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大学高数 考试复习高数级数理论部分练习 10528 一填空 (-1)n-11级数å的和为 。 nn=1¥2把函数11= 。 展开成x-1的幂级数到：1+x1+x¥3级数åé1-1ù的和为 。 êú2nûn=1ën(n+1)ì2,-p£x<04设f(x)是以2p为周期的周期函数，在-p,p上的表达式为f(x)=í，则在x=0处f(x)4,0£x£pî的傅里叶级数收敛于 。 x2n-15幂级数å的收敛区间为 。 n=12n-1¥6若幂级数åan=0n¥nx在x=-3时收敛，则幂级数åanxn在x<3时是否绝对收敛？ nn=0¥¥7若limun®¥=0，则级数åun收敛，对么？ n=18若f(x)在-p,p上是以2p为周期的按段光滑函数，则 _,x为连续点ì_a0ï_,x为f(x)的间断点 +å(ancosnx+bnsinnx)=í_2n=1ï_,x=±pî¥91(a>0)，当a= 时收敛。 ån1+an=1¥10级数åun=1¥¥n的部分和数列Sn有界，则级数¥¥åun=1¥n收敛。 11若级数åun=1¥n与åvn=1n都发散，则å(un=1n +vn)也发散。12若级数åun=1n发散，则limun¹0。 n®¥13若级数åun=1n¥n收敛，那么它的更序级数一定收敛。 14若åun=1¥ (x)在a,b上收敛于s(x)且每个un(x)都在a,b上连续，则s(x)也在a,b上连续。二选择题 1下列级数中收敛的是 ¥¥¥4n+8n4n-8n4n+2n2n×4nå å å å。 nnnn8888n=1n=1n=1n=1¥¥2若级数¥åun=1n收敛，则下列级数中收敛。 ¥å(un+0.001) åun+1000 åun å1000。 n=1n=1¥¥n=1n=1un3设åun=1¥¥n=2，则下列级数中和不是1的为 ¥unun åån=22n=12¥¥11å ån n=1n(n+1)n=124将函数f(x)=e¥-x2展开成x的幂级数得到 ¥¥¥x2n(-1)nx2nxn(-1)nxnå å å å n!n!n!n!n=0n=0n=0n=05下列级数条件收敛的是 å(-1)n=1¥n1¥¥n11nn å(-1) (-1)(-1)åå2n+1n(n+1)nnn=1n=1n=1n¥6ån-lnn n=2¥cosnpA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可收敛也可能发散 7å(-1)n=1¥n-1(x+1)n的收敛域为 nA、(-2,0) B、(-2,0 C、-2,0) D、-2,0 8下列级数中条件收敛的是 ¥¥¥n1n1n1A、å(-1) B、å(-1) C、å(-1) D、 å2n+1nnnn=1n=1n=1n=1n¥¥¥9若级数åun=1n和åVn=1n都发散，则 A、å(un=1n®¥¥n+Vn)必发散；B、åunVn发散；C、å(un+Vn)必发散 D以上说法都不对 n=1¥10limun=0是级数åun收敛的 。 n=0¥A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。 11下列命题正确的是 (A) 若åun=1¥¥n与åvn=1¥n都发散，则¥å(un=1¥n+vn)也发散 (B) 若åun=1n收敛，而åvn=1n发散，则¥å(un=1¥n+vn)必发散 (C) 若un£vn(n=1,2,)且¥åvn=1n绝对收敛，则åun=1¥n必收敛 (D) 级数åun=1n收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 12下列命题正确的是 (A) 绝对收敛级数的更序级数一定收敛 (B) 若¥¥åun=1n¥n为条件收敛级数，则¥åun=1¥2n一定发散 (C) 若åun=1n发散，则 limun¹0 (D) 若n®¥åun=1收敛，则åun=12n也收敛 三计算与证明 1求幂级数ån2xn的收敛域及和函数。 