天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解.docx
天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点(X,Y)落在矩形域x1<x£x2,y1<y£y2的概率为 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). 2、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(-¥,y)= 0 . 3、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x+0,y)=F(x,y) 4、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,+¥)=FX(x) 5、设随机变量(X,Y)的概率密度为 ìk(6-x-y)f(x,y)=í0î0<x<2,2<y<4其它，则k= 1 . 86、随机变量(X,Y)的分布如下，写出其边缘分布. Y X 1 3 0 0 1 2 3 0 P×j 6 82 8+¥-¥3 80 3 80 1 81 8Pi× 1 83 83 81 87、设f(x,y)是X,Y的联合分布密度，fX(x)是X的边缘分布密度，则òf(x)= 1 . X8、二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是参数r= 0 . ·23· 9、如果随机变量(X,Y)的联合概率分布为 1 2 3 X 1 2 111 69181 a b 3 ；若X与Y相互独立，则a= 则a,b应满足的条件是 +=61842 ，b= . 181810、设X,Y相互独立，XN(0,1),YN(0.1)，则(X,Y)的联合概率密度 f(x,y)= 1e2p-x2+y22 ，Z=X+Y的概率密度fZ(Z)= 12p2e-x24 . 12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为 111ìA+-x³0,y³0ï222 F(x,y)=í则 A =_1_。 (1+x+y)(1+x)(1+y)ï0 î二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X，第二次取的球上标的数字Y，求(X,Y)的联合分布律. 1×0 311 PX=1,Y=2=×1= 33211 PX=2,Y=1=×= 323211 PX=2,Y=2=×= 323解：PX=1,Y=1= X Y 1 2 1 0 2 1 31 31 32、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X为投入1号信箱的信数，Y为投入2 号信箱的信数，求(X,Y)的联合分布律. 解：X的可能取值为0,1,2,3 Y的可能取值为0,1,2,3 1 PX=0,Y=0=3 32C333PX=0,Y=1=3PX=0,Y=2=3=3 333·24· PX=0,Y=3=1 33PX=1,Y=0=33´2PX=1,Y=1= 33332C33´1 PX=1,Y=2=3 PX=1,Y=3=0 PX=2,Y=0=3 333 PX=2,Y=2=0 PX=2,Y=3=0 331 PX=3,Y=0=3 PX=3,Y=1=PX=3,Y=2=PX=3,Y=3=0 3 PX=2,Y=1=Y 0 1 2 3 X 0 1273273271271 2 3 3 276 273 270 3 273 270 0 1 270 0 0 ì13、设 函 数 F(x , y) = íî0x+2y>1 ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 x+2y£1 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 < x £ 2， 0 < h £1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0) = 1- 1- 1 + 0 = - 1 < 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 ì2g(x2+y2),0£x,y<+¥+¥ï224、设g(x)³0,且òg(x)dx=1，有f(x,y)=í px+y0ï其它î0,证明：f(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证f(x,y)³0，又òòp+¥+¥-¥-¥f(x,y)dxdy=òò0+¥+¥2g(x2+y2)0px+y22dxdy 2pò20dqò+¥0+¥g(r)rdr=òg(r)dr=1 0r符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。 ·25· 5、在 0,p 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求Pcos(X+Y)<0的值。 