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大学物理授课教案 第十章 电磁感应第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 第十章 电磁感应 §10-1法拉第电磁感应定律 一、电磁感应现象，感应电动势 电磁感应现象可通过两类实验来说明： 1实验 1）磁场不变而线圈运动 2）磁场随时变化线圈不动 2感应电动势 由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何，回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。 3电动势的数学定义式 定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即 rrre=òK·dlK：非静电力 l()说明：由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为 r正极re=òK·dl 负极表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普rrr遍式表示：e=òK·dlK：非静电力 l()电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。 二法拉第电磁感应定律 1、定律表述 在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式： dFei=-k dt在SI制中，k=1，有 dFei=- dt上式中“-”号说明方向。 2、ei方向的确定 为确定ei，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dFei=-计算ei。 dt F>0,dFdF>0Þei<0 F>0,<0Þei>0 dtdt>0:沿回路绕行方向 ei<0:沿回路绕行反方向此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。 说明：实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 楞次定律是能量守恒定律的反映。 例10-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，AB边也可以左右滑动，设以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。 解：取回路顺时针绕行，AB=l,AD=x, 则通过线圈磁通量为 rrF=B·S=BScos0o=BS=BLx 由法拉第电磁感应定律有： dFei=-dtdx=-Bl dtdxæö=-Blv>0÷çv=dtèø“-”说明：ei与l绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知，ei沿逆时针方向。 讨论：如果回路为N匝，则F=Nj e1dF设回路电阻为R，感应电流Ii=i=- RRdt在t1t2内通过回路任一横截面的电量为 q=òIidtt1t2=ò-t1t21dFdtRdt1F(t2)=-òdFRF(t1)1=-F(t2)-F(t1)R可知q与成正比，与时间间隔无关。 例10-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。可见该边就是回路电源。该电源的电动势是如何形成的？或者说产生它的非静电力是什么？从图中可知，运动时，其上自由电子受洛仑兹力作用，从而B端有过剩的正电荷，A端有过剩的负电荷，形成了B端是电源正极，A端为负极，在洛仑兹力作用下，电子从正极移向负极，或等效地说正电荷从负极移向正极。可见，洛仑兹力正是产生动生电动势的非静电力。 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 §10-2动生电动势 一、产生动生电动势的非静电力 产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。 二动生电动势ei公式的导出 一个电子受洛仑兹力为 f=(-e)v´B 它是产生动生电动势的非静电力。单位正电荷受洛仑兹力为：®®®-fK=v´B (-e) ®®由电动势定义，则动生电动势为： ei=òK·dl l®® =(v´B)·dl lò®®®¯除AB边外其他没动，即v=0=ò(v´B)·dlAB®®®®动生电动势公式 ei=ò(v´B)·dl ®A®®®说明：ei的方向为沿(v´B)在dl上分量的方向。 ei>0ei沿A®B方向，即B点比A点电势高； ei<0ei沿B®A方向，即B点比A点电势低。 B®®用ei=ò(v´B)·dl可求出运动回路电动势。 l®®®用ei=ò(v´B)·dl可求出非闭合回路运动的动生电动势。这时，AB相当一个开AB®®®路电源，其端电压与ei在数值上相等，但意义不同：UB-UA是单位正电荷从B移到A时静电力作的功，ei是单位正电荷从A移到B时非静电力作的功。 