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大学物理第12章课后习题第十二章 静电场中的导体和电介质 12-1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将如何变化. 答：电场中通常以无穷远处的电势为零电势参考点。导体B离A很远时，其电势为零。A带正电，所以其电场中各点的电势均为正值。因此B靠近A后，处于带电体A的电场中时，B的电势为正，因而B处的电势升高。 12-2 如附图所示，一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为U0，求此系统的电势和电场分布。 解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称设内球壳带电量为q 取同心球面为高斯面，由高斯定理òE×dS=E(r)×4r2=E(r)×åq/0，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r R时， E1(r)=0 RrR2 时，E2(r)=q40r2rR2 时， E2(r)=Q+q40r2由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布 r R时， U1=ò¥rE×dl=òR1rE1×dl+òR2R1E2×dl+ò¥R2E3×dl=q4e0R1+Q4e0R2RrR2 时， U2=ò¥rE×dl=òR2rE2×dl+ò¥R2E3×dl=q4e0r+Q4e0R2rR2 时， U3=ò¥rE3×dl=q+Q4e0r1 由题意得 U1=U0=q4e0R1+Q4e0R2代入电场、电势的分布得 r R时， E1=0；U1=U0 RrR2 时， E2=R1U0r2-R1Q4e0R2r2；U2=R1U0r-(r-R1)Q4e0R2rrR2 时， E3=R1U0r2-(R2-R1)Q4e0R2r2；U3=R1U0r-(R2-R1)Q4e0R2r12-3证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1) 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2) 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。 证: 如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为s1，s2，s3，s4 (1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有 vv òE×dS=(ss2+s3)DS=0 s2+s3=0 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； (2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 s12e0-s22e0-s32e0-s42e0=0 又 s2+s3=0 s1=s4 2 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同 12-4 将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如附图所示，两导体板的几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板的距离为d(d远远小于S). (1) 忽略边缘效应，求两导体板间的电势差；若将B接地，结果又将如何？ 解: 如图(b)所示，依照题意，由电荷守恒可得 (1+2)S=Q (3+4)S=Q 有静电平衡条件，得 1-4=0 2+3=0 解得 1=2=-3=Q4=2S两导体板间电场强度为E=Q2A 指向B 0S；方向为两导体板间的电势差为 UQdAB=20S 如图(c)所示，导体板B 接地后电势为零 1=4=0 3 2=-3=QS两导体板间电场强度为E¢=Q0S；方向为A 指向B Qd0S两导体板间的电势差为： U¢AB=12-5 如图所示，由两块相距为0.50mm的薄金属板A，B构成的空气平板电容器，被屏蔽在一个金属盒K内，金属盒上，下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30×40mm2，求： (1) 被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍； (2) 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。 解：(1) 薄金属板A和B与金属盒一起构成三个电容器,其等效电路图如图(b)所示，AB间总电容为 由于金属板面积很大,各电容器都可当作平行板电容器处理. 根据对称性和间隔关系得C2=C3=2C1 所以总电容为C=2C1 当电容器一个引脚,例如B脚,与屏蔽盒相碰时,则BK间电容不存在,只有两个电容器并联,总电容为C=C1+C2=3C1. (c) K C2 (b) K C2 C3 C=C1+C2C3C2+C3K A B A C1 B A C1 B 12-6有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为s0=4.5´10-5C·m-2，现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为er=2.0 的电介质插入两极板之间，此时电介质中的D、E和P各为多少？ 解：由介质中的高斯定理： rrÑòD×dS=åq 0D×S=s0DS 4 D=s0=4.5´10C×m-5-2-5-2E=D0r=2.5´10VÑm6-1P=(er-1)e0E=D - 0E=2.3´10CÑmD,E,P的方向相同，垂直向下 12-7 一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。 解： 由C=e0erSdU=QC=Qde0erSQ所以 而由 P=P¢SdE=e0erS (1) 得 P¢=PSd (2) 极化强度： 由(1)、(2)、(3)得 12-8 有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当 充足电后； 然后平行插入一块面积相同、厚度为、相对电容率为 的电介质板； 将上述电介质换为同样大小的导体板分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E 解： 空气平板电容器的电容 C0=0SdP¢=e0E(er-1) (3) E=Q-Pde0S充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为 Q0=0SdU 5 E0=U/d 插入电介质后，电容器的电容C1 为 éQùQ0rS (d-)+C1=Q/êú=0rSû+r(d-)ë0S故有 C1=C1U=0rSU+r(d-)介质内电场强度 E1¢=Q10rS=U+r(d-)空气中电场强度 E1=Q10S=rU+r(d-) 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为 C2=Q2=0Sd-0Sd-U¢=0 导体中电场强度 E2空气中电场强度 E2=Ud-无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/。 12.9一空气平板电容器，空气层厚 1.5 cm，两极间电压为40 kV，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30 cm的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为 7.0，击穿电场强度为10 MV×m-1。则此时电容器会被击穿吗？ 解：未插入玻璃时，电容器内的电场强度为 E=Ud=2.7´10V×m6-1 6 因空气的击穿电场强度Eb = 3.0´106 V×m1，E<Eb故电容器不会被击穿 插人玻璃后，由习题12-8可知，空气间隙中的电场强度 E=erVer(d-d)+d=3.2´106V×m-1此时，因E场强度 >Eb，空气层被击穿。击穿后40 kV电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电E=Vd=1.3´107V×m-1由于玻璃的击穿电场强度E¢b = 10 MV×m-1，故E击穿。 ¢，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被>Eb12.10一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：电容器能量的改变；此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。 解：极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为 we=12e0E2=Q222e0S在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间的体积，也由V增加到2V，此时电场能量增加。 DWe=weDV=Qd2e0S2两导体极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F = -F 则外力所作的功为 A=-Fe×Dr=QEd=Qd2e0S2外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。 12-11 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为er，金属球带电Q试求： (1)电介质内、外的场强； 7 (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势 vv解: 利用有介质时的高斯定理òD×dS=Såq (1)介质内(R1<r<R2)场强 vvvvQrQrD=,E内=334r4e0err; 介质外(r<R2)场强 vvvQrQrD=,E外=334r4e0r (2)介质外(r>R2)电势 U=ò¥rvvE外×dr=Q4e0r介质内(R1<r<R2)电势 U=ò¥rvvE内×dr+ò¥rvvE外×dr=q4e0er(1r-1R2)+Q4e0R2=Q4e0er(1r+er-1R2) (3)金属球的电势 U=òR2R1vvE内×dr+Qdr4e0errò2¥R2vvE外×dr ¥=ò=R2R+òQdr4e0r2R2Q4e0er(1R1+er-1R2) 12-12 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为er的电介质试求：在8 有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值 解: vv如题图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为s2与s1 由òD×dS=åq0得 D2=s2，D1=s1 vv而 D2=e0erE2,D1=e0E1 E1=E2=Ud s2s1=D2D1=er 12-13 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数e的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求： (1)在半径r处(R1rR2，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容 解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1<r<R2)时，åq=Q D=(1)电场能量密度 w=D2ò(S)vvD×dS=2rlD Q2rl2222e222=Q28erl薄壳中 dW=wdu=Q28erl2rdrl=Qdr4erl2(2)电介质中总电场能量 9 W=òdW=òVR2Qdr4erl2R1=Q24ellnR2R1(3)电容： W=Q2Q22C C=2W=2elln(R2/R1) 10