大学线性代数必过复习资料.docx

大学线性代数必过复习资料复习重点： 第一部分 行列式 1 排列的逆序数 2 行列式按行展开法则 3 行列式的性质及行列式的计算 第二部分 矩阵 1 矩阵的运算性质 2 矩阵求逆及矩阵方程的求解 3 伴随阵的性质、正交阵的性质 4 矩阵的秩的性质 第三部分 线性方程组 1 线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定 2 齐次线性方程组的解的结构 3 非齐次线性方程组的解的结构 第四部分 向量组 1向量组的线性表示 2向量组的线性相关性 3向量组的秩 第五部分 方阵的特征值及特征向量 1施密特正交化过程 2特征值、特征向量的性质及计算 3矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行的元素乘以其它行元素的代数余子式为0； 、某行的元素乘以该行元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij=(-1)i+jAij4. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； Aij=(-1)i+jMij n(n-1)2、副对角行列式：副对角元素的乘积´ (-1)； 、上、下三角行列式：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积´ (-1)、拉普拉斯展开式：n(n-1)2； AOACCAOA=AB、=(-1)mgnAB CBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值 5. 证明A=0的方法： 、A=-A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A)<n； 、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： ÛA¹0； Ûr(A)=n ÛA的行向量组线性无关； Û齐次方程组Ax=0有非零解； Û"bÎRn，Ax=b总有唯一解； ÛA与E等价； ÛA可表示成若干个初等矩阵的乘积； ÛA的特征值全不为0； ÛATA是正定矩阵； ÛA的行向量组是Rn的一组基； ÛA是Rn中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A：AA*=A*A=AE 无条件恒成立； 3. (A-1)*=(A*)-1(AB)T=BTAT(A-1)T=(AT)-1(AB)*=B*A*(A*)T=(AT)* (AB)-1=B-1A-1 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： æA1ç若A=çççèA2ö÷÷，则： ÷O÷Asø、A=A1A2LAs； æA1-1ç、A-1=ççççè-1-1A2ö÷÷； ÷O÷As-1÷øOö÷ B-1øB-1ö÷ Oø-A-1CB-1ö÷ B-1øOö÷ B-1øæA-1æAOö、ç÷=çOBèøèOæOæOAö、ç=ç-1÷èBOøèAæA-1æACö、ç÷=çOBèøèO-1-1-1æA-1æAOö、ç÷=ç-1-1CBèøè-BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m´n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：æEF=çrèOOö÷； Oøm´n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B) Û AgB； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用： 、 若(A , E) g (E , X)，则A可逆，且X=A-1； 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即： (A,B) (E,A-1B)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)g(E,x)，则A可逆，且x=A-1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； æl1ç、L=çççèö÷÷，左乘矩阵A，l乘A的各行元素；右乘，l乘A的各列元ii÷O÷lnørrcl2素； -1æ1öæ1ö÷ç÷1=1、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)-1=E(i,j)，例如：ç ç÷ç÷；çç1÷1÷èøèø1、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)-1=E(i)，例如：k-1æ1æ1öç1ç÷çk=ç÷çkç÷1çèøèö÷÷(k¹0)； ÷1÷ø、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-1=E(ij(-k)，如：kö-köæ1æ1ç÷ç÷1=1ç÷ç÷(k¹0)； çç1÷1÷èøèø-15. 矩阵秩的基本性质： 、0£r(Am´n)£min(m,n)； 、r(AT)=r(A)； 、若AgB，则r(A)=r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)； 、max(r(A),r(B)£r(A,B)£r(A)+r(B)； 、r(A+B)£r(A)+r(B)； 、r(AB)£min(r(A),r(B)； 、如果A是m´n矩阵，B是n´s矩阵，且AB=0，则： 、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解； 、r(A)+r(B)£n 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)³r(A)+r(B)-n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵´行矩阵的形式，再采用结合律； æ1acöç÷、型如ç01b÷的矩阵：利用二项展开式 ç001÷èø、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ìnï、伴随矩阵的秩：r(A*)=í1ï0îr(A)=n r(A)=n-1； r(A)<n-1、伴随矩阵的特征值：、A*=AA-1、A*=A8. 