三、动生电动势计算举例 例10-2：用 ei=ò(v´B)·dlj解例1 AB®®®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 解：整个回路的电动势即由AB运动引起的动生电动势 A点。*如图所示，长为l的细导体棒在匀强磁场中，绕过A处垂直于纸面的轴以角速度w匀速转动。求AB的ei=? 解：方法一：用ei=ò(v´B)·dl解段产生的动生电动势为： dei=(v´B)·dl ®B®®®®®A®®已知：v´B与dl同向。 dei=vBdl=wBldl AB 棒产生的电动势为 ei=òdei =ò(v´B)·dl =òwBld l0®®®B®®®Al1wBl2 2 Qei>0ei沿A®B方向。即B比A点电势高。 =dF方法二：用ei=-解 dt设t=0时，AB位于AB位置，t时刻转到实线位置，取ABBA为绕行方向，则通过此回路所围面积的磁通量为 F=B·S =BScos0o 1=B·wtl2 2®®®®®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 dF dt1=-wBl2 2Qei<0， ei沿A®B'®B®A方向。 Q 回路中只有AB产生电动势 1 AB段电动势值为ei=wBl2 2ei沿A®B方向。 Þei=-ædFçei=-是相对回路而言的。dtç注意：ç ç®örçe=Bæ®çiòAçv´B÷·dl可用在非闭合回路上。èøè例10-4：如图所示，一无限长载流导线AB，电流为I，导体细棒CD与AB共面，并互相垂直，CD长为l,C距AB为a,CD以匀速度v沿A®B方向运动，求CD中ei=? 解：dx段产生的动生电动势为 dei=(v´B)·dx ®®®®®QB垂直指向纸面 v´B指向D®C方向， ®®®®即与dx反向。 v´B大小为VB。 ®æ®®ödei=çv´B÷·dxèø=vBdxcosp®®=-vBdxmI=-v0dx2pxCD产生的ei为 ei=òdei=-ò=-a+lavm0Idx 2pxm0Iva+lln2pa®®®Qei<0,ei沿D®C,即C点比D点电势高。例10-5：如图所示，平面线圈面积为S ，共N匝，在匀强磁场B中绕轴OO'以 ®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 速度w匀速转动。OO轴与B垂直。t=0时，线圈平面法线n与B同向。 圈中ei=? 线圈电阻为R，求感应电流Ii=? 解：设t时刻，n与B夹角为q，此时线圈磁通量为： F=Nj®'®®®®æ®®ö=NçB·S÷ èø =NBScosq=NBScoswt由法拉第电磁感应定律知： dFei=-dt=NBSwsinwt=ei0sinwt(ei0=NBSw=eimax)Ii=eiRsinwt=ei0R=I0sinwt(I0=ei0R=NBSwR=Iimax）§10-3 感生电动势 涡旋电场 一、产生感生电动势的非静电力 导体在磁场中运动时，其内的自由电子也跟随运动，因此受到磁力的作用，我们已经知道，洛仑兹力是动生电动势产生的根源，即是产生动生电动势的非静电力。对于磁场随时间变化而线圈不动的情况，导体中电子不受洛仑兹力作用，但感生电流和感应电流的出现都是实际事实。那么感生电动势对应的非静电力是什么呢？麦克斯韦分析了这种情况以后提出了以下假说： 变化的磁场在它周围空间产生电场，这种电场与导体无关，即使无导体存在，只要磁场变化，就有这种场存在。该场称为感生电场或涡旋电场。涡旋电场对电荷的作用力是产生感生电动势的非静电力。 说明：涡旋电场与静电场的异同点。 相同点：二者对电荷均有作用力。 不同点：涡旋电场是变化磁场产生的，电力线是闭合的，为非保守场第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 静电场是由电荷产生的，电力线是闭合的，为保守场l®®®®再根据法拉第电磁感应定律，可有 ei=òE涡·dl =-l®®dF dt说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式ei= -dF只适用于导体构成的闭合dt®®l回路情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律ei=òE涡·dl dF，则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，闭合回路是在真空中还是在介质中都dt适用。这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回®®dF路的环流总是满足ei=òE涡·dl =-。只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，ldt而形成感应电流；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电动势还是存在的。 =-三、涡旋电场强度及感生电动势计算 例10-6：如图所示，均匀磁场B被局限在半径为R的圆筒内，B与筒轴平行，求筒内外E涡=？ 