n=1¥2讨论å1n=1¥在a>0时的敛散性。 n1+a3设f(x)=px+x,(-p<x<p)的傅里叶级数为a0+å(ancosnx+bnsinnx)，求系数b3。 2n=12¥(x+3)n4求幂级数å的收敛域与收敛半径。 2nn=1¥(2x+1)n5求幂级数å的收敛域和收敛半径。 nn=1¥6 判别级数(1-cos)的敛散性。 ånn=12n+12nx的收敛域与和函数。 ån!n=1¥¥¥p7求幂级数xn8求幂级数å的收敛域及和函数。 n=1n(n+1)111xn+L的和。 9求级数å的收敛域，并求出它的和函数，由此求出231×32×33×3nn=1¥pì1,0£x<ïï210将f(x)=í，在0,p上展开成余弦级数，并求出它的和函数。 pï0,£x<pïî2x2x3x4x5xn+1n+111确定级数-+-+L+(-1)+L的收敛域，并求和函数。 1×22×33×44×5n(n+1)12求级数nnx在其收敛域x<1中的和函数。 ån+1n=12¥13求级数(2-x)+¥3233394x-x+x-L的收敛半径及和函数 4816xn14. 求å的和函数。 n=0n+115将函数f(x)=x在0,p上展开为正弦级数、余弦级数。 16求幂级数å(-1)n+1nxn的和函数。 n=1¥参考答案 一填空 n1¥n(x-1)1 ln2 2. å(-1) 3、 0 4、3 5、(-1,1) 6、绝对收敛 7× 2n=02nìïf(x)ïïf(x+0)+f(x-0)8í 9、>1； 10×； 11×12×13×14× 2ïïf(-p+0)+f(p-0)ï2î二选择 1 、C 2、B 3、C 4、B 5、A 6. B； 7B；8. B；9、C；10、A；11B 12A 三计算与证明 ¥n2n2x=±11. R=lim当时，级数成为(-1)n发散，所以收敛域为(-1,1)。 =1,ån®¥(n+1)2n=1'¥éùéæxö'ùx(x+1)æöæö2n-1nn。 S(x)=xånx=xçånx÷=xêxçåx÷ú=xêxç÷ú=3n=1èn=1øêêëè1-xøúû(1-x)ëèn=1øúû1110<a<1=¹0lim=1¹0，所以级数发散。2. 当a=1时，lim,所以级数发散。当时，nn®¥1+ann®¥21+a¥¥¥¥1111a>1a>1/=1当a>1时，lim，而在时收敛，所以时收敛。 åånnn®¥1+anana1+an=1n=1'''23. b3=(px+x)sinnxdx=pxsin3xdx=-xdcos3x òòòp-pp-p3021p1pp22=-xcos3xp=p。 033(x+3)n+14. r=limn®¥(n+1)2(x+3)n=x+3<1Þ-4<x<-2，当x=-4和x=-2时级数收敛，所以收敛n2-2-(-4)=1。 2域为-4,-2。收敛半径为R=(2x+1)n+15. r=limn®¥n+1¥¥(2x+1)n(2x+1)n当x=-1时，收敛，当x=0=2x+1<1Þ-1<x<0，ånnn=11(2x+1)n时，å发散，所以收敛域为-1,0)，收敛半径为R=。 2nn=16. 因为1-cos¥pn³0,n=1,2,.，且当n®¥时，1-cos¥pn=2sin2p2np22n2，而 å2nn=1p22收敛，所以(1-cos)收敛。 ånn=1p7. R=lim2n+12n+3=+¥，收敛域为(-¥,+¥)。 n®¥n!(n+1)!æ¥x2n+1öæ¥(x2)n=ççån!÷÷=ççxån!èn=1øèn=1'2n+12nxån!n=1¥öx2÷=xe-÷ø'()=(2x'2+1)ex-1。 218. R=limn®¥n(n+1)令¥xn1都收敛，所以收敛域为-1,1。