环境数学模型课件.ppt

第三章,环境系统数学模型,观点：所谓的高科技就是一种数学技术。,什么是数学模型,建模的三大功能：解释、判断、预见,解释,孟德尔遗传定律,表现性状比：3：1,放射性废物处理,美国原子能委员会提出如下的处理浓缩放射性废物的方案：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入300feet的海里。而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。,判断,？,谷神星的发现,预见,行星的轨道半径,水、金、地、火、？、木、土,1802年，发现了谷神星与3对应，之后，还发现了海王星、冥王星,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20,y=5,答：船速每小时20公里,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling),数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,内 容,第一节 环境数学模型概述 第二节 环境数学模型的建模方法简介 第三节 EXCEL在建立数学模型中的应用,3-1环境数学模型概述,一、定义和分类 1.定义如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满足两个条件：M 中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表 S 中的一个元素(分量)；M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。,满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。,2.模型的形式,数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序,相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型,模型,抽象模型,具体模型,3.数学模型的特点数学模型的最大特点是它的抽象性和对真实世界的理想化和简化，它要比其它模型更抽象、更简化、更反映事物本质 优点：1）用数学模型进行对原型的展示和模拟研究，不需要过多的专用设备和用材料制作模型，仅需要一台计算机，比较容易实现，而且不受外界恶劣条件影响，可以加快模拟研究的进度。2）在实物模型上或原型上进行某些条件的模拟试验研究是不允许的或是不可能做到的，这些特殊或极限情况在数学模型中可以很容易做到，而且在数学模型模拟中不存在放大效应。,3）在环境科学与工程领域，常常需要对大范围区域进行研究，如流域、区域、全球环境，这对物理模型几乎是不可能的，数学模型可以作到。4）利用计算机和多媒体技术，数学模型也可以把模拟结果表现的十分逼真 制约 1）抽象或简化可能或往往不完全正确，在描述系统的某些特征时有可能忽略了关键因素，造成模型失真 2）二是由于系统本身的复杂性，数学模型仅能够对系统进行粗略的近似，模型本身存在着固有误差，如果不切实际地要求提高精度，会使得模型变得十分复杂，计算困难或根本无法获得可靠的解答。,4.数学模型的分类,环境系统数学模型的一般建模方法 环境系统数学模型的基本结构如果我们关心的是环境系统的某一个状态变量Y（例如某污染物浓度或物理参数，如多个关心变量，成为方程组），影响这一状态变量的系统变量可以分成系统其它状态变量（x1，x2，.xn）和外部变量（u1，u2，.um），模型中参数为（1，2，.p）。则数学模型的一般结构可以表达为：,环境系统模型中变量的分类 干扰变量 决策变量 状态变量 中间变量,环境系统,二、数学模型的建立,建模过程,观测数据组,模型结构选择,模型应用,观测数据组,参数估计,检验与验证,1.数据的搜集与初步分析1）数据（或资料，即data）客观实体属性的值，是对客观事物及其状态进行记录而得到的用于鉴别的符号。2）信息（information）信息是反映客观情况的，它表达和反映了人们对某一事物的认识和了解程度；信息与决策是密切相关的，正确的决策必须依靠和控制有足够数量和质量的信息，信息通过决策体现自身的价值；信息是抽象的认识或知识。,3）数据处理（1）明确收集数据的目标（2）有时间的连续性和一定的时间跨度（3）鉴别可靠性4）信息源的概念：与目标有关的信息集合,5）信息源的性质,2、模型的结构1）.