关于A矩阵秩的描述： Al (AX=lX,A*=AA-1 Þ A*X=AlX)； n-1、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0； 、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0； 、r(A)³n，A中有n阶子式不为0； 9. 线性方程组：Ax=b，其中A为m´n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程； 10. 线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： ìa11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 ïax+ax+L+ax=b 2112222nn2、ï； íLLLLLLLLLLLïïîam1x1+am2x2+L+anmxn=bnæa11ç、ça21çMçèam1a12a22Mam2La1nöæx1öæb1ö÷ç÷ç÷La2n÷çx2÷çb2÷ 、(aæb1öæx1öç÷ç÷bx2； Lan)ç÷=bçM÷çM÷ç÷ç÷èbnøèxnø1a2、a1x1+a2x2+L+anxn=b 、有解的充要条件：r(A)=r(A,b)£n 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A：a1,a2,L,am构成n´m矩阵A=(a1,a2,L,am)； æb1TöçT÷bTTTm个n维行向量所组成的向量组B：b1,b2,L,bm构成m´n矩阵B=ç2÷； çM÷ççbT÷÷èmø含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 ÛAx=0有、无非零解； 、向量的线性表出 ÛAx=b是否有解； 、向量组的相互线性表示 ÛAX=B是否有解； 3. 矩阵Am´n与Bl´n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14) 4. 5. r(ATA)=r(A)；(P101例15) n维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关 、a,b线性相关 Ûa=0； Ûa,b坐标成比例或共线； 、a,b,g线性相关 Ûa,b,g共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若a1,a2,L,as线性相关，则a1,a2,L,as,as+1必线性相关； 若a1,a2,L,as线性无关，则a1,a2,L,as-1必线性无关； 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关； 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A能由向量组B线性表示，且A线性无关，则r£s； 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)£r(B)； 向量组A能由向量组B线性表示 ÛAX=B有解； Ûr(A)=r(A,B) 向量组A能由向量组B等价Û r(A)=r(B)=r(A,B) 8. 方阵A可逆Û存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使A=P1P2LPl； 、矩阵行等价：ABÛPA=BÛAx=0与Bx=0同解 、矩阵列等价：ABÛAQ=B； 、矩阵等价：ABÛPAQ=B； 9. 对于矩阵Am´n与Bl´n： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am´sBs´n=Cm´n，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵； 11. 齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0 只有零解Þ Bx=0只有零解； 、Bx=0 有非零解Þ ABx=0一定存在非零解； 12. 设向量组Bn´r:b1,b2,L,br可由向量组An´s:a1,a2,L,as线性表示为： (b1,b2,L,br)=(a1,a2,L,as)K 其中K为s´r，且A线性无关，则B组线性无关Ûr(K)=r； 注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用； 13. 、对矩阵Am´n，存在Qn´m，AQ=Em Ûr(A)=m、Q的列向量线性无关； cr、对矩阵Am´n，存在Pn´m，PA=En Ûr(A)=n、P的行向量线性无关； 14. a1,a2,L,as线性相关 Û存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0成立； æx1öç÷Û(a1,a2,L,as)çx2÷=0有非零解，即Ax=0有非零解； çM÷ç÷èxsøÛr(a1,a2,L,as)<s，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设m´n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r(S)=n-r； 16. 若h*为Ax=b的一个解，x1,x2,L,xn-r为Ax=0的一个基础解系，则h*,x1,x2,L,xn-r线性无关； 5、相似矩阵 1. 正交矩阵ÛATA=E或A-1=AT，性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj=íì1î0i=j(i,j=1,2,Ln)； i¹j、若A为正交矩阵，则A-1=AT也为正交阵，且A=±1； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,L,ar) b1=a1； b2=a2-b,aba,b-rar,b1,a21gb1 LLL br=ar-1rgb1-2rgb2-L-gb-r; 1b1,b1b2b,2br-br1,1b1,b1-3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；