天津理工大学概率论与数理统计第七章习题答案详解.docx

天津理工大学概率论与数理统计第七章习题答案详解第7章 参数估计 -点估计 一、填空题 1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0<P<1，X1,X2LXn是其一个样本，那么矩估= 计量pX . N 其 中 未 知 参 数 0<p<1 , X1,X2L,Xn 是 X的样本， B(1,p)，2、 设 总 体Xn1nX1-Xi则 p的 矩 估 计 为_åXi_， 样本 的 似 然 函 数 为_Õpi(1-p)_。 ni=1i=13、 设 X1,X2,L,Xn是 来 自 总 体 2XN(m,s2)的 样 本， 则 有 关 于 m及 s2的 似 然 函 数L(X1,X2L,Xn;m,s)=_ Õi=1ne2ps1-12s2(Xi-m)2_。 二、计算题 1、设总体X具有分布密度f(x;a)=(a+1)xa,0<x<1，其中a>-1是未知参数，X1,X2,LXn为一个样本，试求参数a的矩估计和极大似然估计. 解：因E(X)=ò10x(+1)xadx=ò(+1)x+1dx=01+1a+21+1x|0= +2+2+1令E(X)=X= +2=2X-1为a的矩估计 1-X因似然函数L(x1,x2,Lxn;a)=(a+1)n(x1x2Lxn)a n¶lnLnlnL=nln(+1)+ålnXi，由=+ålnXi=0得， ¶+1i=1i=1n=-(1+a的极大似量估计量为nålnXi=1n) iìle-lx,x>02、设总体X服从指数分布 f(x)=í ，X1,X2,LXn是来自X的样本，0,其他î求未知参数l的矩估计；求l的极大似然估计. 56 解：由于E(X)=1l ，令1ln=XÞl=-l1=1 ，故l的矩估计为lXX似然函数L(x1,x2,L,xn)=lelnL=nlnl-låxii=1nåxii=1ndlnLnn=-åxi=0Þl=dlli=1故l的极大似然估计仍为n åxi=1ni1。 X223、设总体XN(0,s)，X1,X2,L,Xn为取自X的一组简单随机样本，求s的极大似然估计； 解 (1)似然函数L=nÕi=11e2ps-xi22s2=(2psn2-2)-×eå2si2i=1nx2nxi2nn2于是lnL=-ln2p-lns-å 2222si=1dlnLn1n2=-2+4åxi， ds22s2si=1ÙdlnL1n222=0，得s的极大似然估计：s=åXi. 令ds2ni=14、设总体X服从泊松分布P(l), X1,X2,L,Xn为取自X的一组简单随机样本, 求未知参数l的矩估计；求l的极大似然估计. =X，此为l的矩估计。 解：令E(X)=l=XÞlåxii=1n 似然函数L(x1,x2,L,xn)=le-nliÕx!i=1nlnL=åxilnl-nl-ålnxi!i=1i=1nnxidlnLå=i=1-n=0Þl=dllnåxi=1n故l的极大似然估计仍为X。 in=x57 第七章 参数估计 -点估计的评价标准 一、填空题 1、 设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量5X331111312=X1+X2+3=X1+X2-X3都是总体X2+X3,u,u102341234121=X1+m152 最有效. 均值的无偏估计，则 m2、 设X1,X2,LXn是取自总体N(0,s2)的样本，则可以作为s2的无偏估计量是( A ). 1n2A、åXi ni=11n2B、åXi n-1i=11nC、åXi ni=11nD、åXi n-1i=1二、计算题 1n1、设X1,X2,LXn为从一总体中抽出的一组样本，总体均值m已知，用(Xi-m)2ån-1i=1去估计总体方差s，它是否是s的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计. 22n1n1n2s2¹s2 解：因E(Xi-m)=E(Xi-m)2=åån-1n-1i=1n-1i=11n(Xi-m)2不是s2的无偏估计 ån-1i=11n22但å(Xi-m)是s的无偏估计 ni=12、设X1,X2,LXn是来自总体N(m,s)的一个样本，若使C×偏估计，求常数C的值。 解： 2å(Xi=1n-1i+1-Xi)2为s2的无EC×å(Xi+1-Xi)=CåE(Xi+1-Xi)22i=1i=1n-1n-1=CåEXi2+1+EXi2-2EXi+1EXii=1n-1=Cåm2+s2+m2+s2-2m2i=1n-1=2(n-1)Cs2=s2ÞC=58 12(n-1)第七章 参数估计 -区间估计 一、选择题 1、设总体XN(m,s2)，s未知，设总体均值m的置信度1-a的置信区间长度l，那么l与a的关系为( A ). A、a增大，l减小 C、a增大，l不变 B、a增大，l增大 D、a与l关系不确定 222、设总体XN(m,s2)，且s已知，现在以置信度1a估计总体均值m，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ). A、提高置信度1-a，增加样本容量 C、降低置信度1-a，增加样本容量 B、提高置信度1-a，减少样本容量 D、降低置信度1-a，减少样本容量 二、计算题 1、设总体XN(m,0.92)，当样本容量n=9时，测得X=5，求未知参数m的置信度为0.95的置信区间. 