白箱模型又称机理模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性建立机理模型最主要的方法是质量平衡法规律相同时可以通用,2）黑箱模型又称经验模型或输入输出模型人们对系统运行规律没有掌握，仅根据观察即一定输入条件下的系统输出。建立模型时不追究系统运行内在机理，仅根据输入输出数据的观测，在数理统计基础上建立起的经验模型的方法叫归纳法。系统或状态下使用是有条件的 经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型的函数描述,本世纪二十年代,意大利生物学家 U.DAncona在研究相互制约的各鱼类种群结构时发现,食肉鱼类的百分比在第一次世界大战期间急剧增加。当时他认为是由于战争期间捕捞量大大降低的结果,但捕捞量的减少也同样有利于被捕食的小鱼。尽管 U.D.Ancona 从生物学的角度多方考虑，始终未能取得满意的结果；然而,这一问题被意大利数学家 Volterra 解决,他建立起著名的“捕食模型”。从所讨论的事物出发来建立模型时，首先使重要特征以分量形式出现在模型中，在本问题中用 x 表示被捕食肉的小鱼的种群数，以 y 表示食肉鱼类(大鱼)的种群数,要求获得其相互制约关系,及人类活动对该关系的影响。Volterra 的捕食模型为：,例：在x4，由归纳法建立的两函数为：y=4.4(1-e-0.86x)和 y=2.733x-0.433x2，试绘制其函数图形，并分析其扩展性。,3）灰箱模型称半机理模型，居于白箱和黑箱之间 建立这种模型时人们对系统规律没有完全掌握，一些因素间数量上的关系只能用一个或多个经验系数来表示，这些经验系数的确定要靠对原型或实物模型上的观察或实验来获得。,3.估计模型的参数在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到，灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观测数据或实验结果的基础上。,4.模型的检验和修正1）模型验证和模型误差 结构形式和参数数值确定之后，数学模型就已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验和验证的模型才能在一定范围内应用。输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算结果；如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调整，并重新进行参数的估计和模型验证。经验证明合格的模型，可以在一定范围内应用。在应用过程中，要根据实际系统返回的信息对模型不断地修正和完善。,2）利用图形验证系统数学模型 模型预测值 实际观察值,3）利用相关系数法验证系统数学模型系统观察值和模型计算值也构成数对，可以用一元线性回归方法建立回归方程。显然，这条回归直线在由观察值和模型计算值构成的坐标纸上越接近45线，线性相关关系越密切，表明模型计算值和系统实际值吻合得越好。也就是说，在回归方程中,y：观测值 为y值的估计值，即该点的模型预测值,4）模型误差的表示方法 必须通过模型计算值和观察值比较来获得 对于用大量观测数据去度量的模型误差，则往往先用系统观察值和对应的模型计算值计算出绝对差值或相对差值，然后绘出累计频率曲线。我们常用累计频率为10%，50%和90%的差值说明模型的精度或误差水平。绝对误差,相对误差,把大量数据的绝对误差或相对误差按从小到大顺序排列，观察数据样本容量为n，某绝对误差或相对误差排列序号是m，该误差值的经验累计频率是：,中值误差计算公式为：用相对误差表示,用绝对误差表示,标准误差平均误差中值误差、标准误差和平均误差之间数量关系 e0.5=0.6745=0.8453,5.竞争模型的对比和选择 对一个系统来说，可能已经采用了不同的方法建立模型，来预测系统的同一个状态变量，这些模型称为竞争模型。对竞争模型的选择首先是分析模型的基本性能。一是模型应该能够对系统的决策变量或干扰变量的变化给出合乎逻辑的响应。二是预测值和观察值之间的差值平均值，随着观察次数的增加而应该趋向零，不与其它人为因素有关。,三、对环境系统数学模型的基本要求和对建模能力的培养 1、对环境模型的基本要求 必须有足够的精度，能够满足应用要求 尽可能简单、实用和易于推广 建立模型的依据要充分模型中要有决策变量 2、建立模型的能力和建模能力培养 首先，专业知识是构建环境系统模型的基础 其次是数学基础和能力 要求建模者有丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要积累一定的建模经验。