解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场，其闭合的电力线是一系列同心圆周，圆心在圆筒的轴线处。 1）筒内P点E涡=？ 取过P点电力线为闭合回路l，绕行方向取为顺时针，可知 ®®dF- = E·dlòl涡dt®®®®dB>0 ，dtòEl®涡·dl =òlE涡dl =E涡òdl 涡®=E涡·2pr 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 dFdé®®ù=B·Súdtdtêëûd=BScos0o dtdB=pr2dtdB ÞE涡·2pr=-pr2dt1dB即 E涡=-r 2dtdBQ>0E涡0 dtE涡方向如上图所示，即电力线与l绕向相反。 ®2）筒外Q点E涡=？ 取过Q点电力线l为回路，绕行方向为顺时针。 ®Qò'E涡·dl=òl'E涡dl' l®®'=E涡ò'dl' l=E涡2pr dFdé®®ù及 =êB·Sú dtdtëûdBScos0o =dtdB=pR2 dtdBE涡2pr'=-pR2 dtR2dB'即 E涡=- 2rdtdB'Q>0E涡0 dt'方向如上图所示。 E涡注意：在筒外也存在电场。 磁通量的计算。 E涡方向可用楞次定律判断。 ®dB¹0，则E涡¹0 回路无导体时，只要dt®®例10-7：如图所示，均匀磁场B被限制在半径为R的圆筒内，B与筒轴平行，dB>0。dt回路abcda中ad、bc均在半径方向上，ab，dc均为圆弧，半径分别为r 、r、®®®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 q已知。求该回路感生电动势。 解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场的电力线示是一系列同心圆，圆心为O. <方法一>用ei=òE涡·dl解 l®® 取abcda 为绕行方向， ei=òE涡·dl l®® =òE涡·dl+òE涡·dl+òE涡·dl+òE涡·dl ab®®®®®®®®Q在bc、da上，dl垂直于E涡 。 E涡·dl=0 ei=òE涡·dl+òE涡·dl abcd®®®®®®bc®cdda®=òE涡×dlcos0+òE涡×dlcosp oabr®®®®cd2RRdB1dBdl ò×dl =òr02dt02r'dt1dBrR2dBr'dl 'dl =ròò002dt2rdt1dBR2dB·qr '·qr' =r2dt2rdt1dB =q(r2-R2) 2dt Qei<0 ei为逆时针方向。 dF<方法二>用ei= -解 dt通过回路l的磁通量等于阴影面积磁通量 rrF=B·S =BS 11=B(qR2-qr2) 22dF1dBei=-=q(r2-R2) dt2dtQei<0ei逆时针方向。 讨论：在半径方位上不产生电动势，E涡垂直于dl 强调：一题多解，并学会简单方法。 简介：涡电流现象。 ®®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 §10-4自感与互感现象 一、自感现象 1自感现象 当一回路中有电流时，必然要在自身回路中有磁通量，当磁通量变化时，由法拉第电磁感应定律可知，在回路中要产生感应电动势。由于回路中电流发生变化而在本身回路中引起感应电动势的现象称为自感现象。该电动势称为自感电动势。 2自感系数 定义：设通过回路电流为I，由毕沙定律可知，这电流在空间任意一点产生的B其大小与I成正比，所以通过回路本身的磁通量与I成正比，即 F=LI (10-6) ®式中：L定义为自感系数或自感，L与回路的大小、形状、磁介质有关。在SI单位制中，L单位为亨利，记作H。 自感电动势与L的意义 自感电动势记为eL， dFdIdL=-(L+I) eL= -dtdtdt当回路的形状、大小、磁介质不变时，L=cost eL=-LdI dt当线圈有N匝时，F=Nj ，j为一匝线圈磁通量，即自感系数扩大N倍，Nj称为磁通链匝数。 说明：、式均可看作L的定义式，它们是等效的。 L的意义： 由(1)式知，自感系数L在数值上等于回路中电流为1个单位时通过回路的磁通量。 由(10-7)式知，回路中自感系数在数值上等于电流随时间变化为1个单位时回路中自感电动势的大小。 例10-8：如图所示，长直螺线管长为l，横截面积为S，共N匝，介质磁导率为m 。求L=? 解：设线圈电流为I，通过一匝线圈磁通量为 j=BS=mnIS 通过N匝线圈磁通链数为 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 F=Nj=NmnIS 由F=LI有 NL=NmnS=mn(lS)=mn2V l说明：由于计算中忽略了边缘效应，所以计算值是近似的，实际测量值比它小些。 L只与线圈大小、形状、匝数、磁介质有关。 例10-9：如图所示，同轴电缆半径分别为a、b,电流从内筒端流入，经外筒端流出，筒间充满磁导率为m的介质，电流为I。