ì1,0£x,y£pp3p3ï)= 解：f(x,y)=íp2，Pcos(X+Y)<0P<X+Y<224ï0,其它îìke-(3x+4y)x>0,y>06、设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=í 其它î0 (1)确定常数k 解：(1)(2)求(X,Y)的分布函数 (3)求P0<X£1,0<Y£2 ò¥0dyòke-(3x+4y)dx=1 0¥¥11k¥¥k=12 dyòe-3xdx=k-e-4y0×-e-3x0= 004312yx1-(3u+4v)dudv=12×(1-e-3x)(1-e-4y) (2)F(x,y)=òò12e0012kòe¥-4y=(1-e-3x)(1-e-4y) F(x,y)=0 x>0,y>0 (3)P0<X£1,0<Y£2=F(1,2)+F(0,0)-F(1,0)-F(0,2) =(1-e-3)(1-e-8)+0=0.95021 7、设随机变量(X,Y)的概率密度为 ìx2+xy/3 f(x,y)=íî0解：PX+Y³1=0£x£1,0£y£2其它 求PX+Y³1 x+y³11òòf(x,y)dxdy=òdxò0121-x(x2+xy)dy 3x4565=ò(+x2+x3)dx= 0236728、设随机变量(X,Y)在矩形区域D=(x,y)|a<x<b,c<y<d内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量X,Y是否独立？ ·26· 解：(1)根据题意可设(X,Y)的概率密度为 ìMf(x,y)=íî01=ò+¥-¥a<x<b,c<y<d其它bdacò+¥-¥f(x,y)dxdy=Mòdxòdy=M(b-a)(d-c) 于是M=ì1/(b-a)(d-c)1，故f(x,y)=í(b-a)(d-c)0î+¥-¥a<x<b,c<y<d其它fX(x)=òf(x,y)dy=òdcdy1= (b-a)(d-c)b-aì1ï即fX(x)=íb-aïî0fY(y)=ò+¥-¥a<x<b其它f(x,y)dx=òdx1= a(b-a)(d-c)d-cb即fY(y)=íì1/(d-c)î0c<y<d其它(2)因为f(x,y)=fX(x)×fY(y)，故X与Y是相互独立的. ì1-3-x-3-y+3-x-y,x³0,y³09、随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=í求： 0,其它î边缘密度；验证X,Y是否独立。 解：¶F(x,y)¶x=ln3´(3 x>0,y>0. -x22-x-y, -3-x-y)，¶F(x,y)¶x¶y=ln3´3ìln23´3-x-yx>0,0<yf(x,y)=í 其它î0·27· +¥2-x-yìdy=ln3´3-xx>0ïò0ln3´3 fX(x)=í, ï其它î0+¥2-x-yìdx=ln3´3-y,y>0ïò0ln3´3 fY(y)=í ï其它î0 (2) 因为f(x,y)=fX(x)×fY(y)，故X与Y是相互独立的. 10、一电子器件包含两部分，分别以X,Y记这两部分的寿命(以小时记)，设(X,Y)的分布函 ì1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y) 数为F(x,y)=í0îx³0,y³0其它 (1)问X和Y是否相互独立？ (2)并求PX>120,Y>120ì1-e-0.01xx³0解：(1)FX(x)=F(x,+¥)=í x<0î0ì1-e-0.01y FY(y)=F(+¥,y)=í0îy³0y<0 易证FX(x)FY(y)=F(x,y)，故X,Y相互独立. (2)由(1)X,Y相互独立 PX>120,Y>120=PX>120×PY>120=1-PX£120×1-PY£120 =1-FX(120)1-FY(120)=e-2×4=0.091 11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 F(x,y)=A(B+arctg)(C+arctg)求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。 x2y3ppF(+¥,+¥)=A(B+)(C+)=1 22pp F(-¥,+¥)=A(B-)(C+)=0 22pp F(+¥,-¥)=A(B+)(C-)=0 221p 由 此 解 得 A=2,B=C=, p2解：( 1 ) ·28· ( 2 ) j(x,y)=6p2(4+x2)(9+y2) 12、设(X,Y)相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 X -2 -1 0 12 Y -12 1 P1k 111143 12 3 Pk 124 试写出(X,Y)的联合分布律. 解： Y X -2 -1 0 12 -111112 8 6 24 6 1 1 1111612 48 12 3 111116 12 48 12 13、设X,Y相互独立，且各自的分布律如下： X 1 2 Y 1 2 P111k 2 P12k 2 2求Z=X+Y的分布律. 解：PX=k=Pkk=0,1,2,L PY=g=qgg=0,1,2,L Z=X+Y的分布律为PZ=i=Pkqi-ki=0,1,2,L Z的全部取值为2,3,4 PZ=2=PX=1,Y=1=PX=1PY=1=12×12=14 PZ=3=PX=1,Y=2+PX=2,Y=1 ·29· 3 14 =PX=1PY=2+PX=2PY=1=11111×+×= 22222111PZ=4=PX=2,Y=2=PX=2PY=2=×= 22414、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为 xì112ïe fX(x)=í2ï0îx³0x<0yì13ïefY(y)=í3ï0îy³0y<0 求Z=X+Y的密度函数. 解：Z=X+Y的密度函数为fZ(Z)=ò+¥-¥fX(x)fY(Z-x)dx， 由于fX(x)在x³0时有非零值，fY(Z-x)在Z-x³0即x£Z时有非零值， 故fX(x)fY(Z-x)在0£x£Z时有非零值 fZ(Z)=ò-Z3Z01-21-e×e23-Z3xZ-x3dx=eZ6-Z3òZ01-6edx 6x=e-e=e(1-e当Z£0时，f(Z)=0 ZZ-ì6ï3故fZ(Z)=íe(1-e)ï0î-x6Z0-) Z>0 Z£0·30·
