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大学物理课后习题及答案 相对论 第十六章相对论 题16.1：设S'系以速率v = 0.60c相对于S系沿xx'轴运动，且在t =t'= 0时，x若有一事件，在 S系中发生于t = 2.0×10时间间隔为多少？ 7 =x'=0。s，x = 50 m处，该事件在 S'系中发生于何时刻？如有另一事件发生于 S系中 t = 3.0×107 s，x = 10 m处，在 S系中测得这两个事件的题16.1解：由洛伦兹变换可得S系的观察者测得第一事件发生的时刻为 t1-vc22x1=1.25´102-7 t1'=s 1-v/c同理，第二个事件发生的时刻为 t2-vc22x2=3.5´102-7 t2'=s 1-v/c所以，在S系中两事件的时间间隔为 Dt'=t1'-t2'=2.25´10-7s 题16.2：设有两个参考系S和S，它们的原点在t = 0和t = 0时重合在一起。有一事件，在 S系中发生在 t = 8.0×10-8 s，x = 60 m，y = 0，z = 0处，若S系相对于S系以速率v = 0.6c沿xx轴运动，问该事件在S系中的时空坐标各为多少？ 题16.2解：由洛伦兹逆变换得该事件在S系的时空坐标分别为 x= x'+vt'1-v2=93m 2/c y=y'=0 z=z'=0 t'+vc22x'=2.5´102-7 t= s 1-v/c题16.3：一列火车长 0.30 km，以 100 km/h的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端。问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？ 题16.3解：设地面为S系，火车为S系，把闪电击中火车前后端视为两个事件。由洛伦兹变换可得两事件时间间隔为 t2-t1=(t2'-t1')+vc22(x'2-x1')21-v/c(t2-t1)-vc22 t2'-t1'=(x2-x1)21-v/c 利用这两式都可以得到结果。 解法1：由题意闪电在S系中的时间间隔Dt = t2 - t1 = 0。两事件在 S系中的空间间隔即火车的长度为x = x2 - x1 = 0.30 ´ 103 m。则由式可得 Dt'=t2'-t1'=-vc2-14(x2'-x1')=-9.26´10s 负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x2 处。 解法2：可利用式求解，此时应注意式中x2-x1为地面观察者测得两事件的空间间隔，ævö即S系中测得的火车长度，而不是火车原长。根据长度收缩效应有x2-x1=(x2'-x1')1-ç÷ècø2考虑这一关系由式可得 t2'-t1'=-vc2(x2'-x1')=-9.26´10-14s 结果与解法1相同，相比之下解法1较简单，这是因为解法1中直接利用了x2-x1 = 0.3 km这一已知条件。 题16.4：在惯性系 S中，某事件 A发生在x1处，2.0 ´ 10-6 s后，另一事件 B发生在 x2处，已知 x2-xl = 300 m。问：能否找到一个相对 S系作匀速直线运动的参考系S，在S系中，两事件发生在同一地点？在S系中，上述两事件的时间间隔为多少？ 题16.4解：设惯性系S以速度v相对S系沿x轴正向运动，因在S系中两事件的时空坐标已知，由洛伦兹时空变换式，可得 x2'-x1'=(x2-x1)-v(t2-t1)1-v/c22(t2-t1)-vc22(x2-x1)2 t2'-t1'=1-v/c令x2'-x1'=0，由式可得 v=x2-x1t2-t1=1.50´10m/s=0.50c 8将v值代入式，可得 (t2 t2'-t1'=ævx2-x1-t1)ç1-2çct2-t1è1-v/c22-6ö÷÷ø=(t2-t1)1-v/c22=1.73´10s这表明在S系中事件A先发生 题16.5：设想有一粒子以0.050c的速率相对实验室参考系运动。此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速度。 题16.5解：由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对S系的速度为 ux=u'x+v1+vc2u'x=0.817c 题16.6：设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2 ´ 108 m/si。同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为 1.0 ´ 108 m/si。问：此火箭相对宇航飞船的速度为多少？如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度。 题16.16解：设宇航飞船为S系，航天器为S系，则S系相对S系的速度v = 1.2 ´ 108 m/s，空间火箭相对航天器的速度为u'x=1.0´108m×s-1，激光束相对航 天器的速度为光速c。 由洛伦兹变换可得： 空间火箭相对S系的速度为 ux=u'x+v1+vc2u'x=1.94´10m×s3-1 激光束相对S系的速度为 ux=c+v1+vc2c=c 即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的。如用伽利略变换，则有ux=c+v>c。 