大物B课后题09第九章 振动学.docx

大物B课后题09第九章 振动学习题 9-5.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 F=-(k1+k2)x 根据牛顿第二定律有 d2x F=-(k1+k2)x=ma=m2 dt 化简得 d2xk1+k2 2+x=0 dtmk1+k2d2x2令w=则2+wx=0所以物体做简谐振动，其周期 dtm2T=2pw=2pmk1+k29-6 如图所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。 解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为 M=-qE点偶极子对中心O点的转动惯量为 llsinq-qEsinq=-qElsinq 2221ælöælöJ=mç÷+mç÷=ml2 2è2øè2ø2由转动定律知 12d2qM=-qElsinq=Jb=ml·2 2dt化简得 d2q2qE+sinq=0 dt2ml 1 当角度很小时有sinq»q，若令w2=2qE，则上式变为 mld2q+w2sinq=0 2dt所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为 T=2pw=2pml 2qE9-7 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v=1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为T=2pm，频率k为v=11=T2pk m正常载重时弹簧的压缩量为 mgT2gx=2g=22=0.15(m) k4p4pv9-8 一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图所示。开始棒在平衡，位置OO处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。 解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为q，并规定细棒在平衡位置向右时q为正，在向左时为负，则力矩为 1M=-mglsinq 212ml,根据转动定律有 32 负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为J=112d2q M=-mglsinq=Jb=ml23dt2化简得 d2q3g +sinq=0 2dt2l当q很小时有sinq»q，若令w2=3g则上式变为 2ld2q+w2sinq=0 2dt所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为 T=2pw=2p2l 3g-29-9 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A=2´10m，周期T=0.50s，当t=0时，求以下各种情况的振动方程。 物体在正方向的端点； 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向正方向运动; (5)物体在x=1.0´10m处向负方向运动 (6)物体在x=-1.0´10m处向正方向运动。 解 由题意知A=2.0´10m,T=0.5s,w=-2-2-22p=4ps-1 T由初始条件得初想为是j1=0,所以振动方程为 x=2´10-2cos4p(m) 由初始条件得初想为是j2=p，所以振动方程为 x=2´10-2cos(4pt+p)(m) 由初始条件得初想为是j3= p2，所以振动方程为 x=2´10-2cos(4pt+)(m) 23p由初始条件得初想为是j4=，所以振动方程为 2p 3 x=2´10-2cos(4pt+3p)(m) 2x01´10-2p5pp因为cosj5=，所以，取，=0.5j=,j=55A2´10-2333所以振动方程为 x=2´10-2cos(4pt+)(m) 3px0-1´10-22p4p4pcosj6=，所以，取，=-0.5j=,j=66A2´10-2333所以振动方程为 x=2´10-2cos(4pt+4p)(m) 39-10一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求； 质点振动的运动方程； t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度； 质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 由题意可知：A=0.12m,w=零），所以质点的运动方程为 2pp=p,x0=Acosj0可求得j0=- pöæxt=0.5=0.12cosç0.5p-÷=0.1(m) 3øèpöæv=-0.12psinçpt-÷ 3øè任意时刻的速度为 所以 pöævt=0.5=-0.12pcosç0.5p-÷=-0.19(m·s-1) 3øè任意时刻的加速度为 pöæa=-0.12p2cosçpt-÷ 3øè所以 pöæat=0.5=-0.12p2cosç0.5p-÷=-1.0(m·s-2) 3øè根据题意画旋转矢量图。 由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为 4 325Dj=p-p=p 236Dj=5»0.833(s) 6所以 Dt=w9-11 一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。 开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手； 开始时，物体在平衡位置，给以向上21cm·s的初速度，使其振动； 把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上21cm·s的初速度，同时开始计时。 解 取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图所示坐标系。 系统振动的圆频率为 -1-1w=m1gx1k0.01´g0.08=7(s-1) mm0.025根据题意，初始条件为 ìx0=4cmí-1 v=0cm·sî02v0振幅A=x+20w2=4cm，初相位j1=0 振动方程为 x=4cos7t(cm) 根据题意，初始条件为 ìx0=0cmí-1 v=-21cm·sî02v0振幅A=x+20w2=3cm，初相位j2=p2振动方程为 x=3cos(7t+)(m) 2ìx0=4cmí-1 v=-21cm·sî02v0p根据题意，初始条件为 振幅A=x+20w2=5cm，tanj3=-v0=0.75，得j3=0.64 x0w5 振动方程为 x=5cos(7t+0.64)(m) -29-12 质量为0.1kg的物体，以振幅A=1.0´10m做简谐振动，其最大加速度为振动周期；通过平衡位置时的动能；总能量。 4.0m·s-2，求：解 简谐振动的物体的最大加速度为 amax=Aw2 w=amax4.02p2p-1=20s，所以周期为T=0.314(s)。 ()2A1.0´10w20做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度 vmax=Aw Ek=21211mvmax=mA2w2=´0.1´(1.0´10-2´20)=2´10-3(J)总能222所以动能为 量为 E总=Ek=2´10-3(J) 9-13 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A0的简谐振动，如图所示，物体的质量为M，弹簧的劲度系数为k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m的小泥团以速度v¢从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求： 系统振动的圆频率； 按图示坐标列出初始条件； 写出振动方程； 解 小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k，所以系统振动的圆频率为 w=kM+m小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有 -Mv-mv¢=(M+m)v0 v0=-Mv+mv¢M+mx0=0ìï按图所示坐标初始条件为íMv+mv¢ v=-0ïM+mî根据初始条件，系统振动的初相位为j=p2；假设，系统的振动振幅为A，根据能量 6 守恒，有 1211(Mv+mv¢)22 kA=(M+m)v0=222M+m其中 故得 11Mv2=kA02 22kM (M+m)kA=mv¢+MA0振动方程为 x=mv¢+MA0kkpöMcosæ·t+÷(m) çç÷M+m2(M+m)kèø-29-14 有一个弹簧振子，振幅A=2´10m，周期T=1s，初相位j=振动方程；利用旋转矢量图，作x-t,图。 解 由题意可知，w=3写出它的p，42p=2p，所以弹簧振子的振动方程为 T-2 x=2´10cosç2pt+æè3öp÷(m) 4ø利用旋转矢量图做x-t图如图9.7所示 3öæv=-2´10-22psinç2pt+p÷ 4øè3öæa=-2´10-2(2p)2sinç2pt+p÷ 4øè9-15 一物体做简谐振动，当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？ 解 根据题意做旋转矢量如图所示。 由图可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是 ±p3,±2p 3121kA，在任意位置时的时能为Wp=kx2，所以222物体做简谐振动时的总能量为W=1æ1ö12当它的位置在振幅的一半时的势能为Wp=kçA÷=kA，势能占总能量的百分比为2è2ø8 7 25%，动能占总能量的百分比为75%。 9-16 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为，振幅是0.04m,问： 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ 以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？ (3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？ 解 由题意可知，w=2pv=4ps,A=0.04m。因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小amax=Aw=0.04´16p=0.64p 根据牛顿第二定律有 222-1N1-mg=mamaxmg-N2=mamax解得N1=8.06N，N2=1.74N (最高位置) 当mg=mamax=mAw，即时A=0.062m 会使砝码脱离平板。 频率增大一倍，把w1=2w代入mg=mamax=mA1w1得 22A1=1A=1.55´10-2(m) 49-17 有两个完全相同的弹簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放A振子，经过0.5s后，再释放B振子，如图所示，若以B振子释放的瞬间作为时间的起点， 分别写出两个物体的振动方程； 它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t图。 解 由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为w=2p=p，若以B振子释放的瞬时T作为时间的起点，则B物体振动的初相位是jB=0，振动方程应为 xB=5cospt(cm) 由于A物体先释放0.5s时的时间，所以相位超前B物体Dj=2p·振动的初相位是jA= 0.5p=，所以A物体T2p2，振动方程应为 pöæxA=5cosçpt+÷(cm) 2øèDj=它们的相位差为 p2作A,B两物体的振动曲线如图9.10所示。 8 9-18 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为 pöæx1=6cosç2t+÷cm6øèpöæx2=8cosç2t-÷cm3øè试 用旋转矢量求出合振动方程。 解 作旋转矢量如图9.11所示。 由平面几何关系可知 2A=A12+A2=10cm A16tanj=0.75A28合振动的初相位是 æpöa=-ç-j÷=-0.4 è3øx=10cos(2t-0.4)(cm) 所以合振动的振动方程为 9-19 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为p，若第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅，第一、第二6两振动的相位差。 解 做旋转矢量如图9.12所示。 由平面几何关系可知 A2=A2+A12-2AA1cosp6=0.1(m) 9 假设A1和A2的夹角为，则由平面几何可知 A=2A12+A2+2A1A2cosj 把已知数代入解得j=p2， 9-20 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动： x=0.08cosçpöpöæpæpt+÷,y=0.06cosçt-÷ 6ø3øè3è3式中x,y以m计，t以s计。 求运动轨迹方程； 质点在任一位置所受的力。 解 由振动方程消去时间因子得轨迹方程为 x2y2+=1 0.0820.06222 质点在任意时刻的加速度为 d2xd2ypöpöæpöæpæpöæpa=i+j=-0.08ç÷cosçt+÷i-0.06ç÷cosçt-÷j dtdt6ø3øè3øè3è3øè3质点在任一位置所受的力为 22épöpöæpöæpæpöæp F=ma=ê-32ç÷cosçt+÷i-24ç÷cosçt-÷6ø3øè3øè3è3øè3êëùjú´10-3(N) úû9-21 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动； 证明质点的合振动时简谐振动； 求合振动的振幅和频率。 解 根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为 x=Axcos(wt+j)y=Aycos(wt+j)合成的轨迹是直线y=Axx，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为 Ayx¢=x2+y2=2Ax2+Aycos(wt+j) 所以质点的合振动是简谐振动。 合振动的振幅为A=2Ax2+Ay，圆频率为w. 10