=1，而当x=±1时，级数ån(n+1)(n+1)(n+2)n=1xnån=1n(n+1)¥=S(x)，xn+1f(x)=xS(x)=ån=1n(n+1)¥ ,则f(x)=åxn-1=''n=1¥11-x，于是S(x)=1+9r=1-xln(1-x),xÎ-1,0)U(0,1)，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。 xlimn®¥n+1=1R=1 收敛域为-1,1) nx¥S(x)=òx0xdxx2S¢(x)dx=ò(å)¢dx=ò=-ln(1-x) 001-xn=1n¥111n113令x=å= +L=ln23n=1n31×32×3210bn=0(n=1,2L) a0=2p2òp0f(x)dx=1 an=pòf(x)cosnxdx=pò2p20cosnxdx=2npsin(n=1,2L) np2pì1,0£x<ï2ï1¥2npïpsincosnx=í0,<x£p f(x)+å2n=1np2ï2pï1,x=ï22î11、r=limn®¥n(n+1)=1 (n+1)(n+2)R=1 收敛域为：(-1,1 ì(x+1)ln(1+x)-x,-1<x£1 S(x)=í1,x=-1î12. 1nn¥x=å(1-)xn Sx=ån+1n=1n=1n+1¥xnxxn=åx-å =-ån+11-xn+1n=1n=1n=1¥n¥¥¥xxn+1¢(x)=åxn=令S1(x)=å，S1 1-xn=1n=01+n¥xn1¥xn+11=å=sinx S1(x)=-x-ln(-x)，则ån+1x1+nxn=1n=1¥ S(x)=11+ln(1-x),(x¹0) 1-xxn213.公比r=-33x，一般项(-1)nnxn(n=2,3L) ，令f(x)=(2-x)2+f1(x) 22n+12r=limn®¥32n+132nn2=23； R= 23a13x210分 f1(x)=1-r4+23xf(x)=(2-x)+f1(x)=(2-x)+223x24+23x14. r=limn®¥n+1=1 R=1 n+2从而收敛域为-1,1) xnxs(x)=设S(x)=ån+1n=0¥xn+1 ån+1n=0¥(xS(x)¢=åxn=n=0¥1 (x<1) 1-xxS(x)=ò1dx=-ln(1-x) (-1£x£1) 01-x1 当x¹0时，有S(x)=-ln(1-x) xxS(0)=limS(x)=1 x®0ì1ï-ln(1-x),xÎ-1,0)È(0,1) S(x)=íxïî1,x=015将函数f(x)=x在0,p上展开为余弦级数。 解：要把f(x)=x在0,p上展开为余弦级数，先将f(x)延拓成-p,p上的偶函数，再延拓成以2p为周期的周期函数，则 bn=0(n=1,2,3,L) a0=f(x)dx=òxdx=p òpp002p2pak=pò02pì0,ïf(x)coskxdx=òxcoskxdx=2(-1)-1=í4-2,p0kpïîpk2p2kk为偶数k为奇数于是由收敛定理有： f(x)另一个类似 p2-ö4æcos3xcos5xcos(2k-1)xç÷=x，(0£x£p)。 cosx+L+L222÷pç35(2k-1)èø16求幂级数å(-1)n+1nxn的和函数。 n=1¥an+1(-1)n+2(n+1)解：因为lim=lim=1，所以幂级数å(-1)n+1nxn的收敛半径为R=1。又因为当n+1n®¥an®¥(-1)nn=1n¥¥¥x=±1时级数发散，所以å(-1)n=1n+1nx的收敛域为(-1,1)。设S(x)=å(-1)n+1nxn，则由逐项求导定理nn=1有： S(x)=å(-1)n=1¥n+1nx=-xå(-1)nxnnn=1¥n-1=-xåd(-1)nxn n=1dx¥dé¥dæ-xöxù =-xêå(-x)nú=-xç÷=2dxën=1dx1+xèø(1+x)û即： S(x)=x， xÎ(-1,1)。 2(1+x)