这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度 题16.7：在惯性系S中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0 s，从另一惯性系S中观察到这两个事件的时间间隔为6.0 s，试问从S系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S系以恒定速率相对S系沿xx'轴运动。 题16.7解：由题意知在 S系中的时间间隔为固有时，即t = 4.0 s，而t = 6.0 s。根据时间延缓效应的关系式 Dt'=Dt1-v2/c2可得S系相对S系的速度为 12é5æDtöùv=ê1-çc ÷úc=Dt'3èøúêëû2两事件在S系中的空间间隔为 Dx'=vDt'=1.34´10m 9题16.8：在惯性系S中，有两个事件同时发生在xx'轴上相距为 1. 0 ´ 103 m的两处，从惯性系 S观测到这两个事件相距为 2. 0 ´ 103 m，试问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？ 题16.8解：设此两事件在S系中的时空坐标为和，且有x2-x1=1.0´10m，t2-t1=0。而在 S系中，此两事件的时空坐标为(x'1，0,0,t'1)和3(x'2,0,0,t'2)，且x2'-x1'=2.0´10m,，根据洛伦兹变换，有 3x2'-x1'=(x2-x1)-v(t2-t1)1-v2/c2(t2-t1)-vc22(x2-x1)t2'-t1'=21-v/c由式可得 1é(x2-x1)ù23v=ê1-c=c ú22(x'-x')21ëû2将v值代人式，可得 t'2-t'1=5.77´10-6s 题16.9：若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？ 题16.9解：设宇宙飞船的固有长度为l0，它相对于惯性系的速率为v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为l02，根据洛伦兹长度收缩公式，有 可解得 12l0=l0ævö1-ç÷ècø2v=32c=0.866c 题16.10：一固有长度为 4.0 m的物体，若以速率0.60c沿x轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？ 题16.10解：由洛伦兹长度收缩公式 l0=l0ævö1-ç÷ècø2=3.2m 题16.11：半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3×1016 m。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座a星之间。若宇宙飞船的速率为0.999C，按地球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 题16.11解：以地球上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 Dt=2sv8=2.87´10s»9.0a 以飞船上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 Dt'=Dt1-vc22=1.28´107s»0.40a 题16.12：若一电子的总能量为5.0 MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。 题16.12解：电子静能为 E0=m0c2=0.512MeV,(m0=9.1´10-31kg) 电子动能为 EK=E-E0=4.488MeV 由E2=p2c2+E0，得电子动量为 p=1c(E22-E0)212=2.66´10-21kg×m×s-12ævö÷由E=E0çç1-2÷cèø12可得电子速率为 æE2-E02v=cç2çEèö÷÷ø12=0.995c 题16.13：一被加速器加速的电子，其能量为 3. 00 ´ 109 eV。试问：这个电子的质量是其静质量的多少倍？这个电子的速率为多少？ 题16.13解：由相对论质能关系E之比为 mm0=mc和E0=m0c2可得电子的动质量m与静质量m02EE0=Em0c2=5.86´10 32ævö÷由相对论质速关系式m=m0çç1-2÷cèø12可解得 éæmö2ù0v=ê1-ç÷ç÷úmøúêèëû12，c=0.999999985c 可见此时的电子速率已十分接近光速了 题16.14：在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。 假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E。 题16.14解：辐射总能量为 E=2m0c=1.64´102-13J=1.02MeV 题16.15：如果将电子由静止加速到速率为0.10c，需对它作多少功？如将电子由速率为0.80 c加速到0.90c，又需对它作多少功？ 题16.15解：由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从 v1增加到v2 时，电子动能的增量为 DEk=Ek2-Ek1=(m2c-m0c)-(m1c-m0c)121222ìéü2ùéùævöæv1öï2ï÷ú=m0cíê1-ç-1-ç÷êúýç÷çc÷cêúêúèøèøïëïëûûîþ2222根据动能定理，当v1 = 0， v2 = 0.10c时，外力所作的功为 W=DEk=2.58´103eV 当v1 = 0.80c，v2 = 0.90c时，外力所作的功为 ¢=3.21´105eV W¢=DEk由计算结果可知，虽然同样将速率提高0.1c，但后者所作的功比前者要大得多，这是因为随着速率的增大，电子的质量也增大。