,四、数学建模的简单实例,问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，问每天分别杀几只？分析：1)这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举，你可以试试。2）假设第 天杀羊 只则所提问题变为在自然数集上求解方程建模：于是，我们有了该问题的数学语言表达数学模型求解：用反证法容易证明本问题的解不存在。,问题2：雨中行走问题：天将下雨，从寝室到教室有一段约一公里的路程。没拿雨具就下了楼，出了宿舍门，可刚走几步，天就下起大雨来。由于时间紧急，决定冒雨行走，问你将被淋得多湿？问题看起来很简单，只要跑得越快被淋湿的程度越低。果真如此吗？,建模目的：给定特定的降雨条件，能否设计一个方案使你被雨淋得最少？为简化问题，假设人所走的路线是直线，将人体视为长方体，风速不变设走速、雨速均为常数。,模型准备与假设,因素 符号 单位淋雨时间 t 秒雨速 r 米/秒雨的角度（由于有风）度走速 v 米/秒人的高度 h 米人的宽度 w 米人的厚度 d 米淋雨量 C 升降雨的强度 I 行走的距离 D 米人可能被淋到的面积 S 米2,通过查资料、调查后，选取一组比较典型的数据：雨速=4米/秒；走速=2米/秒；跑速=6米/秒；降雨量=2厘米/小时。取人高为1.5米、宽为0.5米、厚为0.2米,A.不考虑雨向，即认为雨是垂直而下。若在整个过程中，你的跑速均为6米/秒淋雨时间tD/v(秒)降雨量降雨强度雨速淋雨量降雨量淋到雨的总表面积时间 I u S t(米3)10（D/v）I S/3600（升）其中，D、I、S为常数，v为变量结论，淋雨量与人的跑速成反比，人的跑速越快，淋雨量越少,代入数据，淋雨时间=10006167（秒）=2分47秒人体可能淋到雨的总表面积2.2米2淋雨量 2.041（升）分析：人在雨中只跑了2分47秒，淋了2升的雨，大约相当于4瓶酒的水量，这是不可思议的。表明：用此模型描述在雨中淋雨量是不切实际的原因：认为雨是垂直下落的假设是不正确的，使模型过于简单,B：考虑降雨方向,h,d,w,r,v,雨速为4米/秒，降雨量为2厘米/小时，则 降雨强度反应了雨量的大小I0 没有雨I1 暴雨,由于雨是呈一个角度下来的，在这种情况下受雨面仅为人体的顶部和前部。故淋在人身上的雨量可以分两种情况来计算：考虑人的顶顶部的表面积=wd米2 雨速的竖直分量秒/米=单位时间内的淋雨量，即淋雨率降雨强度雨速面积 米3/秒t时间内的淋雨量 米3,考虑人的前部前部的面积wh米2雨速水平分量和走速的合速度 米/秒在时间vD/t=中的淋雨量 米3总淋雨量头部前部 米3,将已知数据代入D=1000；r=4;d=0.2;w=0.5;I=1/7.2 105 h=1.5;则（1）为我们在适当假设下建立的数学模型,从式（1）可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。模型的解为给定选取怎样的v使得式（1）中C最小。分情形讨论模型的解首先，如果I=0，有C=0其次，根据人的走向是朝着雨还是背着雨，考虑几个特殊情形(1)=0这时雨是直下的（已讨论过）,模型求解,（2）=30雨面向人而下淋雨量是跑速度的减函数，在这种情形仍是v最大时，C最小：V6 C min 1.47（升）（3）=90雨垂直落到人身上 淋雨量仍是速度的减函数 C min 1.13（升）,（4）-90 0雨来自你的背后取=-对于充分大的，这个表达式可能为负值，这是不符合实际的。分析出现矛盾的原因：基本模型是建立在雨是面向人降落的。问题归为重新回到（1）来讨论v与夹角的关系,a.则你后背的淋雨量总淋雨量为这是经过修正后的模型，代入常数得，,如果人以 的速度行走，则只有淋在头上的雨量b.若 vr sin 则雨淋在前胸上的雨量为则，代入常数的总量为,于是，在为负角的情况下，当 即 时，V尽可能大，C才能尽可能小，当 即，才是淋雨量最小。,上述结果似乎与实际有些相符 结论：如果你是逆风行走，则越快越好；如果是顺风行走，则当雨的倾角大于约8时，你应该保持与降雨的水平速度一致的速度；而当雨基本上是垂直而下时（倾角小于约8），还是越快越好。雨中行走问题的建模过程，又一次提醒我们模型假设的重要性和模型的阶段性。,模型解释,问题3：,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？问题的提出按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,座位分配,现有6名学生从丙系转到甲乙系各3名,20个席位的分配,现象1：丙系少了6人，但席位仍是4位，不公平！