解：m的置信区间为(X-Za2sn,X+Za2sn) a=0.05 n=9 s=0.9 X=5 Z0.05=1.96 2m的置信区间为(4.412,5.588)。 2、设总体XN(m,s2),已知s=s0,要使总体均值m的置信水平为1-a的置信区间的长度不大于L，问需要抽取多大容量的样本。 解：m的置信区间为(X-Za×2s0n,X+Za2s0n)， 2Za×2s0n224Zas0£LÞn³L2223、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径XN(m,s)，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度1-a=0.95(即a=0.05) (1)若s=0.06，求m的置信区间 (3)求方差s，均方差s的置信区间. 解：(1)s222(2)若s未知，求m的置信区间 2已知，则m的置信区间为(X-Za×2sn,X+Za2sn)，59 n=5,a=0.05,Za=1.96 2代入则得m的置信区间(14.75,15.15) (2)s未知，则m的置信区间为(X-ta22SS,X+ta×)，n=5,a=0.05 nn2查表得t0.05=2.5706，代入得m的置信区间为(14.71,15.19) 2(3)(n-1)S2s2c2(n-1) (n-1)S2(n-1)S2s的置信区间(2,) ca(n-1)c2a(n-1)221-2a=0.05,n=5 代入得s2的置信区间为：(0.0199,0.3069)。 均方差s的置信区间为(0.0199,0.3069)=(0.1411,0.2627) 4、 设从正态总体X中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 X=58.61及样本方差 S2=(5.8)2, 求总体X的均值和方差的90%的置信区间 解：1-a=0.9,aa=0.05,1-=0.95,n=31,s=5.8, t0.05(30)=1.6973 22(X±ta(n-1)2m的 90%的置信区间为 : s)=(56.84,60.38) n2c0.05(30)=43.772c0.95(30)=18.49 ，S2 = 33.64 s2的 %的置信区间为 : æ(n-1)s2(n-1)s2öç2÷ ,çca(n-1)c12(n-1)÷-aè22ø30´33.6430´33.8<s2<23.1<s2<54.6 43.7718.49即 s的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6) 25、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N(m , s2 ) , m , s2未 知 , 现 从 中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 : 10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 , 60 求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 . 151522解：x=åxi=11.6,S=å(xi-x)=0.995 5i=14i=11-a=0.9,a2=0.05,1-a2=0.95,n-1=4 22x0.05(4)=9.488,x0.95(4)=0.711 4´0.9954´0.995=0.419,=5.598 9.4880.711 s及 s 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598) 2及 (0.419,5.598)=(0.647,2.366) 6、 二正态总体N(m1 , s12) , N(m2 , s22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二独2立样本 ,测得样本均值分别为x1=1.2,x2=2.8，样本方差分别为 S12=0.34,S2=0.29, (1) 求二总体均值差m1-m2的90%的置信区间。求二总体方差比90%的置信区间。 解：1-a=0.9,sw=2a2=0.05,n1-1=9,n2-1=10 9×0.34+10×0.29=0.3137，t0.05(19)=1.729， 19m1-m2的90%的置信区间为 (1.2-2.8-1.729×0.3137=(-2.0231,-1.1769)F0.05(9,10)=3.02 1111+,1.2-2.8+1.729×0.3137+)10111011F0.95(9,10)=S122S211= F0.05(10,9)3.14=0.34=1.17 0.291,1.17´3.14)=(0.39,3.67) 3.022的 90%的 置 信 区 间 为 : (1.17´s12/s261