大学物理之1质点运动学习题思考题[.docx

大学物理之1质点运动学习题思考题vvv1-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(costi+sintj) 其中w为常量求：质点的轨道；(2)速度和速率。 vvv解：(1) 由r=R(costi+sintj)，知：x=Rcoswt ，y=Rsinwt 消去t可得轨道方程：x+y=R 质点的轨道为圆心在处，半径为R的圆； 222习题1 vvvvvdr由v=，有速度：v=-wRsinwti+wRcoswtj dt1vv22而v=v，有速率：v=(-wRsinwt)+(wRcoswt)2=wR。 vvv21-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=4ti+(3+2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：质点的轨道；从t=0到t=1秒的位移；t=0和t=1秒两时刻的速度。 解：由r=4ti+(3+2t)j，可知x=4t ，y=3+2t 消去t得轨道方程为：x=(y-3)，质点的轨道为抛物线。 2v2vv2vvvvvdr由v=，有速度：v=8ti+2j dt1vvvvv1v从t=0到t=1秒的位移为：Dr=òvdt=ò(8ti+2j)dt=4i+2j 00vvvvvt=0和t=1秒两时刻的速度为：v(0)=2j，v(1)=8i+2j 。 vv2v1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=ti+2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：任一时刻的速度和加速度；任一时刻的切向加速度和法向加速度。 vvvvvdvvvdrvv解：(1)由v=，有：v=2ti+2j，a=，有：a=2i； dtdt1vv222而v=v，有速率：v=(2t)+22=2t+1 at=dv=dt2tt+12，利用a=at+an有： an=222a2-at2=2t+12。 1-4一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为 12gt 212 y2=v0t+at 2 y1+y2=d y1=v0t- 联立求解，有：t=2d。 g+a2d。 g+a1 解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为g'=g+a， 利用d= 12d=g't2，有：t=g'21-5一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求： 小球的运动方程； 小球在落地之前的轨迹方程； yhv0vvdrdvdv落地前瞬时小球的，。 dtdtdt解：如图，可建立平抛运动学方程： xv1212vOvx=v0t ，y=h-gt ，r=v0ti+(h-gt)j； 22gx2联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y=-2+h； 2v0vvvvdr12vvr=v0ti+(h-gt)j，=v0i-gtj， dt2vvvdvvv=-gj 即：v=v0i-gtj，dtvvv2hdr=v0i-2ghj 在落地瞬时，有：t=，gdtg2ghg2tdv=又 v=v+v=v+(-gt)， 。 2dtv2+(gt)212v0+2gh02x2y2021-6路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2. 证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2， 由相似三角形关系可得：x1=x1-x2h2=， x1h1h1x2 h1-h2h1h2Odx1h1dx2dx2=v1， ，考虑到：dth1-h2dtdtdx2h1=v1知人影中头的速度：v影=。 dth1-h2两边对时间求导有：21-7一质点沿直线运动，其运动方程为x=2+4t-2t(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？ 解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在03s的时间间隔内，质点速度为0的位置： v=dx=4-4t 若v=0 解得 t=1s， dtDx1=x1-x0=(2+4-2)-2=2m Dx3=x3-x1=(2+4´3-2´32)-(2+4-2)=-8m Dx=Dx1+Dx2=10m。 1-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角q=30，问它第二次碰到斜面的位远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时2 oh=20cm，斜面对水置距原来的下落点多人射角等于反射角)。 解：小球落地时速度为v0=2gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示， 1vx0=v0cos600 x=v0cos600t+gcos600t2 21vy0=v0sin600 y=v0sin600t-gsin600t2 22v0第二次落地时：y=0，代入式得：t=， g22v012×2gh02所以：x=v0cos60t+gcos60t=4h=80cm。 2gg01-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s。 解：由向心力公式：F向=mwR， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向=mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向=ma 222wmgg980=16.98»17 w0maa3.41-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为q。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：抛物线顶点处子弹的速度vx=v0cosq，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g=v2r1=(v0cosq)2r1， yv0vx2v0cos2qr1=； gqganxqv0g在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成q角，则：an=gcosq，2v0有：gcosq= 则： r2=。 r2gcosq2v01-11一飞行火箭的运动学方程为x=ut+u(-t)ln(1-bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求： 火箭飞行速度与时间的关系；火箭的加速度。 解：一维运动，直接利用公式：v=1bdxdv，a=有： dtdtdxdvubv= =-uln(1-bt) ， a=dtdt1-bt1-12飞机以v0=100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h=98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点y多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为x有： v0h 3 Oxx=v0t，h=12gt 2x»77.50。 h联立方程解得：x»447m，q=arctan1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0=49.0m/s，而气球以速度v=19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：vy=v0-gt 故气球中的观察者测得物体的速度Dv=vy-v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度：Dv2=9.8m第三秒末物体速度：Dv3=0 第四秒末物体速度：Dv4=-9.8m。 ， ss思考题1 1-1质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? v=v,v=v；v¹v,v=v；v=v,v¹v；v¹v,v¹v 答： 1-2沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：与速度大小成正比；与速度大小平方成正比；与速度大小成反比；与速度大小平方成反比。 答：B 1-3如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的v-t图像，由图可知 两个质点一定从同一位置出发 两个质点都始终作匀加速运动 在t2s末两个质点相遇 在0:t2s时间内质点B可能领先质点A 答：D 1-4质点的xt关系如图，图中a，b，c三条线表示三它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；va>vb>vc。 1-5如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离图答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系的速度v¢=vB-vA。 个速度不同的运动问和vB匀速直线行驶，它们中a和b为已知。 中船A是静止的，而船B条平行于v¢方向的直线相靠最近的距离 4 v¢是船B相对于船A的速度,从船B作一BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰. 由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船rmin=Rsinq 作FD/AB,构成直角三角形DEF，故有：sinq=在三角形BEF中,由余弦定理可得：v¢=vBsinb-vAsina， ¢v22vA+vB+2vAvBcos(a+b) rmin=vBsinb-vAsinav+v+2vAvBcos(a+b)2A2BR。 方法二： 两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA=(vAtcosa)i+(vBtsina)j rB=(R-vBtcosb)i+(vBtsinb)j r=rB-rA=R-(vBcosb+vAcosa)ti+(vBsinb-vAsina)tj 任一时刻两船的距离为： r=R-(vBcosb+vAcosa)t2+(vBsinb-vAsina)t2 dr(t)令：=0 dtvBcosb+vAcosat=R 22(vBcosb+vAcosa)+(vBsinb-vAsina)vBsinb-vAsinarmin=R。 22vA+vB+2vAvBcos(a+b)1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ vvvdrdrdvdvdada=0，¹0；=0，¹0；=0，=0 dtdtdtdtdtdt答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。 ttttrr1-7如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度v=vxi+vyj，回到x轴的时刻为t，则 ò0vdt=òvxdt 0ò0vdt=òvydt 0òt0vdt=òvxdt òvdt=òvydt 000ttt答：A 说明下面三个积分的意义：vxdt,0òòvdt,0òvdt； 0用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义： BBBòdr,Aòdr,Aòdr。 At1答：vxdt 表示物体落地时x方向的距离， 0t1òòv0ydt 表示物体落地时y方向的距离， 5 t1òvdt 表示物体在t1时间内走过的几何路程， 0Bòdr 抛出点到落地点的位移， ABòdr 抛出点到落地点位移的大小， ABòdr 抛出点到落地点位移的大小。 A6