,为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2：总席位增加一席，丙系反而减少一席（不公平！）,惯例分配：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,建模分析,目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2）相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A的相对不公平值,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,建模,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给 B 单位。,记作,则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1席应分给Q值最大的一方。从 开始，即每方至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,第二节 环境数学建模方法简介,一、系统结构和过程分析方法二、污染物稀释扩散模型三、机理分析建模法四、回归分析建模五、时间序列建模,灰箱模型的建立，一般从对对象系统的调查和研究开始，掌握系统的结构和系统内现象发生的过程，通过分析建立系统的定性模型，又称概念模型，然后研究系统内发生的各类过程数学表达式，把系统变化过程定量化。,黑箱模型，常采用测试分析的方法建立，即将研究的系统视为一个黑箱系统，测量系统的输入和输出数据，并以此为依据运用统计分析方法，在某一类模型中选择一个与数据拟合得比较好的模型。1、模型变量的筛选与确定1）首先建立环境输入输出模型时，根据建模的目的，很容易确定要描述的系统变量，即因变量。2）然后，利用对系统的初步了解，特别是利用专业知识和经验确定影响应变量的因素，即需要考虑模型的自变量。3）搜集历史数据或组织试验观察获得数据，为建模作准备。,注意问题：1）可能会把对因变量影响很小的自变量引入，也有可能漏掉一些重要的自变量和控制变量，2）有一些变量间互相不独立，在利用逐步回归方法建立模型时可以消除变量间相互影响或相互重叠对模型的影响。3）一些重要变量可能在建模观察的系统变化范围内变化很小，一般不考虑作为变量引进模型，因为很难观察，引进后用处也不大。4）模型变量的选择是一个反复研究的过程，历史上对类似问题的研究可以帮助确定需要引入的变量。,2.数学模型结构的选择 通过表达式变换，把曲线函数形式转化为线性函数形式。不少数学手册上还有这些函数的图形和直线化方程，对我们选择输入输出模型结构形式很有帮助。,3.合理安排系统实验或观察用于建立输入输出模型数据的质量决定了模型产品的质量。建模用的原始数据质量和观测方法及观测仪器精度有关，也和试验或观察的安排有关。观察点位的分布应该考虑系统的变化规律，变化剧烈地方宜多布点 对自变量取值进行观察的次数应该选得合理，保证一定的精度，又不过多加重试验负担，这方面主要靠经验。模型中各变量的观察精度要协调，不要盲目增加某些变量的观察精度，而另一些变量却观察的十分粗糙，这时候模型的精度完全由观察粗糙的变量决定了。合理设计建模试验方案，可以采用科学的试验方法,系统内污染物的分布和变化情况,污染源,其他有关物质,环境介质,污染物,污染受体,系统组成,系统内污染物的分布和变化情况,有关的过程,污染物排放,污染物相间迁移,污染物转化或化学生物学反应,环境介质中的稀释,一、系统结构和过程分析方法,例如：河流中溶解氧浓度分布及其变化，影响因素及各因素间发生的过程可以用图表示。这个图就是一个系统概念模型，美国QUAL-II河流水质模型就是对它定量化开发出来的。我们从图中可以知道，河流中溶解氧浓度受大气复氧过程、CBOD耗氧过程，NBOD耗氧过程、底泥耗氧过程、藻类呼吸耗氧和光合作用产氧作用控制。磷一般不直接影响溶解氧，但它对河流中藻类浓度有较大影响，间接影响溶解氧浓度，它来源于人为排放，还通过底泥分解有机物而向水中释放。底泥中有机物厌氧分解，产生溶解性有机物和氨氮进入水系统，底泥和水中有机物之间存在物质交换，颗粒态有机物可能沉入底泥，底泥也可能被冲刷进入河水，在底泥或水中消耗溶解氧。