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孙斌高等数学教案高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素 1)A=a1,a2,a3,LL 2)A=xx的性质P 元素与集合的关系：aÏA aÎA 第- 1 页 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AÌB。 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B 若作AÌB且A¹B则称A是B的真子集。 空集f： fÌA 2、 集合的运算 并集AÈB ： AÈB=x|xÎA或xÎB交集AÇB ：AÇB=x|xÎA且xÎB 差集 AB：AB=x|xÎA且xÏB 全集I 、E 补集AC： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、AÈB=BÈA AÇB=BÇA 结合律、(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC) (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) 分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC) (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC) 对偶律 (AÈB)=AIB (AÇB)=AÈB 笛卡儿积A×B=(x,y)|xÎA且yÎB 3、 区间和邻域 开区间 (a,b)闭区间 a,b半开半闭区间 (a,bcccccca,b) 有限、无限区间邻域：U(a) U(a,d)=xa-dpxpa+d a 邻域的中心 d邻域的半径 去心邻域 U(a,d) 二、映射 o第- 2 页 1. 映射概念 定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f：X®Y 其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即 y=f(x) 注意：1）集合X；集合Y；对应法则f 2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 映射、复合映射 三、函数 1、 函数的概念： 定义：设数集DÌR，则称映射f:D®R为定义在D上的函数 y=f(x)xÎD 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用f、g、j 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例：) 2) x ì1xf03) 符号函数 y=ïí0x=0ïx î-1p0第- 3 页 记为 4) 取整函数 y=x 5) 分段函数 y=í2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。 注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 在x1、x2点比较函数值 f(x1)与f(x2)的大小 3) 函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(-x)关系决定) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立：f(x+l)=f(x) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数f:D®f(D)是单射，则有逆映射f函数 函数与反函数的图像关y=x于对称 复合函数：函数u=g(y)定义域为D1，函数y=f(x)在D上有定义、且f(D)ÌD1。则-1ì2xî1+x0£x£1xf1(y)=x，称此映射f-1为f函数的反u=g(f(x)=gof(x)为复合函数。(注意：构成条件) 4、 函数的运算 和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数： 1) 幂函数：y=x 2)指数函数：y=a 第- 4 页 ax 3) 对数函数 y=loga(x) 4)三角函数 y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x),y=cot(x) 5) 反三角函数 y=arcsin(x)， y=arccox)s (y=arctan(x)y=arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数 ex+e-xex-e-x= shx chx 22shxex-e-xthx=xchxe+e-x注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 sh(x+y)=shx×chy+chx×shysh(x-y)=shx×chy-chx×shych(x+y)=chx×chy+shx×shy ch(x-y)=chx×chy-shx×shyy=arshx反双曲函数：y=archx y=arthx作业： 同步练习册练习一 第- 5 页 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成：a1a2a3a4LLanLL 缩写为un 例 1 数列íì1ýüînþ是这样一个数列xn，其中 x1n=n，n=1,2,3,4,5LLL 也可写为： 111112345LLLL 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1n®¥n=0 