大学物理授课教案 第七章 真空中的静电场.docx

大学物理授课教案 第七章 真空中的静电场第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 第三篇 电磁学 第七章 真空中的静电场 本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。 静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。 §7-1 电荷 库仑定律 一、电荷 ì种类 正电荷 1、电荷 ïïïïíïïïïî负电荷 作用 同性相斥 异性相吸 2、电荷守恒定律 电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它是物理学的基本定律之一。 3、电荷量子化 在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷e的整数倍。这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。 二、库仑定律 点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。 库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比，与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 静电学的基础。 数学表达式：q2受q1的作用力： qqìF12=k122 ï >0 斥力 r12íï<0 吸引 î采用国际单位制，其中的比例常数k=9´109N×m2/c2。 写成矢量形式： vvq1q2ær12öq1q2v÷F12=k2ç=kr12 3ç÷r12èr12ør121令k=，e0=8.85´10-12c2/N×m2 4pe0v1q1q2vr12 Þ F12=34pe0r12vv说明：F12是q1对q2是作用力，r12是由q1指到q2的矢量。 q2对q1的作用力为： vv1q1q2vq1q2vF21=r21=v(-r12)=-F12 34pe0r214pe0r12库仑定律的形式与万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，这是区别。 §7-2 电场 电场强度 一、电场 1、电荷间作用 电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即 ¾直接作用¾¾¾®ì两种看法 ï 超距作用：电荷近代物理学证明后者是正确的。 2、静电场的主要表现 ¬¾¾¾¾¾ï不看传递时间ïï到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着电场，其íïï他带电体受到的电力是电场给予的，即 ®®ï场观点：电荷场电荷 ï电荷 表现 ì电场力：放到电场中的电荷要受到电场力。 íî电场力作功：电荷在电场中移动时，电场力要作功。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 二、电场强度 从静电场的力的表现出发，利用试验电荷来引出电场强度概念来描述电场的性质。 v试验电荷q0，放入A点，它受的电场力为F，试验发现，将q0加倍。则受的电场力也增加为相同的倍数，即 实验电荷：q0 2q0 3q0 nq0 vvvv受力：F 2F 3F nF vvvv力F2F3FnF =×××=实验电荷q02q03q0nq0vF可见，这些比值都为，该比值与试验电荷无关，仅与A点电场性质有关，因此，可q0vF以用来描述电场的性质， q0vvF定义： E= q0为电荷q的电场在A点处的电场强度。 vvE=单位正电荷受的作用力F0 三、场强叠加原理 试验电荷放在点电荷系q1、q2、q3×××qn所产生电场 v中的A点，实验表明q0在A处受的电场力F是各个 vvvv点电荷各自对q0作用力F1、F2、F3×××Fn的矢量和， vvvvv即： F=F1+F2+F3+×××+Fn vvvvvvFF1F2F3vvFnvv按场强定义：E=+×××+=E1+E2+E3+×××+En q0q0q0q0q0nvvÞ E=åEi i=1上式表明，点电荷系电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和，这称为场强叠加原理。 四、场强计算 1、点电荷电场的电场强度 q 在A处产生的场强为：假设A处有试验电荷， vq受力为F，有 vvF1qq0vE=×r q0q04pe0r3第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 即 E= vq4pe0rv (7-4) r3vvvr由q指向A，q >0 E与r同向 vvì<0 E与r反向 íî*点电荷电场球对称。 2、点电荷系电场的电场强度 vÞE=åi=1nq14pe0r13qivrivr1+q24pe0r23vr2+×××+qn4pe0rn3vrn4pe0ri3即 nvv E=åEi (7-5) i=13、连续带电体电场的电场强度 把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有： vdqvdq产生场强为dE=r 34pre0vvdqv总场强E=òdE=òr 34pe0rq4、电偶极子 等量异号点电荷相距为l，如图所示，这样一对点 v电荷称为电偶极子。由-q®+q的矢量l叫做电偶极子 vv的轴，p=ql叫做电偶极子的电矩。 *在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时，这个分子构成了一个电偶极子。 v例7-1：已知电偶极子电矩为p，求 v电偶极子在它轴线的延长线上一点A的EA； r电偶极子在它轴线的中垂线上一点B的EB。 