求单位长度同轴电缆的L0=? ®I解：由安培环路定律知，筒间距轴r 处H大小为：H= 2prmI ÞB=2pr取长为h一段电缆来考虑，穿过阴影面积磁通量为： dF=B·ds=Bds=Bhdr ÞF=òdF ®®®mIhdr a2prmIhb=0ln 2paFmhbL=0ln I2paLmb单位长电缆自感系数为L0=0ln h2pa=òb二 、互感现象 1、互感现象 假设有两个临近的线圈1、2，如图所示，它们通过电流分别为I1、I2。I1 产生的磁场，其部分磁力线通过线圈2，磁通量用21 表示，当I1 变化时，在线圈2中要激发感应电动势e21,同理，I2 变化时，它产生的磁场通过线圈1的磁通量12 也变化，在回路1中也要激发感应电动势e12。如上所述，一 个回路的电流发生变化时，在另外一个回路中激发感应电动势的现象称为互感 现象，该电动势称为互感电动势。 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 2、互感系数 定义：根据毕沙定律，I1 在空间任一点产生的磁感应强度大小与I1 成正比，所以，I1 产生的磁通量通过线圈2的磁通量21 也与I1 成正比，即 F21=M21I1 同理： F12=M12I2 理论和实际都证明M12=M21=M F21=MI1üï ý F21=MI1ïþ式中：M定义为互感系数，或互感。M与回路的大小、形状、磁介质及二者相对位置有关。在SI单位制中，M单位为H。 互感电动势与M意义 由法拉第电磁感应定律知，e21=-dF21dIdM=-(M1+I1) dtdtdt当回路大小、形状、磁介质、线圈相对位置不变时，M=cost dIüe21=-M1ïdtïý (10-9) dI2ïe12=-Mdtïþ当线圈1、2分别有N1 、N2 匝数，磁通链数分别为 F21=N2j21ü ý F12=N1j12þM意义：由式知：M在数值上等于其中一个线圈通有一个单位电流时在另外一个线圈中通过的磁通量。 由知：M在数值上等于其中一个线圈中电流变化率为一个单位时在另一个线圈中产生互感电动势的大小。 例10-10：如图所示，一螺线管长为l，横截面积为S，密绕导线N匝，在其中部再绕N2匝另一导线线圈。管内介质的磁导率为m，求此二线圈互感M=？ 解：设长螺线管导线中电流为I1，它在中部产生B1的大小为 ®第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 B1=mN1I1 lI1产生的磁场通过第二个线圈磁通链数为： F21=N2j21=N2B1·S=N2B1S=N2m依互感定义：M=®®N1I1Sl有 F21I1M=mN1N2S l例10-11：如图所示，两圆形线圈共面，半径依次为R1、R2，R1>>R2，匝数分别为N1、N2。求互感系数。 解：设大线圈通有电流I1 ，在其中心处产生磁场B大小为 mINB1=011 2R1 R1>>R2，小线圈可视为处于均匀磁场，B为O处值记为B1， 通过小线圈的磁通链数为 F21=N2j21®®®=N2B1·S2®®=N2B1S2=N22R1(取B1与S2同向）®®m0I1N1pR22由M=mNNF212有,M=012pR2 I12R1§10-5 磁场能量 如图所示，R为电阻，L为自感线圈，e为电源电动势。K为电键。K刚关闭后，由闭合回路的欧姆定律 e-eL=IR 上式两边同时乘以Idt ，并对时间积分，有 òeIdt0t-òe0tLIdt=òI0t2Rdt 第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 QeL=LdIdtdI>0 在0-t时间内 òeIdt0t-òI0LIdI=¯òt0I2Rdt¯¯电源作功反抗自感电动势作功=电路R上焦耳热 即电源作功一部分用来产生焦耳热，一部分用来克服自感电动势做功。我们知道，当电路上电流从0®I时，电路周围空间建立起来逐渐增强的磁场，磁场与电场类似，是一种特殊形态的物质，具有能量。所以，电源反抗自感电动势作的功，必然转变为线圈的磁场能量。所以，磁场能量为 1Wm=òLIdI=LI2 021Wm=LI2 21此公式与电场能量相类似，下面以螺线管为例，求出磁场能量密度表达2式。环行螺线管磁场能量为： 1Wm=LI221=mn2VI2 21B2=V2m式中V为螺线管体积，可得磁场能量密度函数为 Wm1B21Wm=BH(B=mH) V2m2IB21wm=BH 2m211此式与电场能量密度we=eE2=DE 相类似。 221说明：Wm=LI2对任意线圈均成立。 2wm表达式普遍成立。 任意磁场中，能量可表示为 B21Wm=òwmdV=òdV=òBHdV nn2mn2例10-12：用磁场能量方法解例10-9。 (I)ì0ïï(II)。除两筒间外无磁场能量。在筒间距轴线解：由安培环路定律知，B=ímI2prïï(III)î0第十章 电磁感应 沈阳工业大学 郭连权 为r处，wm为： 12mI2 wm=B=22 2m8pr在半径为r处、宽为dr、高为h的薄圆筒内的能量为 mI2mhI2 dWm=wmdV=22·2pr·dr·h=dr 4pr8pr在筒间能量为： mhI2mhI2bWm=òdWm=ò·dr=ln 4prW12m=2LI L=mhb2plna LLmb0=h=2plna4pa单位长同轴电缆为：