,大气,河流溶解氧,底泥,CBOD,水中磷,藻类叶绿素a,NH3-N,NO2-N,NO3-N,大气复氧过程 CBOD耗氧过程 底泥耗氧过程藻类生物量受许多因素制约,NBOD耗氧过程比CBOD要复杂得多，首先分解成氨氮，进一步分解成亚硝酸态氮，最后才形成硝酸态氮,二、污染物稀释扩散模型的推导和建立 1、污染物在环境介质中的输送和稀释扩散特征 1）推流迁移推流迁移是污染物随介质运动而发生的位置变化，不改变环境介质中污染物的浓度。通过某断面单位面积的污染物通量f f=u C分解到三个坐标轴，则有 fx=ux C fy=uy C fz=uz C式中，u为该处环境介质流速，C为该处污染物浓度。,2）扩散作用污染物在湍流流动的介质中，在浓度梯度作用下存在两种扩散作用：分子扩散作用和湍流扩散作用。a.分子扩散是由分子的随机运动引起的分散现象，扩散过程服从Fick第一扩散定律，即分子扩散通量I与扩散物质的浓度梯度成正比。对三个坐标轴，有：,EM 为分子扩散系数,b.湍流扩散是湍流流场中质点随机运动引起的一种分散现象。当质点的随机运动是稳定的条件下，湍流扩散规律也可以用Fick第一定律描述，但其系数是湍流扩散系数。和分子扩散系数不同，湍流扩散系数往往是各向异性的。,C为一定时间周期内的平均浓度,c.弥散现象可以定义为由空间各点流速（或其他参数）与考察空间的平均值的系统差别所产生的分散现象。弥散也可以用（没有严格的理论证明）Fick 第一定律的形式表示。,弥散现象只有在考察空间平均浓度时才进入模型中来，这时的浓度参数和流速都是空间平均值,但是对空间平均浓度来说，这三种分散作用的大小相差悬殊，河流中分子扩散系数10-5-10-4 m2/s，湍流扩散系数10-2-10-0 m2/s，弥散系数101-10 4 m2/s,2、污染物的衰减和转化性质 非守恒物质进入环境之后，除了稀释、扩散和迁移之外，自己还发生自我分解或在其他化学物质与生物的作用下衰减。由于污染物在环境中的浓度很低，一般都把这种衰减看作是一级反应，产生的误差不会很大。守恒物质在环境输送和迁移过程中认为不发生转化和相间转移。,河流湖泊中的有机物，一般根据它们的持久期长短分辨是否是持久性污染物。）持久期是指物质进入环境至75%在环境中消失所需要的时间,环境介质的推流迁移作用，污染物的分散作用和衰减过程,x,假如进入环境的污染物能够和介质互相融合，具有相同的流体力学性质，无相间转移现象，从而可以把污染物质点看作是流体质点进行分析。按空间维数分类；分为零维、一维、二维、三维水质模型。当把所考察的水体看成是一个完全混合反应器时，即水体中水质组分的浓度是均匀分布的，描述这种情况的水质模型称为零维的水质模型。描述水质组分的迁移变化在一个方向上是重要的，另外两个方向上是均匀分布的，这种水质模型称为一维水质模型。描述水质组分的迁移变化在两个方向上是重要的，在另外的一个方向上是均匀分布的，这种水质模型称为二维水质模型。描述水质组分，迁移变化在三个方向进行的水质模型称为三维水质模型。,1）零维环境质量基本模型（箱模型）的推导,根据质量守衡可写出完全混合反应器的平衡方程,即零维模型,如果单元内没有源和汇项，并且自身衰减可以看作是一级反应，则零维模型可以改写成,2）混合单元模型（系列箱模型）如果被视作完全混合器的环境单元有若干个，首尾相连，则描述这种环境系统的零维模型被称为混合单元系列模型。比如，河流无法看成一个箱子，但可以分割成一系列的河段，每个河段认为是浓度均匀的箱子，近似模拟河流的污染情况。混合单元系列模型直接利用零维模型，对单元1有 对单元2有 对单元i有,3）一维环境质量基本模型的推导,单位时间内，流经端面的物质总量为物质通量与面积的乘积。单位时间内输入量为：单位时间内的输出量为：若体积元污染物按一级反应式衰减，衰减量为：对微小体元利用质量守衡定律，并令x0，得,在均匀流场中，介质的流速和扩散系数可以认为是常数，则上式进一步简化 x 坐标方向的弥散系数 x方向的流速分量 y 坐标方向的弥散系数 y方向的流速分量,4）二维和三维环境数学基本模型 如果考虑微元2个或3个方向的物质平衡关系，我们可以得到相应的均匀流场中的二维和三维环境质量基本模型。二维环境数学基本模型，均匀稳态流场：三维环境数学基本模型，均匀稳态流场，守恒物质,三、机理分析法建模,例：香烟过滤嘴的作用分析建模1）问题的提出和分析 首先分析吸烟过程：有毒物质基本上均匀分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草化为烟雾，一部分进入空气，一部分沿烟草穿行，其中一部分又被未燃烟草和过滤嘴吸附，剩下的进入人体。吸附在烟草上的有毒物在该处烟草被点燃时又进入烟雾中，重复上述过程。假设所有人和所有时刻吸烟动作和方式基本相同，外部环境在吸烟过程中也不变，这样许多参数都可以看作常数。