解：如图所取坐标， vvvEA=E+E- ìïïïíïïïîE+=qlöæ4pe0çr-÷2øè2第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 löæ4pe0çr+÷2øè22éùlöælöæçr+÷-çr-÷êúq112øè2øú=q0×èEA=E+-E-=0ê- 2222ú4pe0êæ4pelölölöælöææ0êçr-÷çr+÷úçr-÷çr+÷2ø2øû2øè2øèèëèq2lr2ql2p =×r>>l=22334pe04æ4pe0r4pe0rlöælörç1-÷ç1+÷è2røè2røvvv2pvp ÞEA=EA34pe0r如图所取坐标 vvvEB=E+E- q E+=ìæ2l2ö4pe0çr+2÷ïçï2÷èøíïE-=E+ ïîE=-(Ecosa+Ecosa)=-2Ecosa Bx+-+lq-gl2=-2××= 3222læ2lö2æ2l2ö2r+÷4pe0çr+4pe0çç4çr+4÷÷4÷èøèø-gl-p r>>l=334pe0r4pe0rEBy=0 vvvp ÞEB=EBx=-34pe0r*分立电荷产生场强的叠加问题。 例7-2：设电荷q均匀分布在半径为R的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距x 的p点的场强。 解：如图所取坐标，x轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，dl部分在p点产生的电场为： E-=q2dE=ldlldl =2224pe0r4pe0(x+R)l=q=电荷线密度 2pR第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 dE/=dEcosq=E/=ò2pRlxdl4pe0x2+R(322lxdl4pe0x2+R4pe0x2+R4pe0x2+R根据对称性可知，E=0 qxE=E/= 34pe0x2+R22vq >0 E：沿x轴正向 ìívî<0 ：E沿x轴负向 vvv结论：E与圆环平面垂直，环中心处E=0，也可用对称性判断。 q*x>>R，E= 24pe0x0(322)=(l×2pR)x)(322)=qx(322)()例7-3：半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为s，计算轴线上与盘心相距x的p点的场强。 解：如图所示，x轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为r、宽度为dr的圆环在p点产生的场强为： xdqdE/= 34pe0(x2+r2)2x×s2prdrsxrdr=× 332e04pe0x2+r22x2+r22()()各环在p点产生场强方向均相同， 整个圆盘在p点产生场强为： RsxrdrE/=òdE/=ò× 302e0(x2+r2)2sxRrdr= 3ò02e0(x2+r2)2sx1Rd(x2+r2)=×ò 302e02222(x+r)R=sx111××× 112e02-(x2+r2)220=sxæ11ç-2e0çx2+R2èxö÷ ÷ø第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 ö÷ 22÷x+Røs ì >0：背离圆盘 í<0：指向圆盘 îvv即E与盘面垂直 =xxæç1-2e0çè讨论：R®¥时，变成无限大带电薄平板，E/=s，方向与带电平板垂直。 2e0例7-4：有一均匀带电直线，长为l，电量为q，求距它为r处p点场强。 解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy段在p处产生场强为： qdqldy(l=) dE=222l4pe0r4pe0(y+r)pöææpö由图知： y=rtgb=rtgçq-÷=-rtgç-q÷=-rctgq 2øèè2øìïdy=rcsc2qdq íïldy代中有： dE=î '24pe0rdEx=dEcosb=dEcos(q-=dEcos(p2)p2-q)=dEsinq=ldy4pe0r'2sinqpöææpöQy=rtgb=rtgçq-÷=-rtgç-q÷=-rctgq 2øèè2ørr= dy=rcsc2qdq，r'=cosbsinqlrcsc2qdq dEx=24pe0rsin2qq2lsinqdql=(cosq1-cosq2) Ex=òdE=òx4per4per00q1dEy=-dEsinb=dEcosq q2Ey=òdE=ylcosqldq=(sinq2-sinq1) ò4per4per00q1讨论：无限长均匀带电直线q1=0,q2=p, ÞEx=rr即无限均匀带电直线，电场垂直直线，l>0，E背向直线；l<0，E指向直线。 l,Ey=0. 2pe0r例7-5：有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为s，求在平面附近任一点场强。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 解：如图所取坐标，x轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于z轴的无限长窄条，阴影部分在p点产生场强为 ls(dy×1) dE=2pe0r2pe0rsdyxsxdydEx=dEcosq=×= 122222pe0(x+y)x+y2pe0(x2+y2)2+¥sxdysx+¥dy Ex=òdEx=ò=ò2222-¥-¥2pe02pe0x+yx+y()()=sx1-1ys×Ag=2pe0xx-¥2pe0+¥épæpöùp-=ç÷ê2ú2e 2èøûë0Ey=òdEy=0 结论：无限大均匀带电平面产生均匀场，大小为s 2e0s ìï >0背离平面 íïî<0指向平面 §7-3 电力线 电通量 一、电力线 电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。 v1、E用电力线描述 v规定：E 方向：电力线切线方向 vdN大小：E的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数= dsdN即 E= dsv2、静电场中电力线性质 不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。 任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。 二、电通量 定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用Fe表示。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 下面分几种情况讨论。 1、匀强电场 vv平面S与E垂直。