1、 极限的e-N定义： "ef0$N"nfNxn-ape则称数列xn的极限为a，记成也可等价表述： 1）"e>0$N"n>Nr(xna)<e 2）"e>0$N"n>NxnÎO(ae) 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 第- 6 页 ln®i¥mxn=a 定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界 定理3：如果limxn=a且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn>0x®¥(xn<0) 定理4、如果数列xn收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。 第三节：函数的极限 一、极限的定义 1、在x0点的极限 1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个r>0使：(x0-r,x0)È(x0,x0+r)ÌD。 2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-以某个实数A为极限 ，则记为 ：limf(x)=A。 x®x0形式定义为： "e>0×$d×"x(0<x-x0<d)f(x)-A<e 注：左、右极限。单侧极限、极限的关系 2、x®¥的极限 设：y=f(x)xÎ(-¥,+¥)如果当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近线x®¥y=A-则称函数在无限远点¥有极限。记为：limf(x)=A 在无穷远点¥的左右极限： 第- 7 页 关系为： f(+¥)=limf(x) f(-¥)=limf(x) x®+¥x®-¥limf(x)=AÛlimf(x)=A=limf(x) x®¥x®+¥x®-¥二、函数极限的性质 1、 极限的唯一性 2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系 第四节：无穷小与无穷大 一、无穷小定义 定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： xn=0 "e>0×$N×"n>N×xn<e 则称它为无穷小量，即limx®¥$注： 1、"e的意义； 2、xn<e可写成xn-0<e；r(0,xn)<e 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数e，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的e还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。 定理1 在自变量的同一变化过程x®x0两个无穷小量的和差也是无穷小量： limxn=0x®¥limyn=0Þlim(xn±yn)=0 x®¥x¬¥ 对于任意常数C，数列c×xn也是无穷小量： 第- 9 页 limxn=0Þlim(c×xn)=0 x®¥x¬¥xn×yn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 limyn=0Þlim(xn×yn)=0 x®¥x®¥xn=0 limx®¥xn也是无穷小量： x®x0limxn=0Ûlimxn=0 x®x0无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算 1、 若函数f和g在点x0有极限，则 x®x0lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x) x®x0x®x02、 函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立 x®x0lim(a×f(x)=a×limf(x) x®x03、若函数f和g在点x0有极限，则 x®x0lim(f(x)×g(x)=limf(x)×limg(x) x®x0x®x0x®x03、 若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)=b¹0，则 limf(x)æf(x)öxa®x0ç÷= lim x®x0çg(x)÷limg(x)bèøx®x0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限 x-3 2limx®3x-9limx®12x-3x2-5x+4第- 10 页 -3x+52limx®¥27x+5x-3x®¥3x-2x-12xlim324x2+23x3+3x2-2x-1limsinxx®¥2x3-x2+5limx®¥x4、 复合函数的极限运算法则 定理6 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成，fg(x)在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)=u0， x®x0u®u0limf(u)=A，且存在d0>0，当xÎu(x0,d0)时，有 0g(x)¹u0，则 x®x0limfg(x)=limf(u)=Au®u0第六节：极限存在准则 两个重要极限 定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xn<yn<zn，并且已知xn和zn收敛， 2）limxnx®¥=a=limzn，则有结论： x®¥limyn=a x®¥ 定理2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 例：证明：lim sinx=1 x®0x第- 11 页 limtanx例： 1-cosxx®0x limx®0x2limarcsinxx®0x证明：lim1x®¥(1+x)x有界。