奇偶函数的性质及其应用.docx

奇偶函数的性质及其应用奇偶函数的性质及其应用 一、知识点总结 奇偶函数的性质 1）若函数f是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质： a.定义域关于原点对称，即：若定义域为a,b，则a+b=0; b.对于定义域内任意x 都有f=-f； c.图像关于原点 对称； d.若0d则f=0; e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质： a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为a,b，则a+b=0; b.对于定义域内任意x都有f=f=f； c.图像关于y轴对称； d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 二、奇偶函数性质的应用 热点题型一：利用奇偶性求参数的值 例1 已知f=ax2+bx是定义在a-1,2a的偶函数，那么a+b的值为 . 解：f是定义在a-1,2a的偶函数，b=0 a-1+2a=0， 解得b=0,a= 故a+b=. 点评：对于多项式型的函数f=a1xn+a2xn-1+an，若f为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0. 例2 已知函数f=是定义在r上的奇函数，求a的值. 解法一：f是定义在r上的奇函数 f=0， 即：=0，a=1 解法二：f是定义r在的奇函数 f=-f 即：=- 整理得=0 2a-2=0 解之得a=1 点评：对于奇函数f，若0f定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f=0，若0?埸定义域，再考虑f=-f，利用恒等式求解。 热点题型二：利用奇偶性求函数解析式 例3 已知函数f是定义在r上的奇函数，当x0时，f=x求出函数的解析式。 解：当x0 当x0时，f=x f=-x f是r上的奇函数 f=-f=x f=x，x， 综合得<m2 点评：对于偶函数有f=f=f，可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。 热点题型四：利用奇偶函数图像解题 例5 已知f是定义在r的偶函数且f=0，在区间0，+)递增，求f的解集 . 分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如： 点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像. 热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题 例6 已知定义在r上的奇函数f满足f=-f，且在区间0,2上是增函数，则 a.f<f<f b.f<f<f c.f<f<f d.f<f<f 解：f是r上的奇函数 f=-f f=-f f=f 的图像关于直线x=2对称 又f的图像关于点 对称 f是周期函数且最小正周期t=4=8 f=f，f=f，f=f=f f在 0,2是增函数 f在-2,0 上是增函数 f<f<f 即：f<ff 故选d. 点评：本题综合的函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，在知识的交汇处命题，考察了了学生的综合应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1）若函数f关于直线x=a，x=b对称，则f为周期函数，且最小正周期t=2b-a. 2）若函数f关于点，对称，则f为周期函数，且最小正周期t=2b-a. 3）若函数f关于点，直线x=b对称，则f为周期函数，且最小正周期t=4b-a.