如图所示，由E的 大小描述可知： Fe=ESvv平面S与E夹角为q，如图所示，由E 的大小描述知： vvvvFe=ES=EScosq=E×S (S=Sn) rvn式中为S的单位法线向量。 2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量 如图所示，在S上取面元dS，dS可看成平面，dS上 vvvvvE可视为均匀，设n为dS单位法向向量，dS与该处E夹角 vE为q，则通过dS电场强度通量为： vvdFe=E×dS 通过曲面S的电场强度通量为： vvFe=òdFe=òE×dS vvFe=òE×dS ss在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量 vvFe=òE×dS s注意：通常取面元外法向为正。 §7-4 高斯定理 一、高斯定理 高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量 的定理，现在从一简单例子讲起。 1、如图所示，q为正点电荷，S为以q为中心以任 vvS意r为半径的球面，上任一点p处E为： vqv E=r4pe0r32、通过闭合曲面S的电场强度通量为： 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 s4pe0rs4pe0rvvqqq =òdS=dS=22òe4per4per000sssvvFe=òE×dS=òvqr3v×dSn=òq3rdS 结论：Fe与r无关，仅与q有关(e0=const) 2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量 +q在S内情形 如图所示，在S内做一个以+q为中心， 任意半径r的闭合球面S1，由1知，通过S1 q的电场强度通量为。通过S1的电力线 e0必通过S，即此时Fes=Fes，通过S的电 1vvq0场强度通量为Fe=òE×dS= e0s+q在S外情形。 此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即 穿入与穿出S面的电力线数相等， vvFe=òE×dS=0 s结论：S外电荷对Fe无贡献 qFe= ì q在S内 e0íî0 q在S外 3、点电荷情况 在点电荷q1,q2,q3,×××qn电场中，任一点场强为 vvvvvE=E1+E2+E3+×××+En 通过某一闭合曲面电场强度通量为： vvvvvvv()Fe=òE×dS=òE1+E2+E3+×××+En×dS ssvvvv1vvvv=òE1×dS+òE2×dS+òE3×dS+×××+òEn×dS=sssse0åq S内vv1即 Fe=òE×dS=se0åq S内上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以e0。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。 说明：以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明 高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。 高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。 >0时，不能说S内只有正电荷 ìï <0时，不能说S内只有负电荷 q ïïíïï=0时，不能说S内无电荷 ïîvv1当Fe=òE×dS=se0åS内注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。 vv1高斯定理说明Fe=òE×dS=åq与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不内vv是说E只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，E是由S内、外所有电荷产生的结果。 se0S高斯面可由我们任选。 二、高斯定理应用举例 下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。 例7-6：一均匀带电球面，半径为R，电荷为+q，求：球面内外任一点场强。 解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，v以O为球心任意球面上的各点E值相等。 球面内任一点P1的场强 以O为圆心，通过P1点做半径为r1的球面S1为高斯面，高斯定理为： vv1E×dS=åq òve0Svvs11内E与dS同向，且S1上E值不变 vv2òE×dS=òE×dS=EòdS=E×4pr1 s1s1s11e0åq=0 S1内ÞE×4pr12=0 E=0 即均匀带电球面内任一点P1场强为零。 注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。 球面外任一点的场强 以O为圆心，通过P2点以半径r2做一球面S2作为高斯面，由高斯定理有： 1E×4pr22=q e02ÞE=q4pe0r方向：沿OP2方向 结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。 E= ì0 (r<R) ïq (r>R) 图7-20 í2ï4pe0rî例7-7：有均匀带电的球体，半径为R，电量为+q，求球内外场强。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐v射，在以O为圆心的任意球面上各点的E相同。 v球内任一点P1的E=? 以O为球心，过P1点做半径为r1的高斯球面S1，高斯定理为： vv1òE×dS=åqvvvEEdS与同向，且S1上各点值相等， vv2òE×dS=òE×dS=EòdS=E×4pr1 s1s1s1s1e0S1内q4q3×pr13=r 134e0S1内e0Re0pR333q3ÞE×4pr12=r 31e0RqE=r1 4pe0R3vvE 沿OP方向。 v结论：Eµr1 1åq=注意：不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。 v球外任一点P2的E=? 