求 lim1x®¥(1-x)x的极限 第七节：无穷小的比较 定义：若a,b为无穷小 limba=0limb=¥且 alimb a=c¹0limbaK=c¹0limba=1k阶、等价ab 1、 若a,b为等价无穷小则b=a+o(a) 2、 若aa1 、bb1且limb1a1存在， b则： lima=limb1a1例： limtan2xx®0sin5x limsinxx®0x3+3x 1lim(1+x2)3-1x®0cosx-1第- 12 页 高阶、低阶、同阶、 第八节：函数的连续性与间断点 一、 函数在一点的连续性 函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0) 、左极限f(x0-0)与右极限f(x0+0)三者相等： f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0) 或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值 。 limf(x)=f(x0) 其形式定义如下： x®x0"e<0$d"x(x-x0<d)f(x)-f(x0)<e 函数在区间连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间a,b连续时装意端点。 注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 若：f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0)中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、 第一类间断点： f(x0+0)¹f(x0-0) 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2 、第二类间断点x0：左极限f(x0-0)与右极限f(x0+0)两者之中至少有一个不存在 第- 13 页 例：见教材 第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 1.limx®x0f(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0)， x®x0a×f(x)+b×g(x)=a×f(x0)+b×g(x0) Þlimx®x02limx®x0f(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0)， x®x0limf(x)*g(x)=f(x0)*g(x0) Þx®x03. x®x0limf(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0)¹0， x®x0f(x)f(x0)lim= Þx®x0g(x)g(x0) 反函数连续定理：如果函数f:y=f(x)则存在它的反函数f的。 注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 -1xÎDf是严格单调增加并且连续的，-1：x=f-1(y)yÎDf并且f也是严格单调增加并且连续y=f-1(x)xÎDf-1 复合函数的连续性定理： 设函数f和g满足复合条件ÂgÌDf，若函数g在点x0连续；g(x0)=u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fog在点x0连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： x®x0limf(g(x)=f(limg(x) x®x0第- 14 页 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。 第十节：闭区间上连续函数的性质 一、 最大、最小值 设函数：y=f(x),xÎD在上有界，现在问在值域 D1=yy=f(x),xÎD 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0ÎD的函数值 y0=f(x0)，则记y0=maxf(x)叫做函数在D上的最大值。 xÎD 类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2ÎDf的函数值f(x)称为函数在上的最小值 。 y2=f(x2)，则记y2=minxÎDf二、有界性 有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点V和h，使得 f(V)£f(x)£f(h),xÎa,b 亦即 f(x) f(V)=minf(x) f(h)=maxxÎa,bxÎa,b 若x0使f(x0)=0，则称x0为函数的零点 第- 15 页 零点定理： 如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)<0则至少有一个零点xÎ(a,b)，使f(x)=0 中值定理： 如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。 作业：见课后各章节练习。 