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大学物理授课教案 第十二章 机械振动第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 第四篇 振动与波动 第十二章 机械振动 §12-1简谐振动 1、弹簧振子运动 如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用 在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向 O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使m速率减小，直至物体静止于B，之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。 这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图12-1 2、简谐振动运动方程 由上分析知，m位移为x时，它受到弹性力为： F=-kx (12-1) 式中： 当x>0即位移沿+x时，F沿-x，即F<0当x<0即位移沿-x时，F沿+x，即F>0 k为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x反向。 定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，m加速度为 a=Fkx=-mm d2xkd2xa=2+x=02mdt dt k=w2k、m均大于0，可令 m 可有： 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 d2x+w2x=02dt (12-2) 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 x=Asin(wt+j') (12-3) 或 x=Acos(wt+j) (12-4) pöæçj=j'-÷2ø è式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。 3、谐振动的速度和加速度 d2xa=2=-w2Acos(wt+j)=-w2xdt加速度： (12-6) ìVmax=wA 可知：í2îamax=wA x-t 、V-t、a-t曲线如下 ìïïïíïïïî物体位移：x=Acos(wt+j) dxV=-wAsin(wt+j)dt速度： (12-5) 图12-2 图12-3 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 说明：F=-kx是谐振动的动力学特征； 2a=-wx是谐振动的运动学特征； 做谐振动的物体通常称为谐振子。 §12-2 谐振动的振幅 角频率 位相 上节我们得出了谐振动的运动方程x=Acos(wt+j)，现在来说明式中各量意义。 1、振幅 做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做A。A反映了振动的强弱。 2、角频率 为了定义角频率。首先定义周期和频率。 物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示； 在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用v表示。 11T=T 或 v 由上可知：T为周期，x=Acos(wt+j)=Acosw(t+T)+j v=从t时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来t时刻状态，wT=2p 2p=2pvÞ T 可见：w表示在2p秒内物体所做的完全振动次数，w称为角频率 kw=m w=mìwk ïíw1kïv=î2p2pm 对于给定的弹簧振子，m、k都是一定的，所以T、v完全由弹簧振子本身的性质T=2p2p所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。 3、位相 在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当A、第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 w给定后，物体的位置和速度取决于(wt+j)，(wt+j)称为位相。 由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。j是t=0时的位相，称为初相。 4、A、j的确定 对于给定的系统，w已知，初始条件给定后可求出A、j。 初始条件：t=0时 ìïx=x0í 由x、v表达式有 ïv=v0 ïxAîì0=cosjíïîvwAsin 0=-j 即 x0=Acosj üæïçè-v0öw÷ø=Asinjýï þ Þ tgj=-n0wx即 0j=arctg-v0wx0 A=x2+v200w2 j值所在象限： 1）x0>0，v0<0：j在第象限 2）x0<0，v0<0：j在第象限 3）x0<0，v0>0：j在第象限 4）x0>0，v0>0：j在第象限 5、两个谐振动物体在同一时刻位相差 设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4 x1=A1cos(w1t+j1) x2=A2cos(w2t+j2) 任意t时刻二者位相差为 Dj=(w2t+j2)-(w1t+j1)=(w2-w1)t+(j2-j1) >0：2的位相比1超前 =0：2、1同位相 <0：2的位相比1落后 12-6）12-7） 例12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知k=1.60N/m，m=0.40kg，试求下列情况下m的振动方程。 将m从平衡位置向右移到x=0.10m处由静止释放； 将m从平衡位置向右移到x=0.10m处并给以m向左的速率为0.20m/s。 解：m的运动方程为 x=Acos(wt+j) w=由题意知：k1.60=2/sm0.40 2v0x=0.10mv0=0初始条件：t=0时，0， 可得：A=x+20w2=0.102+0=0.10m 图12-5 -v0=arctg0wx0ox0>0v0=0j=0， Þ x=0.10cos(2t)m x=0.10mv0=-0.20m/s2） 初始条件：t=0时，0， j=arctg=0.12m22 -væ-0.20öj=arctg0=arctgç-÷=arctg1wx02´0.10èø pj=x>0v0<04 0，2A=x0+2v0w2=2()-0.200.102+pöæx=0.12cosç2t+÷m4ø èÞ 可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。 例12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。 (1)证明：当摆角q很小时小球做谐振动； (2)求小球振动周期。 证：设摆长为l，小球质量为m，某时刻小球悬线与铅 直线夹角为q，选悬线在平衡位置右侧时，角位移q为正，由 转动定律： M=Ja 有 22dq(-mgsinql)=ml2dt 图12-6 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 d2qg+sinq=02dtl即 q很小。sinq»0 d2qg+q=02lÞ dt 这是谐振动的微分方程 小球在做谐振动。 2pl=2pwggl T=2p§12-3 表示谐振动的旋转矢量方法 在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。 一、旋转矢量 v自ox轴的原点o作一矢量A，其模 v为简谐振动的振幅A，并使A在图面内 绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动 rw角频率，矢量A称为旋转矢量。 二、简谐振动的旋转矢量表示法 图12-7 vvA旋转矢量A的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为 v旋转矢量A以角速度w旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。 t=0时刻，旋转矢量与x轴夹角j为谐振动的初相，t时刻旋转矢量与x轴夹角(wt+j)为t时刻谐振动的位相。 