以O为球心，过P2点做半径为r2的球形高斯面S2，高斯定理为： 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 s2vv1Eò×dS=e01åq S2内由此有： E×4pr22=e0qq ÞE=vE 沿OP2方向 4per202结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷 全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。 qE= ì r (r<R) ï4peR311íqïî4per2 (r>R) 0E-r 曲线如左图。 例7-8：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为+l，求直线外任一点场强。 v解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P做半径为r高为h的圆柱高斯面，上底为S1、下底为S2，侧面为S3。 vv1高斯定理为： òE×dS=åq se0S内在此，有： vvvvvvvvòE×dS=òE×dS+òE×dS+òE×dS ss1s2s3vv在S1、S2上各面元dSE，前二项积分=0 vv又 在S3上E与dS方向一致，且E=常数， vvvvòE×dS=òE×dS=òEdS=EòdS=E×2prh ss3s3s31e0åq=S内1e0lh 1ÞE×2prh=e0lh 即 E=vvE由带电直线指向考察点。 l 2pe0r上面结果将与例4结果一致。 例7-9：无限长均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为s>0，求柱面内外任一点场强。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任v意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。 v1）带电圆柱面内任一点P1的E=? 以OO为轴，过P1点做以r1为半径高为h的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。高斯定理为： vv1òE×dS=s在此，有： vvvvvvvvòE×dS=òE×dS+òE×dS+òE×dS e0åq S内s2s3vv在S1、S2上各面元dS1E，上式前二项积分=0， vv又在S3上dS与E同向，且E=常数， vvòE×dS=òEdS=EòdS=E×2pr1h ss3s3ss11e0åq=0 S内ÞE×2pr1h=0 E=0 结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0 v2）带电柱面外任一点场强E=? 以OO'为轴，过P2点做半径为r2高为h的圆柱形高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。由高斯定理有： 1E×2pr1h=×s2pRh e0s×2pR ÞE=2pe0r2s×2pR=s×2pR×1=单位长柱面的电荷=l vvlE=，E由轴线指向P2。s<0时，E沿P2指向轴线 2pe0r2结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。 例7-10：无限大均匀带电平面，电荷面密度为+s，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相v同的任意二点处的E值相等。设P为考察点，过P点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S1，左端面为S2，侧面为S3，高斯定理为： vv1òE×dS=åq s在此，有： e0S内vvvvvvvvòE×dS=òE×dS+òE×dS+òE×dS ss1s2s3第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 wv在S3上的各面元dSE，第三项积分=0 vvvE又 在S1、S2上各面元dS与E同向，且在S1、S2上=常数， 有： vvòE×dS=òEdS+òEdS=EòdS+EòdS=ES1+ES2=2ES1 ss1s2s1s21e0åq=S内1e01×sS1 ×sS1 e0s即： E= 2e0ÞE×2S1=vvs<0E垂直平面指向考察点。此结论与例5完全一致。 例7-11：有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）+s,+s；2）+s,-s。求：板内、外场强。 解：1）设P1为板内任一点，有 vvvE=EA+EB 即： E=EA-EB=ss-=0 2e02e0设P2为B右侧任一点， vvvE=EA+EB 即 E=EA+EB=2）设P3为二板内任一点， vvvE=EA+EB 即 E=EA+EB=sss +=2e02e0e0sss+= 2e02e0e0设P4为B右侧任一点 vvvE=EA+EB 即： E=EA-EB=ss-=0 2e02e0上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。vv应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算òE×dS=? s1e0vv14）由高斯定理q=?Eåò×dS=S内se0åq求出E。 S内第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 §7-5 静电场力的功 电势 此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述静电场的性质。 一、静电场力的功 力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只与始末二位置有关，而与路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的功 W=势能增量的负值(-DEp) 在此，我们研究一下静电力是否为保守力。 1、点电荷情况 点电荷+q置于O点，实验电荷q0由a点 vv运动到b点。在c处，q0在位移dr内，静电力F 对q0的功为： rbbo+qvvvvqq0vvdW=F×dr=q0E×dr=r×dr 34pe0rvvr×r=r2 vvvvdr×r+r×dr=2rdr vvÞ2r×dr=2rdr qq0qq0dW=r×dr=dr 4pe0r34pe0r2rarrr+drrrrdrq0caqrF图 7-28qq0rb1qq0é11ùa®b: W=òdW= dr=ê-ú 4pe0òrar24pe0ërarbû可见：W仅与q0的始末二位置有关，而与过程无关。 