第二章 导数与微分 教学目的与要求 22学时 1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 一、导数概念 0Dy Dx®0Dxf/(x0)=lim =Dlimx®0f(x0+Dx)-f(x0) Dxf(x)-f(x0)=limx-x0x®x0 f/(x)=lim左导数 f(x+Dx)-f(x) DxDx®0第- 16 页 ff(xx)-f(x-/(x)=lim0+D0)f(x)-f(x0) Dx®0-Dx=limx®x0-x-x0右导数 ff(x+/(x)=lim0+Dx)-f(x0)f(x)-f(x0Dx®0+Dx=lim)x®x0+x-x 0 f/(x0)=A«f-/(x0)=f+/(x0)=A 可以证明： 可导连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。 左右导数(注：与左右极限关系) 2、导数的几何意义 曲线y=f(x) 在点(x0,y0)处切线： y-y0=f/(x0)(x-x0) 例1：讨论ì1f(x)=ïíxsinxx¹0在x=0处可导性 ïî0 x=0解： 1xlim®0f(x)=xlim®0xsinx=0=f(0) f(x)在x = 0连续 xlimf(x)-f(0)®0-0=limsin1x 不存在 x®0x例2：已知f/(x0)存在 则 limf(x0+2h)-f(x0)®0h=2f/(x0) h limf(x0-5h)-f(x0)h®0h=-5f/(x0) limf(x0+3h)-f(x0-h)h®0h=limf(x0+3h)-f(x0)h-f(x0-h)-f(x0)h h®0例3：设函数f(x)可微， 第- 17 页 f(x)在x = 0不可导 =4f/(x0) 22f(x+Dx)-f(x)2f(x)f 则lim=Dx®0Dx/(x) 例4： ìx2ï 设 f(x)=íïax+bîx£x0 x>0为使f(x)在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b 解：首先f(x)必须在x0连续 2 limf(x)=limx2=x0x®x0-x®x0-x®x0+limf(x)=limax+b=ax0+b x®x0+ 2ax+b=x0 f-/(x)2f(x)-f(x0)x2-x0 =lim=limx-x0x®x0-x®x0-x-x0 =limx+x0=2x0 x®x0-/f+(x)2f(x)-f(x0)ax+b-x0=lim=lim+x-xx-x0 x®x0x®x0+0=limax-ax0=a+x-xx®x00 f/(x0)存在 a=2x0 从而 b=-x02 /例5：f(x) = x (x-1)(x-2)(x-9) , 则f f/(0)=lim(0)=-9! f(x)-f(0) x®0x-0第- 18 页 =lim(x-1)(x-2)LL(x-9)=-9! x®0例6：设f(x)在x = 0 领域内连续，lim 则 x®0f(x)=2， 1+x-1f/(0)=1 x®0 f(0)=limf(x)=0 f(x)-f(0)f(x) f/(0)=lim =limx®0x-0x®0x =limx®0f(x)1+x-11×=2×=1 x21+x-1例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 f/(0)=b (a , b 0)， 问 f/(1)存在否? 解：f/(1)=limf(1+Dx)-f(1)=limaf(Dx)-af(0)c DxDxDx®0 =lima×f(Dx)-f(0)=af/(0)=ab DxDx®0Dx®0二、导数的求法 1、显函数导数 求一个显函数的导数需解决： 基本初等函数导数(P64); 导数四则运算法则(P65); 复合函数与反函数求导法则(P66)。 定理： u=j(x)在X有导数du，y=f(u)在对应点u有导数dy， dxdu则复合函数y=fj(x)在X处也有导数， dydydu=×=f/(u)×j/(x)。 dxdudx第- 19 页 例1：y=xsin(2x2+1) )求y /解： y/=sin2x2+1+x×4xcos2x2+1 例2：y=ln1+x2 解： y=()/求y 1 ln1+x2 2()12xx y/=×=21+x21+x2/求y 例3：y=arctgx 解： y /=11 ×1+x2xarctg1x 例4：y=a解： /求y 1arctg /xlna×y=a1lnaarctgx æ1ö×ç-2÷=-a22èøx1+xæ1ö1+ç÷èxø1例5：y=ln3(2x+1) 解： y/=3ln2(2x+1)×/求y 2 2x+1/求y 例6：y=解： y/=x+x+x 1é11öù æ1+×1+ç÷úê2xøúë2x+xèû2x+x+xê例7：y=xsinx sinx×lnx/求y 解： y=e 例8：ysinxö y/=xsinxæ+cosx×lnx÷ çèxø=abx+xab+bxa/ 求y 第- 20 页 解： y/=abxlna×blnb+axe2x求y /xbab-1+bxalnb×axa-1 例9：y=lne2x+1解： y=1lne2x-lne2x+1=x-1lne2x+1 2()2() y/12e2x1 =1-×2x=2x2e+11+e 高阶导数、二阶： 2f/(x0+Dx)-f/(x0) dy=limDxdx2x=x0Dx®0/()(x0) fx-f =limx-x0x®x0例10：y=fe2x ()， f/(x)=lnx 求dy dx2x2xdydfede解： =×2xdxdxde() =f/e2x×2e2x =lne2x×2e2x=4xe2x 先讲微分 2、 隐函数导数参数方程导数 如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x) 例10：求下列隐函数的导数 设ysinx-cosx-y解： 方程两边对x求导， y/()()=0 /求y sinx+ycosx+sin(x-y)×1-y/=0 sin(x-y)-sinx() y/=ycosx+sin(x-y) 第- 21 页 设y=y(x)是由方程exy+ln 求y/(0) y=0所确定的隐函数， x+1解： 由原方程知当x=0时，y=1， e 方程两边对x求导。 