,2）模型假设（模型变量和参数）烟草和过滤嘴长度分别为，毒物M均匀分布在烟草中，线浓度为点燃处烟雾进入空气和顺烟草运行的比例为 未点燃的烟草和过滤嘴对经过的烟雾毒物吸附的百分数为 将1支烟吸完人体吸收毒物总量为Q。烟雾在烟草中穿行的速度是v，烟草燃烧的速度是u，并有 时刻t单位时间内通过烟截面x处的毒物流量为q（x，t）；时刻t截面x处单位长度烟草中的毒物含量w（x，t）。由假设，w（x，0）=W0。,3)问题的数学描述方法建立（微分方程及求解）香烟模型建立示意图,对吸烟者吸入毒物总量Q，有 我们分析毒物流量函数的形式。首先考虑刚点燃瞬间情况。由于 可以认为烟雾穿过一小段香烟时点燃处位置没有发生变化。即 根据假设，有 是烟雾穿过所需要的时间。令其趋向零，有（1）,初始时释放的毒物总量和吸入的毒物量：解微分方程（1）得，对烟草内部有 对过滤嘴部分，根据在结合部该函数连续的推想（初始条件），有,四、线性回归分析建模方法,（一）一元线性回归分析简述一元线性回归分析是一种常用的数理统计方法。它的基本假设是：1.所有自变量取值 都是准确值，不存在误差；2.因变量和自变量之间是相关关系，因变量还存在观察误差，与观察点拟合得最好的直线是各观察点到该直线的Y向距离平方和最小。,（二）一元线性回归分析法参数估值,模型的结构形式确定之后，还需要确定模型中的参数值，称为环境数学模型的参数估值。在实际工作中，模型中的参数值随不同的具体环境而变化，必须通过试验或观测得到数据，然后采用一定的方法进行估计，如扩散系数E，有机物衰减常数Kd，大气复氧系数Ka等。,利用基本质量模型的解析解形式进行参数估值最方便。这时，模型结构和需要估计的参数数量是确定的，我们可以根据模型结构类型和参数多少决定采用估值的方法。如果模型是线性函数或可以转化为线性函数的函数形式，可以采用一元和多元线性回归分析方法进行参数估值。否则就需要用最优化方法进行参数估值，或用网格法等数值计算的方法进行估计。,设所求的回归（直线）方程为表示是用建立的线性回归方程估计的因变量值，上边加短平线表示平均值，不加任何符号的为实测值。式中，为用回归方程估计值和实际值的差，称为残差。各已知观察点到该回归直线的Y向距离的平方和 我们求的就是使J取最小值的回归方程系数m和b，即J对b和J对m的偏导数为零的m和b值。,对上式求导并联立建立方程，方程组求解，可以得到一元线性回归系数的计算公式,有机污染物的好氧生化降解模型,水体中有机物的生化降解呈以及动力学反应废水中有机物在各时刻的耗氧速度与该时刻的生化需氧量成正比,例1：某河流河水在恒温培养箱中定时测定耗氧值，如下表所示,求有机物衰减系数Kd 有机物耗氧分解方程：初始条件：L(t=0)=L0,解析解为 而BOD逐日测定值为 待求参数和浓度的关系是非线性的，我们可以用不同的方法把它转化为线性。由高等数学知识可知，因此，,当Kd值比较小的时候（一般都能够满足此要求），存在以下近似式 故代入，经过整理，有 令 有线性关系式：,例2：某研究获得如表的资料，试作回归分析通过作散点图，可以看出 和 的关系大致为为此选变换,则新的数值为绘制图形如图,（三）二元线性回归分析的计算公式 回归系数计算公式的推导和一元线性回归公式相同，只是准则方程需要对三个回归系数求偏导数并令其为零，建立线性方程组并解得回归系数计算公式。二元回归分析中的准则方程为分别对系数求导，且导数为零 对方程求解,用方差和协方差的表示则二元线性回归的系数为,五、时间序列数据的建模方法,历史的时间序列数据，包含了三种变动因素：长期变动趋势；周期变动趋势；随机波动趋势,我国社会商品零售总额如下表，试建立自回归预测模型,设自回归预测模型为 如果不存在周期性变化，则用最近的数据最可靠，即m=1。如果存在周期性变化，周期是T，取m=T比较合适。也可以用后退不同时间间隔的数据建立自回归模型，比较相关系数，取R大者对应的回归方程为我们求的模型。利用一元线性回归分析方法，求出的自回归方程和相关系数为 后退2年的回归方程，R=0.982，小于上述回归方程值，不采用。,（1）趋势预测建模方法这是一类根据时间序列数据点出的散点图形状建模的方法，用时间t直接作自变量。对于社会现象或生物现象，事物随时间变化规律一般可以用不多几种模型（曲线性状）来描述。主要的模型有：第一：线性直线关系，模型形式直线形状 抛物线形状 S曲线形状,第二：抛物线性关系，模型形式 可以转变为二元线性关系第三：指数曲线性关系，模型形式 或可以转变为直线性式 第四：生长（S形）曲线关系，模型形式 皮尔模型 龚伯兹曲线模型,（2）移动平均法建模如果时间序列中数据的变动不仅有总趋势引起的部分，还有周期性因素引起的部分，则需要消除周期性变动成分，才能够凸现出总体变化趋势。