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大学物理第章真空中的静电场第一次作业 真空中的静电场 一、选择题 1.C ；2.B ；3.C；4.B；5.B；6.C；7.E；8.AD； 9.B；10.BD 二、填空题 1. 1qb820R3；由圆心指向缺口。 2. q0；F1<F2。 3. 均匀带电薄球壳。 4. e0E1-E2h2-h1；2.21´10-12C/m3。 5. 100N/C；8.85´10-9C/m2。 6. -135V；45V。 7. q0UE=14pe0q0Q6pe0Rq；q0UC¥=0；q0UCE=-qx； q0Qq0Q；q0UE¥=6pe0R6pe0R。 8. x2+R ； 2140(x+R)23222q。 R； =433N/C22630R 9. 有源场；保守场。 三、问答题 答：E电场强度从力的角度描述电场的性质，矢量场分布；U从能和功的角度描述电场的性质，标量场。 E与U的关系为： vv¥vE=-gradU，Ua=òE×dl a使用叠加原理计算电场强度，注意先将各个场源产生的电场强度分解到各坐标轴，然后再叠加。 使用叠加原理计算电势，要注意电势零点的选择。 四、计算与证明题： 1证： vvvvE=EAB+EBC+ECD 根据对称性分布，两段直导线AB和CD在O点产生的电场强度大小相等，方向相反，则EABvv+ECD=0。 在半圆形BC上取电荷元dl，则dq=ldl，相应的在O点产生dE为 dE=ldl4pe0a2由于对称分布分析可知Ex=0，设dE和y轴夹角为，且有dl=adq dEy=ldllcosq=cosqdq 4e0a24e0apv-lllv2Ey=j 得证 E=pcosqdq=4e0aò22e0a20a半圆形BC在O点产生的电势为：dU1= ldl40a， U1=1 40aò0ladl=lp40带电导线AB或CD在O点产生的电势为：dU2=ldll， U2=4e04e0lò2aadll=ln2 l4pe0 总电势：U=U1+2U2=l(+2ln2) 得证 4e0vv12E×dS=EdS=E4pr=2解：取高斯面为同心球面，由高斯定理：òòSSe0åq，得 43Qr33当rR时，åq=rr=r=3Q43RR33当r>R时 ÞE1=Qr (r<R) 34e0Råq=QÞ1E24r=Qe02ÞQE2= (r>R) 4e0r2 选无穷远为势能零点。 当rR时，即球内一点电势为 U1=ò¥rvvRv¥vvvE×dr=òE1×dr+òE2×dr=rRQ4pe0R3òRrrdr+Q4pe0ò¥RdrQr2=(3-2) r28pe0RR当r>R时，即球外一点电势： ¥v¥QvU2=òE×dr=òE2dr=rr4pe0ò¥rdrQ=r24pe0r 球内电荷虽沿径向分布不均匀，但电场仍是球形对称，则作高斯面为半径为r的同心球面。 当rR时，选一个半径为r、厚度为dr的薄球壳，则 Q12Q24r'dr'=r'dr' 222Rr'R2QrQ2 高斯面内总电荷：åq=r(r')dV=r'dr'=r òVR2ò0R2dq=r(r')dV= 由高斯定理： vv12E×dS=EdS=E4pr=òòSSe0åq=eQR02r2 E=Q4pe0R2 得证 3解：由高斯定理可得各区域场强的分布为 当r£R，E1=0；当R<r<2R，E2=¥¥q4pe0r2；当r³2R，E3=q+Q4pe0r2 当r³2R，U3=òE3dr=òr¥rq+Qq+Qdr=4pe0r4pe0r2v2R¥， U外=2Rq+Q8pe0RdrQ+q¥dr+2r4pe0ò2Rr2当R<r<2R，U2=òE×dr=òE2dr+òE3dr=rr2Rvq4pe0òr 2 =11Q+qqQ(-)+=+4pe0r2R8pe0R4pe0r8pe0R2RqU内外=ò当rRvv2RE×dr=òE2dr=Rq4pe0ò2RRdrq=r28pe0Rq4pe0¥vR2R¥v<R，U1=òE×dr=òE1dr+òE2dr+òE3dr=rrR2Rò2RRdrQ+q¥dr+2r4pe0ò2Rr2=q8pe0R+Q+qQ+2q=8pe0R8pe0RU内=Q+2q8pe0R U内=Q+2q=08pe0RÞQ=-2q，即外球面为负电荷，是内球面电量的两倍。 五、附加题 1.证：由高斯定理知，一个完整带电球面内场强处处为零，即E=0 E1 p E2 设想整个完整带电球面由上下两个带电半球面组合而成，如图。 vvvv上半球对p点有E1，下半球对p点有E2，且Ep=E1+E2=0 vv则E1与E2应大小相等，方向相反。 vvEp=E1+E2¹0，显然矛盾。 2. 解：在细线上取一微元dx， 如果半球面的底部圆形区域的场强不是垂直于底面，那么上下球面的场强就不可能相互抵消。即 dq=ldx， 该处E=q4pe0x2dF=Edq=qldxqlF=dF=， ò4pe0x24pe01dW=dq×Ue=a+lòa+ladxql11=(-)，沿x轴正向 24pe0aa+lx 电势能： qldx4pe0x1qlWe=4pe0òadxqla+l=lnx4pe0a 3