y-)(-6xy) 312学优教育一对一专业辅导 探索练习： 如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？ 小组讨论 你从计算中发现了什么？ 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 巩固练习： 1、计算下列各题： (x+2)(x+3) (a-4)(a+1) (y-)(y+) (2x+4)(6x-) (m+3n)(m-3n) (x+2)2 (x+2y)2 (-2x+1)2 (ax+b)(cx+d) (x-2)(x2+2x)+(x+2)(x2-2x) (-3x+y)(-3x-y) 提高练习： 1、若(x-5)(x+20)=x2+mx+n 则m=_ ， n=_ 2、若(x+a)(x+b)=x2-kx+ab ，则k的值为 a+b ab ab ba 3、已知(2x-a)(5x+2)=10x2-6x+b 则a=_ b=_ 4、若x2+x-6=(x+2)(x-3)成立，则X为 专业 高效 激情 创新 6 121334学优教育一对一专业辅导 5、计算： (x+2)2+2(x+2)(x-2)-3(x+2)(x-1) 6、某零件如图示，求图中阴影部分的面积S 7、在x2+px+8与x2-3x+q的积中不含x3与x项，求P、q的值 小结：本节课学习了多项式乘法的运算，要特别注意多项式乘法的运算 中不要“漏项”、和“符号”的正确处理。 二、平方差公式 课前训练： 1、(x+2y) 2、(2n+5)(n-3) 3、(m+4n)(m-4n) 2探索练习： 1、计算下列各式： (x+2)(x-2) (1+3a)(1-3a) (x+5y)(x-5y) 2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 3、猜一猜：(a+b)(a-b)= 巩固练习： 1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 (a+b)(a-c) (x+y)(-y+x) (ab-3x)(-3x-ab) (-m-n)(m+n) 2、判断： (2a+b)(2b-a)=4a2-b2 çx+1÷çx-1÷=æ1è2öæ1øè2öø12x-1 2专业 高效 激情 创新 7 学优教育一对一专业辅导 (3x-y)(-3x+y)=9x2-y2 (-2x-y)(-2x+y)=4x2-y2 (a+2)(a-3)=a2-6 (x+3)(y-3)=xy-9 3、计算下列各式： (4a-7b)(4a+7b) (-2m-n)(2m-n) ça+b÷ça-b÷ -(5+2x)(5-2x) 2+3a23a2-2 çx-2÷çx+2÷+(-3+x)(-x-3) 4、填空： æ1è31öæ12øè31ö2ø()()æ1è2öæ1øè2öø(2x+3y)(2x-3y)= (4a-1)()=16a2-1 (1ö1)æab-3ç÷=abè7ø4922-9 2x+提高练习： )(-3y=4x2-9y2 )1、求(x+y)(x-y)x2+y2的值，其中x=5,y=2 2、计算： (a-b+c)(a-b-c) x4-2x2+12x2-1-(x-2)(x+2)x2+4 3、若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。 小 结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。 复习提问 1(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积 (2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积 2(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式； (2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异 沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道 HDBCGDFEa-b， 这样裁开后才能重新拼成一个矩形希望推出公式： )()()()专业 高效 激情 创新 8 学优教育一对一专业辅导 说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点(1)公式具体，易于理解；(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；(3)形式简洁但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解 依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子： 经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差)故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活 3判断正误： (1)(4x+3b)(4x-3b)4x2-3b2； (×) (2)(4x+3b)(4x-3b)16x2-9； (×) (3)(4x+3b)(4x-3b)4x2+9b2； (×) (4)(4x+3b)(4x-3b)4x2-9b2； (×) 例1 运用平方差公式计算： (1)102×98； (2)(y+2)(y-2)(y2+4) 解：(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)(y2+4) (100+2)(100-2) (y2-4)(y2+4) 1002-2210000-4 (y2)2-42y4-16 9996； 2运用平方差公式计算： (1)103×97；(2)(x+3)(x-3)(x2+9)；(3)59.8×60.2； 3请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目 例2 填空： (1)a2-4(a+2)( )；(2)25-x2(5-x)( )；(3)m2-n2( )( )； 思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积？ (某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积) 练习 填空： 1x2-25( )( )； 24m2-49(2m-7)( )； 3a4-m4(a2+m2)( )(a2+m2)( )( )； 例3 计算： (1)(a+b-3)(a+b+3)； (2)(m2+n-7)(m2-n-7) 解：(1)(a+b-3)(a+b+3) (2)(m2+n-7)(m2-n-7) (a+b)-3(a+b)+3 (m2-7)+n(m2-7)-n (a+b)2-9a2+2ab+b2-9 (m2-7)2-n2 m4-14m2+49-n2 专业 高效 激情 创新 9 学优教育一对一专业辅导 三、小结 1什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？ 2平方差公式中字母a、b可以是那些形式？ 3怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？ 四、布置作业 1运用平方差公式计算： (1)(a2+b)(a2-b)； (2)(-4m2+5n)(4m2+5n)； (3)(x2-y2)(x2+y2)； (4)(9a2+7b2)(7b2-9a2) 2运用平方差公式计算： (1)69×71； (2)53×47； 三、完全平方公式 计算： 探索练习： 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。 b 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较 你发现了什么？ a a b 观察得到的式子，想一想： 2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？ 2等于什么？小颖写出了如下的算式： 2=a+2。 她是怎么想的？你能继续做下去吗？ 由此归纳出完全平方公式： =a+2ab+b 专业 高效 激情 创新 10 222学优教育一对一专业辅导 2=a22ab+b2 观察完全平方公式的特点，并用自己的言语表达出来。 例： 2 解： 2 =2- 2··3 + 32 =4x 12x +9 巩固练习： 1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 (a+b)(a+c) (x+y)(-y+x) (ab-3x)(-3x+ab) (-m-n)(m+n) 2、计算下列各式： (4a+7b)(4a+7b) (-2m-n)(2m+n) ça+b÷ça-b÷ -(5+2x)(5+2x) 2-3a23a2-2 çx+2÷çx+2÷+(-3-x)(-x-3) 4、填空： æ1è31öæ12øè31ö2ø()()æ1è2öæ1øè2öø(2x+3y)(2x+3y)= (4a-1)()=16a2+8a+1 (1ö1)æçab+3÷=abè7ø49222+_+9 提高练习： 1、求(x+y)(x+y)-(x-y)的值，其中x=5,y=2 2、若(x-y)2=12,(x+y)2=16,求xy的值。 小 结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算。 教学后记：学生基本上能套用平方差公式进行运算，但是也有出现以下错误： 专业 高效 激情 创新 11 学优教育一对一专业辅导 2=a2+b2 =6-a2 对公式的真正理解有待加强。 课前复习： 1、 算下列各题： 1a+b)2 4、(-2t-1)2 21223212 5、(-3ab+c) 6、(x+y) 7、(x-1) 3322 1、(x+y)2 2、(3x-2y)2 3、(2、 通过教科书中一个有趣的分糖果场景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系。 若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？ 1、例：利用完全平方公式计算：1022 1972 先分析，再课件演示解答过程 2、练习：利用完全平方公式计算：982 2032 3、例：计算：(x+3)2-x2 y2-(x+y)2 方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项； 方法二：先利用平方差公式，再合并同类项。 注意：中按完全平方公式展开后，必须加上括号 4、练习：计算：(a+3)(a-3)-(a-1)(a+4) (xy+1)2-(xy-1)2 (2a+3)2-3(2a-1)(a+4) 5、例：计算：(a+b+3)(a+b-3) (x-y+2)(x+y-2) 练习：(a-b-3)(a-b+3) 6、补例：若x2+4x+k=(x+2)2 ，则k = 若x2+2x+k是完全平方式，则k = 小结：利用完全平方公式可以进行一些简便的计算，并体会公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示多项式。 教后记：简便计算完成得较好，但形如(x-y+2)(x+y-2)的计算，多学同学都容易犯错。 专业 高效 激情 创新 12 学优教育一对一专业辅导 四、整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。 专业 高效 激情 创新 13 学优教育一对一专业辅导 多项式除以多项式 1计算并回答问题： (3)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？ 2计算并回答问题： (3)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？ 3请同学利用2、3、6其间的数量关系，写出仅含以上三个数的等式 说明：希望学生能写出 2×3=6，(2的3倍是6) 3×2=6，(3的2倍是6) 6÷2=3，(6是2的3倍) 6÷3=2(6是3的2倍) 然后向大家指明，以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的，只是表示的角度不同，让学生理解被除式、除式与商式间的关系 1新课引入 对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？在学生思考的基础上，专业 高效 激情 创新 14 学优教育一对一专业辅导 点明本节的主题，并板书标题 2法则的推导 引例：(8x3-12x2+4x)÷4x=(？) 分析： 利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为 4x · ( ？ ) =8x3-12x24x 原乘法运算： 乘式 乘式 积 (现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式) 然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答 解：(8x3-12x2+4x)÷4x =8x3÷4x-12x2÷4x+4x÷4x =2x2-3x+4x 思考题：(8x3-12x24x)÷(-4x)=？ 以上的思想，可以概括为“法则”： 法则的语言表达是 3巩固法则 例1 计算： (l)(28a3-14a2+7a)÷7a； (2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y) 解：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a =28a3÷7a-14a2+7a7a÷7a =4a2-2a+1； (2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y) =36x4y3÷(-6x2y)-24x3y2÷(-6x2y)3x2y2÷(-6x2y) 小结： (l)当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意； (2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的 (3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量要求学生写出表现法则的那一步 本节是学习多项式与单项式的除法，因此对于单项式除以单项式的计算则可以从简 练习 1计算： (1)(6xy+5x)÷x； (2)(15x2y-10xy2)÷5xy； (3)(8a2b-4ab2)÷4ab； (4)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d) 专业 高效 激情 创新 15 学优教育一对一专业辅导 例2 化简(2xy)2-y(y+4x)-8x÷2x 解：(2xy)2-y(y4x)-8x÷2x =(4x2+4xyy2-y2-4xy-8x)÷2x =(4x2-8x)÷2x=2x-4 三、小结 1多项式除以单项式的法则写成下面的形式是否正确？ (a+bc)÷m=a÷m+b÷m+c÷m 答：上面的等式也反映出多项式除以单项式的基本方法(两个要点)： (1)多项式的每一项除以单项式； (2)所得的商相加 所以它也可以是多项式除以单项式法则的数字表示形成 学习了负指数之后，我们可以理解a、b、c是否能被m整除不是关键问题 2多项式除以单项式的商在项数与各项的符号与什么式子有联系？有何联系？ 教后记： 学生在学习过程中，容易将符号搞错即不清楚每个项应该取什么符号，而且会漏项，在这两个方向应该加强训练。学生对于法则的表达能力较差。 专业 高效 激情 创新 16