移动平均法是修匀时间序列数据的一种简单方法，包括简单移动平均法、几何移动平均法，和加权移动平均法。,简单移动平均法：把原数列从后边开始算起，N项求和计算平均值代替原来最后一项，然后从最后第二项算起求N-1项平均代替最后第二项，如此进行形成一个新的数据系列。这种方法把数据内的周期变化和无规则变化修匀，变动趋于平滑，使长期趋势更明显。这里如果仅有无规则变动，N取值影响不大，如果有周期变化，取周期值为N往往效果好得多。如果周期未知，需要尝试确定。移动平均计算公式,加权移动平均，和简单移动平均相同，但每一个数列值上都乘1个权系数（0w1），权系数取值根据主观判断，如对新观察值，权值就大一些。（3）考虑周期变化趋势建模 平均数季节指数法我们知道周期T，这里不妨以一年四季为例。我们有多年的历史数据，则可以根据上述数据计算,有了上述数值，和对某一年的预测值，或已知某一年其中前几个月的值，就可以用季节指数估计其它月份或季节的值。这样做有一个前提，就是历史数据中没有总的趋势变动，否则要把数据中总变动趋势扣除。我们常用移动平均趋势剔除法。该方法先用移动平均法求出时间序列的长期趋势，而后在原数列中将长期趋势剔除，再计算季节指数。,六、相关性检验从建立数学模型的过程中，我们可以看到，无论我们如何确定模型的结构，都可以使用最小二乘法进行参数估值来获得数学模型。例如对于任何两个变量 x和 y的一组试验数据，不论 y与 x之间是否确实存在线性相关关系，我们都可以求出一个线性回归方程。在建立了两个变量 y与 x之间的线性回归方程后，还必须判别 y与 x之间是否真有线性相关关系。这种判别 y与 x 是否具有线性相关关系的方法，通常称为相关性检验。这里介绍一种较为简便的相关性检验法,按照以上相关系数计算式求得的相关系数R 是处在-1和 1之间的数。其绝对值的数值越大，表示 y与 x两者的相关关系越好。特别地，如果|R|=1，y与 x两者称为完全相关关系；当相关系数 R=0 时，称y与 x两者不相关。由于 y与 x可以是任何数据集合，如果它们分别代表的是数学模型的计算值和用来检验的一组观测值，相关系数 R 愈大，数学模型愈准确；反之，相关系数愈小，数学模型就愈不准确。,如果用来检验的观测数据有 n 个，先由观测值计算出相关系数R，于是就有如下结论：(1)如果|R|R0.05(n-2)，则认为y与 x两者的相关关系不显著，或者说 y与 x之间不存 在相关关系。(2)如果 R0.05(n-2)R0.01(n-2)，则认为y与 x两者的相关关系高度显著。,相关系数检验表,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,离散化为连续，方便研究,Malthus模型与Logistic模型,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：,解为：,其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：,故,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,图3-5,对（3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3.5,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图3.6。,图3-6,(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,虫口增长、疾病传播、谣言传播、技术革新的推广、销售预测等,饱和系数K不易确定,作业题1（二选一）,当两个种群为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大容量。建立种群的相互竞争模型并进行简单分析自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，试建立一种能独立生存，而离开后则不能独立生存的种群相互依存模型，并进行简单分析（种群甲可单独生存，乙为甲提供食物，有助于甲的增长，但乙没有甲就会灭亡）,作业2：某河流河水在恒温培养箱中定时测定耗氧值，如下表所示,求有机物衰减系数Kd 有机物耗氧分解方程：初始条件：L(t=0)=L0,第三节 EXCEL在数学模型中的应用数学模型的建立过程中，从数据分析、参数估计直至模型的检验，数据计算的工作量十分巨大，没有计算机的帮助要完成这些工作是很难想象的。Microsoft Excel就是完成该项工作的一种简便有效的工具。,污水处理的线性回归分析,