exy(1y/1y=，将x=0，代入得：1+ey/(0)-1=0 y+xy+-=0ey1+xe/)1æ1öy/(0)=ç1-÷ eèeø(3) y=y(x)是由方程ey+xy=e所确定的隐函数, 试求y/(0),y/(0)。 解: 方程两边对x求导： ey+y+xy=0 方程两边再对x求导： ey/y/ y+eyy()/2+2y/+xy/=0 e由原方程知，当x再将x=0时，y=1，代入得y/(0)=-1 e=0，y=1，y/(0)=-1代入式， 1 e2求dydx,得 y/(0)=2t (4) 设ìx=e-1 í3îy=t+1d2y dx2dy3t232-2t 解：dydt=2t=tedxdx22edt第- 22 页 ædyödç÷ædyöèdxødç÷2 dyèdxø=dt=3(2te-2t-2t2e-2t)×1 =dxdx2dx22e2tdt =3t(1-t)e-4t 22 (5) 设y=y(x)是由方程组ìx=t-2t-3所确定的函数，求：dy。 íydxîy-esint-1=0解： dx=2t-2 dtdydy-eycost-eysint=0dtdtdyeycost=dt1-eysintdyeycost dy dt=ydxdx2(t-1)(1-esint)dt3、 分段函数的导数 2ì2xa+1-,x£0ïa1) 设af(x)=ísinxï,x>0îx求：f/(x) (a>0,a¹1),解：当x<0,x>0,2f/(x)=lna×axa xcosx-sinxf/(x)=x22x2a+1-1a f/_(0)=limf(x)-f(0)=lima x-0xx®0-x®0-2x(a-1)2 =lima=lna xax®0-第- 23 页 sinx-1f(x)-f(0) f/+(0)=lim =limxxxx®0+x®0+ =limsinx-xx2x®0+=limcosx-1=0 2xx®0+ f/-(0)¹f/+(0) f/ï(0)不存在，故f/(x)=ìíx<0 ïîx>0 高阶导数略， 例 y=x(2x-1)2(x+3)3 y(6)=4´6! ìf(x)ïx 2) 设f(x)在上具有二阶连续导数，且f(0)=0，对函数 ïg(x)=íïaïîx¹0x=0(1) 确定a的值，使g(x)在上连续 (2) 对中确定的a，证明g(x)在上 一阶导数连续 解： a=limg(x)=limx®0f(x)f(x)-f(0)=lim=f/(0) xx®0xx®0=f/(0), y(x)在x=0连续， 也就是在连续 即当a第- 24 页 f(x)-f/(0) g/(0)=limg(x)-g(0)=limx xxx®0x®0f/(x)f/(x)f/(0) =lim =lim=2x®02xx®02 而limg(x)=limx®0/xf/(x)-f(x) x2x®0xf/(x)+f/(x)-f/(x)f/(0)=lim=lim=g/(0) x®0x®02x2g/(x)在x=0连续,即在(-¥,+¥)连续 三、 微分 y=f(x)dy=f(x)Dx=f(x)dx/ 一阶微分形式不变 如y=f(u) /y=f(u) dy=f/(u)du u=j(x) / dy=f(u)j(x)dx=f(u)du 例： (u中间变量) 22y=ex2，dy=2xexdx ， dy=exdx2=2xexdx 可微 2 可导 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 第- 25 页 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式 1罗尔定理 如f(x)满足： 在在fa,b连续. (a,b)可导. (a)=f(b) 则至少存在一点xÎ(a,b) / 使f(x)=0 例 设g(x)=x(x+1)(2x+1)(3x-1)，则 在区间内，方程g/(x)=0 有2个实根；在内g/(x)=0有2个根 例 设f(x)在0，1可导，且f(0)=f(1)=0， (0,1)，使f(h)+hf/(h)=0。 证明存在hÎ证： 设F(x)=xf(x)在a,b可导，F(0)=F(1) (0,1)使F/(h)=0 即f(h)+hf/(h)=0 存在hÎ例 设f(x)在0，1可导，且f(0)=f(1)=0, 证明存在h F解: 设F(h)+F(h)=0 。 /(x)=exf(x)，且F(0)=F(1) 由罗尔定理 第- 26 页 存在h 使F 亦即f/(h)=0 即ehf(h)+ehf/(h)=0， (h)+f/(h)=0 例 习题6 设F(x)=f(x)eg(x) 2、 拉格朗日中值定理 如f(x)满足：在a,b连续；在连续， (a,b) (x)=c 则存在xÎ使f(b)-f(a)=f/(x)(b-a)。 推论： 如果在区间I上f/(x)º0，则f 如果在区间I上f f例 对任意满足/(x)>0(<0)， (x)在单增 x<1的x， 24 都有arctg1-x+1arcsinx=p 1+x设 f(x)=arctg1-x+1arcsinx 1+x2 /f(x)=11-211 ××+=021-x21-x21-x()1+x1+21+x1+x1 =-1×1+x×1+x×2+=0 2221-x21+x21-x2 f(x)=c f(0)=p f(x)=p 44例 设(x>0)，证明x<ln(1+x)<x 求导证明 1+x作业：见各章节课后习题。 二、洛必达法则 第- 27 页 未定形： 如下的函数极限都是未定形。 1、x-sinx0型： 如：lim型： x®0tanx-x02、lnx¥型： 如：limax®+¥x¥x®+¥a>0 a>0 3、0*¥型： 如：limxa×lnx4、¥-¥型：如：lim(x®011-) sinxx5、0 型： 如：00x®+0limxarctanx 1lnx6、¥ 型： 如：lim(ctgx)