2、点电荷系情况 设q0在q1、q2、×××、qn的电场中，由场强迭加原理有： vvvvE=E1+E2+×××+En q0从a®b中，静电场力的功为： vvvvvvvvvvW=òF×dr=òq0E×dr=òq0E1×dr+òq0E2×dr+×××+òq0En×dr ababababab上式左边每一项都只与q0始末二位置有关，而与过程无关，点电荷系静电力对q0作的功只与q0始末二位置有关，而与过程无关。 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 3、连续带电体情况 对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2中结论仍成立。 综上所述，静电场力为保守力。q0在静电场中运动一周，静电力对它作功为： vvvvdrqE×dl=0dl 0òlvvÞ òE×dl=0 q0¹0 l此式表明，静电场中的环流=0，这一结论叫做场强环流定律。 静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定律。、等价，由知，电场线不可能闭合） 二、电势能 电势 1、电势能： 静电场为保守力场，可以引进相应势能的概念，此势能叫做电势能。设Epa、Epb为q0在a、b二点的电势能，可有 bvv -Epb-Epa=Wab=q0òE×dr a电势能的零点与其他势能零点一样，也是任意选的，对于有限带电体，一般选无限远处Ep¥=0选Epb=0，令b点在无穷远，有 Epa=q0ò此,电势能零点取在无限远处。 2、电势 bavvE×dr 结论：q0在电场中某点的电势能=q0从该点移到电势能为零处电场力所作的功，在q0vvF与q0无关。它如同E=一样，反映的是电场本身的性质，该物理量称为电势，记做Ua， q0Epa定义：Ua=为a点电势，选Epb=0时，有 q0bvvUa=òE×dr a由Epa表达式知，它与位置a有关，还有q0有关。但是Epa且仅与位置a有关，而选b®¥，有 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 ¥vv Ua=òE×dr a结论：电场中某一点a的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零处静电力对它做的功。A点电势等于把单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。 说明：1）Ua为标量，可正、负或0。单位：V 2）电势的零点任选。在理论上对有限带电体通常取无穷远处电势=0，在实用上通常取地球为电势零点。一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地方都可以方便地将带电体与地球比较，以确定电势。 3）电势与电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，而电势能是电场中电荷与电场组成的系统所共有的，若电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存在的。 4）场强的方向即为电势的降落方向。 3.电势差： 电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。 ¥vbvv¥vvvua-ub=òE×dr-òE×dr=òE×dr ababvv ua-ub=òE×dr a结论：a、b二点电势差等于单位正电荷从a®b静电力做的功。 三、电势的计算 ¥1、点电荷电势： 4pe0r3¥qqv 可沿r方向积分òdr=a4per24pe0r0aaua=ò¥vv¥E×dr=òqvvr×dr arr+q2、点电荷系电势 设有点电荷q1，q2，×××，qn， vv¥v¥rvvua=òE×dr=òE1+E2+×××+En×draa¥v¥vv¥vvv=òE1×dr+òE2×dr+×××+òEn×drr1q1图 7-29ar2()q2.rnaaa=q4pe0r1+q24pe0r2+×××+qn4pe0rnqn图 7-30第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 =åi=1nqi4pe0riua=åi=1nqi4pe0ri结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和， 此结论为静电场中的电势叠加原理。 3、连续带电体电势 设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，dq在a处产生电dq势为：dua= a4pe0rdqr整个带电体在a处产生的电势为： dqq ua=òdua=òq4per0例7-12：均匀带电圆环、半径为R，电荷为q， 求其轴线上任一点电势。 解：如图所示，x轴在圆环轴线上， ¥vv 方法一用up=òE×dr解： x图 7-31圆环在其轴线上任一点产生的场强为 vqxEE= 34pe0(R2+x2)2¥vvup=òE×dr x积分与路径无关，可沿x轴®¥òEdx x¥=ò¥qx4pe0R2+xx(3221¥dR2+x2 =×34pe02òxR2+x22q()dx )()¥=11××14pe02-2q04pe0R+x22q1R+x22x方法二用电势叠加原理解up=òdup 把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，dE在p点产生电势为： 第七章 真空中的静电场 沈阳工业大学 郭连权 dup=整个环在p点产生电势为： dq4pe0r=dq4pe0R+xdq=22up=òdup=ò讨论：1）x=0处，up=qq4pe0R+x22q4pe0R+x224pe0Rq2）x>>R时，up=，环可视为点电荷。 4pe0x例7-13：一均匀带电球面，半径为R，电荷为q， 求球面外任一点电势。 解：如图所取坐标，场强分布为 vE= ì 0 ïqvïr í34pe0rï球面外任一点P1处电势 ïîup1=ò=ò¥r1¥r1vv¥vE×dr=òEdr r1q4pe0rdr=2q4pe0r结论：均匀带电球面外任一点电势，如同全部电荷都集中在球心的点电荷一样。 球面内任一点P2