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大学物理第十单元习题十 v10-1 一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中回路平面与B垂直当回路半径以恒定速率dr-1 =80cm·s收缩时，求回路中感应电动势的大小 dt解: 回路磁通 Fm=BS=Br2 感应电动势大小 dFmddr=(Br2)=B2r=0.40 V dtdtdt10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径R=5cm，如题10-2图所示均匀磁-3场B=80×10T，B的方向与两半圆的公共直径(在Oz轴上)垂直，且与两个半圆构成相等e=的角a 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向 v解: 取半圆形cba法向为i， 题10-2图则 Fm1同理，半圆形adc法向为j，则 R2=Bcosa 2vFm2R2=Bcosa 2vvvv B与i夹角和B与j夹角相等， a=45 则 Fm=BR2cosa °e=-dFmdB=-R2cosa=-8.89´10-2V dtdt方向与cbadc相反，即顺时针方向 题10-3图 2*10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状y=ax，放在均匀磁场中B与xOy平v面垂直，细杆CD平行于x轴并以加速度a从抛物线的底部向开口处作平动求CD距O点为y处时回路中产生的感应电动势 解: 计算抛物线与CD组成的面积内的磁通量 Fm=2òBdS=2òya032BB(y-ax2)dx=2y2 3a11dFmB2dy2B2 e=-=-y=-yv dtdtaa v2=2ay v=则 ei=-2ay12 2Bay122ay=-By128aa ei实际方向沿ODC 题10-4图 10-4 如题10-4图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直半圆环的半径为b，环心O与导线相距a设半圆环以速度v平行导线平移求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UM-UN 解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时dFm=0 eMeNM=0 即 eMeN=eMN 又 eMN=所以eMeN沿NeM方向， 大小为 vòa+ba-bvBcospdl=m0Iva-bln<0 2pa+bm0Iva+bln 2pa-bM点电势高于N点电势，即 UM-UN=m0Iva+bln 2pa-b题10-5图 10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以dI的变化率增大，求： dt(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势 解: 以向外磁通为正则 b+ad+a-ln òb2rd2r2bddFm0ld+ab+adI=ln-ln (2) e=-dt2dbdt10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆令这半圆形导线在磁场中(1) Fm=b+am0Ildr-òd+am0Ildr=m0Illn以频率f绕图中半圆的直径旋转整个电路的电阻为R求：感应电流的最大值 题10-6图 vvr2cos(wt+j0) 解: Fm=B×S=B2dFmBr2wei=-=sin(wt+j0)dt2 22BrwBrem=2f=2r2Bf222r2Bf= I= RRem10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面线-1圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s垂直于直线平移远离求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向 题10-7图 v解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势 DA产生电动势 mIvvve1=ò(v´B)×dl=vBb=vb0 D2pdABC产生电动势 e2=ò(v´B)×dl=-vbBCvvvm0I2(a+d)回路中总感应电动势 e=e1+e2=方向沿顺时针 m0Ibv11(-)=1.6´10-8 V 2dd+av10-8 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动已知导轨处于均匀磁场Bvv中，B的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)设t=0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向 vv1122解: Fm=òB×dS=Blvtcos60°=ktlv=klvt 22 e=-即沿abcd方向顺时针方向 dFm=-klvt dt题10-8图 v10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题10-9图所示取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0) 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时dF<0,e>0； dt题10-9图(a)在磁场中时题10-9图(b) dF=0,e=0； dt出场时dF>0，e<0，故I-t曲线如题10-9图(b)所示. dt题10-10图 10-10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速w转动，aO=轴，如图10-10所示试求： ab两端的电势差； a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取r®r+dr一小段 则 eOb=l磁感应强度B平行于转3ò2l30wrBdr=2Bw2l 91Bwl2 18同理 eOa=òl30wrBdr= eab=eaO+eOb=(-121+)Bwl2=Bwl2 1896(2) eab>0 即Ua-Ub<0 b点电势高 题10-11图 10-11 如题10-11图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并v以速度v平行于两直导线运动两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a试求：金属杆两端的电势差及其方向 解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则 eABva+bmIv1-m0Iva+b1vv=ò(v´B)×dl=ò-0(+)dr=ln Aa-b2pr2a-rpa-bB eAB<0 实际上感应电动势方向从B®A，即从图中从右向左， UAB=m0Iva+bln pa-b题10-12图 10-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外当动势的大小和方向 vdB0时，求：杆两端的感应电dt解： eac=eab+ebc eab=-eabdF1d323RdB =-RB=dtdt44dtdF2dR2R2dB=-=-B= dtdt1212dt eac3R2R2dB =+412dtdB>0 dt eac>0即e从a®c dB0的磁场，一任意闭合导线abca，一部分在螺线管dt内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示设ab =R，试求：闭合导线10-13 半径为R的直螺线管中，有中的感应电动势 解：如图，闭合导线abca内磁通量 vvR23R2Fm=B×S=B(-) 64R232dB-R) ei=-( 64dt dB>0 dtei<0，即感应电动势沿acba，逆时针方向 题10-13图题10-14图 10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab于直径位置，另一导体cd在一弦上，导体均与螺线管绝缘当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向试求： ab两端的电势差； cd两点电势高低的情况 vvvvdBv×dS知，此时E旋以O为中心沿逆时针方向 解： 由òE旋×dl=-òldtvabab(1)是直径，在上处处E旋与ab垂直 v ò旋×dl=0 leab=0,有Ua=Ub (2)同理， edc=òcdvvE×dl>0 旋 Ud-Uc<0即Uc>Ud 题10-15图 10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)求：线圈与导线间的互感系数 解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 F12=ò2a3a3m0Ia2rdr=m0Ia2ln2 M=F12I=m0a2ln2 10-16 一矩形线圈长为a=20cm，宽为b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限长导线的旁边且与线圈共面求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感 解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为I，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为 F12vvm0Ia2bdrm0Ia=òB×dS=ln2 (S)2òbr2 M=maNF12=N0ln2=2.8´10-6 H I2(b)长直电流磁场通过矩形线圈的磁通F12=0，见题10-16图(b) M=0 题10-16图题10-17图 10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为 L=m0lpInd-a a解： 如图10-17图所示，取dS=ldr 则 F=òd-aa(m0I2r+m0I2(d-r)ldr=m0Il2òd-aamIld-a11d(-)dr=0(ln-ln) rr-d2ad-a=m0Illnd-a a L=FI=m0llnd-a a10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H试求：它们之间的互感 解： 顺串时 L=L1+L2+2M 反串联时L¢=L1+L2-2M L-L¢=4M M=L-L¢=0.15H 410-19图 10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝试求： (1)此螺线环的自感系数； (2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少? 解：如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为 F=òbm0NI2rahdr=m0NIh2bln a磁链 Y=NF=m0N2Ih2bln a L=YI=m0N2h2bln a(2) Wm= Wm=12LI 2m0N2I2h4bln a10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I求：导线内部单位长度上所储存的磁能 解：在r<R时 B=m0Ir2R2m0I2r2B2 wm= =2m082R4取 dV=2rdr(导线长l=1) 则 W=òR0wm2prdr=òRm0I2r3dr4R40=m0I216