说明：旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。 必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。 旋转矢量与谐振动x-t曲线的对应关系 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 图12-8 三、旋转矢量法应用举例 t=0时，例12-3： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。位移为0.06m，且向x轴正向运动。 求物体振动方程； 设t1时刻为物体第一次运动到x=-0.06m处，试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。 解：设物体谐振动方程为 x=Acos(wt+j) ìA=0.12m由题意知 ïíïw=2p=2p=pS-1 îT2j=? 方法一用数学公式求j x0=Acosj x=0.06mA=0.12m,0 1pcosj=j=±2 Þ 3 v=-wAsinj>00 j=-p3 方法二用旋转矢量法求j 根据题意，有如左图所示结果 3 图12-9 pöæx=0.12cosçpt-÷m3ø èÞpöæx=0.12cosçpt-÷m3ø èÞ j=-p第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 由上可见，方法二简单 方法一用数学式子求Dt pöp(-0.06)=0.12cosæçpt1-÷wt1-<2p3ø p24pt1-=ppÞ 33 或 3 pöæv1=-Awsinçpt1-÷<03øè此时 2=p33 Þ t1=1s 设t2时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置， pt1-ppöæ0=0.12cosçpt2-÷3ø è有：Þ pt2-p3=p3ppwt2-<2p2或2 pöæv2=-Awsinçpt2-÷>03øè 3=p32 11t2=sÞ 6 115Dt=t2-t1=-1=s66 方法二用旋转矢量法求Dt pt2-pvt由题意知，有左图所示结果，M1为1时刻A vt2A末端位置，M2为时刻 末端位置。从 vt1-t2内A转角为 pp5Dj=w(t2-t1)=ÐM1OM2=+=p326 5p5p5Dt=t2-t1=6=×=sÞ w6p6 显然方法二简单。 图12-10 例12-4：图为某质点做谐振动的x-t曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为x=Acos(wt+j) 由图知： ìA=10cm ï2p2pí=ps-1ïw=îT2 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 图12-11 用旋转矢量法可知， pöæx=10cosçpt-÷cm2ø èÞ j=-p3p2 例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，A为振幅，t=0时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。 图12-12 §12-4 谐振动的能量 EE对于弹簧振子，系统的能量E=k+p x=Acos(wt+j) 已知： ì物体位移 ív=-wAsin(wt+j) î物体速度 11E=Ek+Ep=mv2+kx2Þ 22 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 1122×m-wAsin(wt+j)+kAcos(wt+j)22 11=mw2A2sin2(wt+j)+kA2cos2(wt+j)2(mw=k) 22 1=kA2sin2(wt+j)+cos2(wt+j)2 1=kA22 11E=kA2=mw2A222 =E=Ek+EpEE说明：虽然k、p均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。 E=0Ek=Ekmax=EEx=AEk与p互相转化。当x=0时，p，。在处，Ek=0Ep=Epmax=E，。 1Ek=Ep2的位置。例12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为A。试求 解：设弹簧的倔强系数为k，系统总能量为 1E=Ek+Ep=kA22 1Ek=Ep2时，有 在331Ek+Ep=Ep=×kx2222 3212kx=kAÞ 42 2x=±A3 例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数k=25N/m，物块m1=0.6kg，物块m2=0.4kg，m1与m2间最大静摩擦系数为m=0.5，m1与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使m2在振动中不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。 解：系统的总能量为 1E=kA22 1Ekmax=E=kA2E=02 m2不致从m1上滑落时，须有 m2a£m2gm 图12-13 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 极限情况 (m+m2)gmA=2=gm×1wk即 221æm1+m2ö12gmEkmax=k×çgm÷=(m1+m2)2èkø2k Þ 19.82´0.522=(0.6+0.4)´=0.48J225 2amax=gm=Aw2§12-5 同方向同频率两谐振动合成 一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。 取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为 ìïíïîA1、A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；j1、j2分别表示第一个振动和第二个振动的初相。 w是两振动的角频率。由于x1、x2表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移x在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即 x=x1+x2 x1=A1cos(wt+j1) x2=A2cos(wt+j2) 为简单起见，用旋转矢量法求分振动。 图12-14 图12-15 vvvvvv如图所示，t=0时，两振动对应的旋转矢量为A1、A2，合矢量为A=A1+A2。A1、vvvvvA2以相同角速度w转动，AA转动过程中1与2间夹角不变，可知A大小不变，并且A也第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 vw以转动。任意时刻t，A矢端在x轴上的投影为： vA因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，A为合振动振幅，j为合振动初相。合振动方程为： x=Acos(wt+j) 由图中三角形OM1M2知： x=x1+x2 A=2A12+A2+2A1A2cos(j2-j1) 由图中三角形OMP知： Asinj1+A2sinj2PMtgj=1=A1cosj1+A2cosj2OP 讨论：j2-j1=2kp (k=0,±1,±2,×××)时Þ A=A1+A2 A=A1-A2j2-j1=(2k+1)p (k=0,±1,±2,×××)时Þ 0.2m，位相与第一振动例12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为p-13´10m，用振幅矢量法求第二振动的6的位相差为，若第一振动的振幅为振幅及第一、第二两振动位相差。 解：A2=? pp22-12A2=A1+A-2A1Acos=3´10+0.22-2´3´10-1´0.2cos66 =0.1m ()2 A=A+A 图12-16 例11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为pö2öææx2=Acosçwt+÷x3=Acosçwt+p÷x1=Acoswt，3ø，3ø，试用振幅矢量方法求合èè22122j2-j1=p振动方程。 解：如左图，j=pvrvv3 A=2A1cosj+A2=2Acos+A=2A3 pöæx=2Acosçwt+÷3ø èÞp 图12-17